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【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第六章 第七节数学归纳法


第七节 数学归纳法

数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立,这一步是 (1)证明当n取___________________ 归纳奠基. n=k+1 时命 (2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当______ 题也成立,这一步是归纳递推. 完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0

开始的所有正整数n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成 立.( )

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证 明.( ) )

(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(

(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k 到
n=k+1时,项数都增加了一项.( )

(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+?+2n+2=2n+3-1”,验证 n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( )

【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时,第一步是验证当 n取第一个可取值时结论成立,第一个可取值不一定是 1.
1 1 2 1 3 (2)错误.例如,证明等式 ? ( ) ? ( ) ? 2 2 2 1 1 ? ( ) n ? 1 ? ( ) n (n ? N* ) 2 2

时,也可直接运用等比数列的求和公式证明. (3)错误.用数学归纳法证明问题时,归纳假设必须用上,否则 就不是用数学归纳法证明.

(4)错误.用数学归纳法证明时,由n=k 到 n=k+1时项数不

一定都增加了一项.
(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项,为1+2+22+23.

答案:(1)× (2)×

(3)×

(4)×

(5)√

1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)时,第一步应验证当n 取何值时成立( )

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

【解析】选C.由已知条件n≥3,n∈N知,应验证当n=3时不等式

成立.

2.若f(n)= 1 ? 1 ? 1 ?

1 (n∈N *),则f(1)为( 2 3 5n ? 1 1 1 1 1 1 ? A ?1?????????????? B ? ?????????????? C ?1 ? ?????????????? D ?1 ? ? ? 4 4 2 3 4 1 1 1 【解析】选D.f(1)=1+ ? ? . 2 3 4 ?

)

3.用数学归纳法证明:1+ ? +

1 2

1 3



1 *且n>1) <n(n∈N 2n ? 1

时,在第二步证明从 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增加的 项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1

【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k,故选A.

4.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)?(n+n)=2n·1·3·? ·(2n-1)(n∈N*),由n=k到n=k+1时,等式左边的变化是( (A)多乘了(2k+1) (C)多乘了(2k+1)(2k+2) (B)多乘了2(2k+1) (D)多乘了2(k+1) )

【解析】选B.当n=k时,左边 =(k+1)(k+2)?(k+k), 当n=k+1时,左边 =[(k+1)+1][(k+1)+2]?[(k+1)+(k+1)] =(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2)
2k ? 1?? 2k ? 2 ? ? =(k+1)(k+2)?(k+k)· k ?1

=(k+1)(k+2)?(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).

5.在数列{an}中,a1= 1 且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,
3

猜想an的表达式,其结果是______.

1 , a 3= 1 , 15 35 1 1 1 1 a 4= 1 , 而 a 1= ? ,a2= ,a3= 1 ? 1 , ? 3 1? 3 15 3 ? 5 35 5 ? 7 63 a 4= 1 ? 1 , ?, 63 7 ? 9 1 可得an= . ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 1 答案:an= ? 2n ? 1? (2n ? 1)

【解析】由a1= 且Sn=n(2n-1)an得,a2=

1 3

考向 1

用数学归纳法证明等式

【典例1】(2012·天津高考)已知{an}是等差数列,其前n项和

为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1) 求数列{an}与{bn}的通项公式.

(2) 记Tn=anb1+an-1b2+?+a1bn(n∈N*),证明Tn+12=-2an+10bn
(n∈N*).

【思路点拨】(1)第一问可分别求出公差和公比即得通项公 式.(2)第二问可用数学归纳法证明等式成立.

【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的 公比为q, 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d, 由条件得方程组:
3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27, ?d ? 3, ?? ? 3 ? ?q ? 2. ?8 ? 6d ? 2q ? 10,

an=3n-1,bn=2n(n∈N*).

(2)下面用数学归纳法证明等式Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.

①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,而
-2a1+10b1=16,故等式成立;

②假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,
则当n=k+1时有:

Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+?+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+?+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12. 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1. 因此n=k+1时等式也成立. 由①和②可知,对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.

【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点 (1)明确等式两边项的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时左边的 项是如何变化的,由此明确变形的目标. (2)注意合理利用恒等变形的常用方法 .例如,因式分解、添拆 项、配方等.

【变式训练】 是否存在常数a,b,c,使等式1·22+2·

32+?+n(n+1)2=
立?证明你的结论.

n ? n ? 1? 12

(an2+bn+c)对一切正整数n都成

【解析】把n=1,2,3代入等式得方程组
?a ? b ? c ? 24, ?a ? 3, ? ? 4a ? 2b ? c ? 44, 解得 ? ?b ? 11, ?9a ? 3b ? c ? 70, ?c ? 10. ? ?

猜想:等式1·22+2·32+?+n(n+1)2=
n ? n ? 1? (3n2+11n+10)对一切n∈N*都成立. 12

下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,由上面可知等式成立. (2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,
k k ? 1? 即1·22+2·32+?+k(k+1)2= ? (3k2+11k+10), 12

则当n=k+1时,

1·22+2·32+?+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
k k ? 1? = ? (3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 12 k ? k ? 1?




12 ? k ? 1?? k ? 2 ?

(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2
[k(3k+5)+12(k+2)]

12 = ? k ? 1?? k ? 2 ? [3(k+1)2+11(k+1)+10], 12

∴当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1)(2),对n∈N*等式都成立.

考向 2

用数学归纳法证明不等式

【典例2】由下列不等式:
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ??? ? ,1 ? ? ??? ? 2,?, 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.

【思路点拨】观察所给出的不等式,其左边是若干个分式相
加,分子都是1,分母由1开始,每一项比前一项大1,最后 一项是2n-1,因此左边的式子为 1 ? 1 ? 1 ??? n1 ; 不等式
2 3 2 ?1 的右边是一个分数,依次为 1 , 2 , 3 , 4 ,?, n , 由此可得到一般 2 2 2 2 2

的不等式.证明可采用数学归纳法.

【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等
式,即一般不等式为
1? 1 1 1 n ? ??? n ? ? n ? N* ? . 2 3 2 ?1 2

用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时,1> 1 ,猜想成立.
2

(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即
1? 1 1 1 k ? ??? k ? , 2 3 2 ?1 2

则当n=k+1时,
1? 1 1 1 1 1 1 k 1 1 ? ??? k ? k? k ??? k ?1 ? ? k? k ?? 2 3 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ?1 1 k 2k k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? , 即当n=k+1时,猜想也成立,所以对任 2 ?1 2 2 2

意的n∈N*,不等式都成立.

【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容 易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1 时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、 作差(作商)比较法、放缩法等证明.

【变式训练】求证: 1 + 1 +?+ 1 ? 5(n≥2,n∈N*).
n ?1 n?2

3n 6 1 1 1 1 5 【证明】(1)当n=2时,左边= + + + ? , 不等式成立. 3 4 5 6 6

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即
1 1 1 5 + +?+ ? , k ?1 k ? 2 3k 6

则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 + +?+ + + + 3k 3k ? 1 3k ? 2 3(k ? 1) ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 2 = 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ +( + + - ) k ?1 k ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 ? +( + + - ) ? +(3 ? - )= . 6 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 6 3k ? 3 k ? 1 6

∴当n=k+1时不等式亦成立. ∴原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.

考向 3

归纳、猜想、证明
n+1+(2-λ

【典例3】 在数列{an}中,a1=2,an+1=λ an+λ

)2n

(n∈N*,λ >0).
(1)求a2,a3,a4. (2)猜想{an}的通项公式,并加以证明.

【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2,a3,a4, 然后再用数学归纳法证明猜想成立. 【规范解答】(1)a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22, a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,

a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.
(2)由(1)可猜想数列通项公式为:

an=(n-1)λn+2n.

下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1=2,等式成立.

②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k,
那么当n=k+1时,

ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k
=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k

=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,
即当n=k+1时等式也成立,根据①和②可知,等式对任何

n∈N*都成立.

【拓展提升】解“归纳——猜想——证明”题的关键环节 (1)准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础 . (2)通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结论 .

(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.

【变式训练】数列{an}中,a1=1,a2= 1 ,且an+1= ? n ? 1? a n ? n ? 2 ?,
4

n ? an

求a3,a4,猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想.

? n ? 1? a n n ? 2 , 【解析】因为a1=1,a2= 1 ,且an+1 ? ? ?
4

n ? an

所以 a 3 ? a 2

2 ? a2

?

1 1 , ? ,同理可求得a4= 1 7 10 2? 4

1 4

归纳猜想an=

1 . 3n ? 2

下面用数学归纳法证明猜想正确. (1)当n=1时,易知猜想正确.

(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想正确,即ak= 那么当n=k+1时,
(k ? 1)

1 , 3k ? 2

1 k ?1 k ? 1? a k ? k ?1 3k ? 2 ? 3k ? 2 ? a k ?1 ? ? 2 2 1 3k ? 2k ? 1 k ? ak 3k ? 2k ? 1 k? 3k ? 2 3k ? 2 k ?1 1 1 ? ? ? . ? 3k ? 1? (k ? 1) 3k ? 1 3 ? k ? 1? ? 2

即当n=k+1时,猜想也正确. 由(1)(2)可知,猜想对任意正整数都正确.

考向 4

用数学归纳法证明整除问题

【典例4】用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整

除.
【思路点拨】在第二步证明中,注意利用归纳假设,对n=k+1

时的式子进行合理变形.

【规范解答】(1)当n=1时,(3×1+1)×7-1=27能被9整除,命 题成立; (2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立, 即(3k+1)·7k-1能被9整除, 则当n=k+1时, [3(k+1)+1]·7k+1-1 =(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1 =(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1 =(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.

由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,
所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除,

即当n=k+1时,命题也成立,
故(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.

【拓展提升】证明整除问题的关键——“凑项” 证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和 因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利

用归纳假设使问题获证.

【变式训练】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除,其中n 为正整数.

【证明】(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,42k+1+3k+2能被13整除, 则当n=k+1时, 方法一:42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1· 3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2). ∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除, ∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.

方法二:[42(k+1)+1+3k+3] -3(42k+1+3k+2)
=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13, ∵42k+1·13能被13整除, ∴[42(k+1)+1+3k+3]-3(42k+1+3k+2)能被13整除,即42(k+1)+1+3k+3 能被13整除, ∴当n=k+1时,命题也成立, 由(1)、(2)知,对任意n∈N*,42n+1+3n+2都能被13整除.

【易错误区】未运用归纳假设致误
1 1 1 1 1 【典例】用数学归纳法证明: ? 2 ? 3 ??? n ? 1 ? ( ) n (n ? N* ). 2 2 2 2 2

【误区警示】 本题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步

骤时,没有运用归纳假设,而是直接利用等比数列的前 n项
1 和公式求得 1 ? 12 ? 13 ??? 1k ? 1 ? 1 ? ,这是错误的. k ?1 k ?1 2 2 2 2 2 2

【规范解答】①当n=1时,左边= ,右边=1-( 成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立, 即
1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? k ? 1 ? ( ) k , 2 2 2 2 2

1 2

1 1 1 ) = ,等式 2 2

则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? k ? k ?1 ? 1 ? ( ) k ? k ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ? 1 ? k ? k ?1 ? 1 ? k ?1 ? k ?1 ? 1 ? k ?1 . 2 2 2 2 2

即当n=k+1时,等式也成立. 由①②知,等式对n∈N*成立.

【思考点评】数学归纳法证题的关注点
在运用数学归纳法证明问题时,两个步骤缺一不可,尤其是在 证明第二步时,一定要运用归纳假设,即运用当 n=k时得到的 结论,去证明当n=k+1时命题的正确性,否则,若没有运用归 纳假设,即使证明出当n=k+1时结论成立,也不是利用数学归 纳法证明问题,这种证法是错误的.

1.(2013·济南模拟)用数学归纳法证明1+2+3+?+n2=
n 4 ? n 2 则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上式子( , 2

)

(A)k2+1 (B)(k+1)2
k ? 1? ? ? k ? 1? (C) ?
4 2

2

(D)(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2

【解析】选D.当n=k时,左端=1+2+3+?+k2,当n=k+1时,左端 =1+2+?+k2+(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2,因此应在n=k的基础上 加上式子(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2.

2.(2013·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N*)能
被8整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( (A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1) (B)34·34k+1+52·52k (C)34k+1+52k+1 (D)25(34k+1+52k+1) )

【解析】选A.∵当n=k时,34k+1+52k+1能被8整除, 那么当n=k+1时,34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52· 34k+1+34k+5=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1) =56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.

3.(2013·威海模拟)凸n边形有f(n)条对角线,凸(n+1)边形有
f(n+1)条对角线,则( (A)f(n+1)=f(n)+n+1 (C)f(n+1)=f(n)+n-1 ) (B)f(n+1)=f(n)+n (D)f(n+1)=f(n)+n-2

【解析】选C.凸n边形有f(n)条对角线,当边数增加1时,所得
凸(n+1)边形的对角线由三部分构成:原来的f(n)条、原来的 一条边变成了对角线、新增加的顶点和原来的 (n-2)个顶点构 成(n-2)条对角线,所以凸(n+1)边形有对角线 f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1(条).

4.(2013·石家庄模拟)若数列{bn}中,b1=2,bn+1=

3b n ? 4 , 2b n ? 3

n=1,2,3,?,求b2,b3,试判定bn与 2 的大小,并加以证明.

【解析】由b1=2,bn+1= 3b n ? 4 ,得b2= 3 ? 2 ? 4 =10 ,
b 3=
58 . 经比较有b1> 2 ,b2> 2 ,b3> 2 ,猜想bn> 41

2b n ? 3

2? 2 ? 3

7

*). (n∈N 2

下面利用数学归纳法证明. ①当n=1时,因为b1=2,所以 2 <b1.

②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立, 即 2 <bk,所以0<bk- 2 . 当n=k+1时,bk+1k

2?

3bk ? 4 ? 2 2bk ? 3
k

3 ? 2 2 ? b ? ? 4 ? 3 2 ? ? 3 ? 2 2 ?? b ? ? ? 2b k ? 3

? 2

2b k ? 3

?>0,

所以bk+1> 2 ,即当n=k+1时,结论成立. 由①②知bn> 2 (n∈N*).

1.已知f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系

是(

)

(A)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2

(B)f(k+1)=f(k)+(k+1)2
(C)f(k+1)=f(k)+(2k+2)2

(D)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2

【解析】选A.由已知可得f(k)=12+22+32+?+(2k)2,
f(k+1)=12+22+32+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,于是

f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.

2.若不等式

1 1 1 1 a 对一切正整数n都 ? ? ??? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24

成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.

【解析】取n=1,则有 ? ? ?
所以

26 a ? ,因此a<26,此时取a=25,猜想正整数a的最大值 24 24

1 2

1 3

1 4

a 成立, 24

等于25. 以下用数学归纳法证明:
1 1 1 1 25 对一切正整数n都成立. ? ? ??? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24

①当n=1时,已证结论成立;

②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即
1 1 1 1 25 ? ? ??? ? , k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 24

则当n=k+1时,
1 1 1 1 ? ? ??? 3 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 2 ? k ? 1? ? 3 1 1 1 1 ?( ? ? ??? ) k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 25 1 1 2 ?[ ? ? ], 24 3k ? 2 3k ? 4 3 ? k ? 1?

6 ? k ? 1? 6 ? k ? 1? 6 ? k ? 1? 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? ? , 由于 2 3k ? 2 3k ? 4 9k ? 18k ? 8 9k ? 18k ? 9 9 ? k ? 1? 3 ? k ? 1? 所以 1 ? 1 ? 2 ? 0, 3k ? 2 3k ? 4 3 ? k ? 1? 1 1 1 1 25 于是 ? ? ??? ? , 3 ? k ? 1? ? 1 24 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 2 ? k ? 1? ? 3

即当n=k+1时,结论也成立, 由①②知对一切正整数n,都有 故正整数a的最大值等于25.
1 1 1 1 25 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24


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