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2008年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学


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试卷类型:A

2008 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数 学 试 题(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代

号填在答题卷对应的表 格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域内; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作 答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.

第一部分
1. i (1 ? i ) ? (
2

选择题(共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) ) . B. ?1 ? i
2

D. 2 2.已知 I 为实数集, M ? {x | x ? 2 x ? 0}, N ? {x | y ? x ? 1} ,则 M ? (?I N ) = ( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | x ? 1} D. ? ). 3. “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的(

A. 1 ? i

C. ?2

) .

A.充分条件不必要 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ). A. 7.68 B. 16.32 C. 17.32 D. 8.68

A _

B _ _ A

B _

第 4 题图

5.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2, 且侧棱 AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形, 该三棱柱的左视图面积为( ).
1

A_ _ 1

B_ _ 1

A_ _ 1

正视图

B_ _ 1

第 4 题图

俯视图

11

A. 4

B. 2 3

C. 2 2

D.

3

? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 6.设 O 为坐标原点,点 M 坐标为 ( 2,1) ,若点 N ( x, y) 满足不等式组: ? 2 x ? y ? 12 ? 0, 则使 ? x ? 1, ?
???? ? ???? OM ? ON 取得最大值的点 N 的个数是( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 7.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密), 接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示,例如,明文
开始 输入 a,b,c,d

1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接收方收到密文14,9, 23, 28 时,
则解密得到的明文为( ). A. 4, 6,1, 7 C. 6, 4,1, 7 B. 7, 6,1, 4 D. 1, 6, 4, 7

m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d q ? 4d
输出 m,n,p,q 结束 第 7 题图

? a, a ? b 8 .定义运算 ? : a ? b ? ? . 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若 ? b, a ? b

f ( x) ? sin x , g (x ) ? cosx, x ? R ,则 F ( x) 的值域为(
A. ? ?1,1?

).

? 2 ? ,1? B. ? ? ? 2 ?

? 2? C. ? ?1, ? 2 ? ?

? 2? D. ? ?1, ? ? 2 ? ?

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,其中 9—12 题是必做题,13—15 题是选做题.每小题 5 分,满分 30 分) x2 9.已知双曲线 ? y 2 ? 1 ,则其渐近线方程为_________,离心率为________. 4 2 10. ( x ? )6 展开式中,常数项是__________. x 11 . 设 数 列 ?an ? 为 公 比 q ? 1 的 等 比 数 列 , 若 a4 , a5 是 方 程 4 x2 ? 8x ? 3? 0的 两 根 , 则

a6 ? a7 ? _________.
2

11

12.已知函数 f ( x) ?

4 ,值域是 ?0,1? ,则满足条件的 ? 1 的定义域是 ?a, b ? ( a, b 为整数) | x | ?2

整数数对 (a, b) 共有_________个. ▲ 选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选只计算前两题的得分. 13. (几何证明选讲)如图, AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的中垂线,已知 AB=6,CD= 2 5 ,则线段 AC 的长度为 .
D A

C

B

14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) ) 在 直 角 坐 标 系 中 圆 C 的 参 数 方 程 为

? ? x ? 2c o s ( ? 为参数) ,则圆 C 的普通方程为__________,以原点 第 13 题图 ? ? ?y ? 2 ? 2s in O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为_________. 1 15.(不等式选讲)已知 f ( x) ? x ? x ? 1 ,则 f ( ) ? , f ( x) ? 2 的取值范围为 2
三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) y 如图 A 、B 是单位圆 O 上的点,C 是圆与 x 轴正半轴的交点, 3 4 A( , ) 3 4 5 5 B A 点的坐标为 ( , ) ,三角形 AOB 为正三角形. C 5 5 x O (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 | BC | 2 的值.
第 16 题图
P



17. (本题满分 12 分) 如图,在组合体中, ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体, P ? ABCD 是 一 个 四 棱 锥 . AB ? 2 , BC ? 3 , 点

D A B

C

P ? 平面CC1D1D 且 PD ? PC ? 2 . (Ⅰ)证明: PD ? 平面PBC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1 ? a ,当 a 为何值时, PC // 平面AB1 D .
18.(本小题满分 14 分)

D1 A1 第 17 题图 B1

C1

抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与 到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标;
3

11

(Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 19. (本小题满分 14 分) 佛山某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每生 产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f ( x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x ,    0 ? x ? 400 ? f ( x) ? ? 625 ,每件产品的售价 g ( x) 与产量 x 之间的关系式为 ?256,    x ? 400 ? ? 5 0 ? x ? 400 ?? x ? 750,    g ( x) ? ? 8 . ?500,      x ? 400 ?
(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q( x) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 20. (本小题满分 14 分) 设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件:①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; ②对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为曲线 S 的 “上 夹线” . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x .求证: y ? x ? 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” . (Ⅱ)观察下图:
y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x -1

y y=2x -2sinx y=2x -2 y=2x
O

O

x

x

y=2x+ 2
根据上图,试推测曲线 S : y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程,并给出证明.

4

11

21. (本小题满分 14 分) 1 1 数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? . 2 ? an 2 (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ an }的前 n 项和为 S n ,证明 Sn ? n ? ln(

n?2 ). 2

2008 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 6 题号 C A A B B D 答案 二、填空题(每题 5 分,共 30 分,两空的前一空 3 分,后一空 2 分) 7 C 8 C

1 9. y ? ? x , 2
13. 30

2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本题满分 12 分) 如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆与 x 轴正半轴的交 3 4 A 点的坐标为 ( , ) ,三角形 AOB 为正三角形. 5 5 (Ⅰ)求 sin ?COA ;
(Ⅱ)求 | BC | 的值.
2

? 14. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , (2, )

5 2

10.60

11. 18

12.5 15. 1 , ?

1 3 ?x? 2 2

y
B O

3 4 A( , ) 5 5 C

点,

x

3 4 解: (Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 5 5 3 4 x? , y ? , r ?1 5 5 y 4 所以 sin ?COA ? ? r 5

……2 分 ……4 分

5

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(Ⅱ) 因 为 三 角 形 A O B 为 正 三 角 形 , 所 以 ?AOB ? 60? , sin ?COA ?

4 , 5

cos ?COA ?

3 , 5

……5 分

所以 cos ?COB ? cos(?COB ? 60? ) ? cos ?COB cos60? ? sin ?COB sin 60?
? 3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

……8 分

所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC

3? 4 3 7 ? 4 3 ? 10 5 17、 (本题满分 12 分) ?1?1? 2?
如图,在组合体中, ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体,

……12 分

P

P ? ABCD 是 一 个 四 棱 锥 . AB ? 2 , BC ? 3 , 点
P ? 平面CC1D1D 且 PD ? PC ? 2 .
(Ⅰ)证明: PD ? 平面PBC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1 ? a ,当 a 为何值时, PC // 平面AB1 D .
A1 D1 B1 C1 D A B C

(Ⅰ) 证明:因为 PD ? PC ? 2 , CD ? AB ? 2 ,所以 ?PCD 为等腰直角三角形,所以

PD ? PC .

……1 分

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个长方体,所以 BC ? 面CC1D1D ,而 P ? 平面CC1D1D ,所以

PD ? 面CC1D1D ,所以 BC ? PD .


……3

因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC , 由线面垂直的判定定理,可得 PD ? 平面PBC .…4 分 (Ⅱ)解: 过 P 点在平面 CC1 D1 D 作 PE ? CD 于 E , 连接

6

11

AE .……5 分
因为 面ABCD ? 面PCD ,所以 PE ? 面ABCD ,所以 ?PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的 角.……6 分 因为 PE ? 1, AE ? 10 ,所以 tan ?PAE ?

PE 1 10 . ? ? AE 10 10

……7 分

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 (Ⅲ)解:当 a ? 2 时, PC // 平面AB1 D .

10 . 10

……8 分 ……9 分

当 a ? 2 时,四边形 CC1 D1 D 是一个正方形,所以 ?C1 DC ? 450 ,而 ?PDC ? 450 ,所以

?PDC1 ? 900 ,所以 C1D ? PD .
而 PC ? PD , C1 D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC // C1D . 而 C1D ? 面AB1C1D , 所 以 PC // 面AB1C1 D , 所 以

……10 分 ……11 分

PC // 平面AB1 D .

……12 分

z

P

方法二、方法二:(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系,设棱 长 AA1 ? a , 则 有 D(0,0, a) , P(0,1, a ? 1) , B(3,2, a) ,
A

D B

C

C (0,2, a) .

??2 分
A1

??? ? ??? ? ??? ? 于是 PD ? (0, ?1, ?1) , PB ? (3,1, ?1) , PC ? (0,1, ?1) ,

D1 B1

C1

y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PD ? PB ? 0 , PD ? PC ? 0 .??3 分

x

所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC ,由线面垂直的判定定理,可得

PD ? 平面PBC .

??4 分

??? ? ?? ? (Ⅱ) A(3,0, a) ,所以 PA ? (3, ?1, ?1) ,而平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) .?5 分

7

11

??? ? ?? ? 所以 cos ? PD, n1 ??

?1 11 ? 1

??

11 . 11

??6 分

11 . 11 10 所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 . 10
所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为

??7 分 ??8 分

AB1 ? (0,2,? a ) . (Ⅲ) B1 ? (3,2,0) , 所以 DA ? (3,0,0) , 设平面 AB1D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,

? DA ? n2 ? 3x ? 0 ? 则 有 ? , 令 z ? 2 , 可 得 平 面 AB1D 的 一 个 法 向 量 为 ? ? AB1 ? n2 ? 2 y ? az ? 0
n2 ? (0, a,2) .
??10 分

若要使得 PC // 平面AB1 D ,则要 PC ? n2 ,即 PC ? n2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 .?11 分 所以当 a ? 2 时, PC // 平面AB1 D . 18.(本小题满分 14 分) 抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与 到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 解: (1)因为抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2
2

??12 分

所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 (2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1?

-----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

8

11

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , ----6 分 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d ? -------7 分

2k ? 1

4 ? 1 ,解得 k ? 0或 , 3 1? k
2

-------------------------------8 分

当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾! 当k ? 由?

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 3

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,解得点 A 坐标为 ?13,13? , ? y?x ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y ? ?x

------------------11 分

由?

------------------12 分

显然 AB 中点不是 E (4,1) ,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 方法 2:由 ?

----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分 ------7 分

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 A 坐标为 ? , ?, ? k ?1 k ?1 ? ?y?x

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ?, 1? k ? ? 1? k ?y ? ?x

------------8 分

因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以

4k ? 1 4k ? 1 ? ? 8 ,解得 k ? 4 , k ?1 k ?1

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-------------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ----13 分 所以不存在满足条件的直线 l . -------------------------------------14 分 方法 3:假设 A 点的坐标为 (a, a) , 因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) ,
9

-------------8 分

11

又点 B 在直线 y ? ?x 上,所以 a ? 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

----------------------------9 分

-----------------------------10 分

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ---------13 分 所以不存在满足条件的直线 l . ----------------------------------------14 分 19. (本小题满分 14 分) 佛山某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每生 产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f ( x) 与产量 x 之间的关系式为

? 1 2 x ,    0 ? x ? 400 ? f ( x) ? ? 625 ,每件产品的售价 g ( x) 与产量 x 之间的关系式为 ?256,    x ? 400 ? ? 5 0 ? x ? 400 ?? x ? 750,    g ( x) ? ? 8 . ?500,      x ? 400 ?
(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q( x) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 解:(Ⅰ)总成本为 c( x) ? 14000 ? 210x . 所以日销售利润 Q( x) ? f ( x) g ( x) ? c( x) ??1 分

1 3 6 2 ? 0 ? x ? 400 ?? 1000 x ? 5 x ? 210 x ? 14000,    ?? . ?? 210 x ? 114000,         x ? 400 ?
(Ⅱ)①当 0 ? x ? 400 时, Q / ( x) ? ?

??6 分

3 2 12 x ? x ? 210 . 1000 5

??7 分 ??8 分

令 Q / ( x) ? 0 ,解得 x ? 100 或 x ? 700 .

于是 Q( x) 在区间 [0,100] 上单调递减, 在区间 [100,400] 上单调递增, 所以 Q( x) 在 x ? 400 时 取到最大值,且最大值为 30000;
10

??10 分

11

②当 x ? 400 时, Q( x) ? ?210x ? 114000 ? 30000 .

??12 分

综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元. 20. (本小题满分 14 分) 设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件:①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; ②对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为曲线 S 的 “上 夹线” . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x .求证: y ? x ? 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” . (Ⅱ)观察下图:
y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x -1

??14 分

y y=2x -2sinx y=2x -2 y=2x
O

O

x

x

y=2x+ 2
根据上图,试推测曲线 S : y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程,并给出证明. 解 (Ⅰ)由 f ( x) ? 1 ? 2 cos x ? 1 得 cos x ? 0 ,
'

-----------1 分

当x?? 此时

?
2

时, cos x ? 0 ,

y1 ? x ? 2 ? ?

?
2

? 2 , y2 ? x ? 2 sin x ? ? ? ? 2 ,
2

-----------2 分 -----------3 分

? ? ? ? y1 ? y2 ,所以 ? ? ,? ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; ? 2 2 ? 3? 当x? 时, cos x ? 0 , 2 3? 3? 此时 y1 ? x ? 2 ? ? 2 , y2 ? x ? 2 sin x ? ? 2, 2 2 ? 3? 3? ? ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; y1 ? y2 ,所以 ? , ? 2 2 ?
所以直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点;
11

-----------4 分 -----------5 分

11

对任意 x∈R, g ( x) ? F ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2 sin x) ? 2 ? 2 sin x ? 0 , 所以 g ( x) ? F ( x) ---------------------------------------------------------------------6 分 ----------7 分 ------9 分 因此直线 l : y ? x ? 2 是曲线 S : y ? ax ? b sin x 的“上夹线” . (Ⅱ)推测: y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程为 y ? mx ? n ①先检验直线 y ? mx ? n 与曲线 y ? mx ? n sin x 相切,且至少有两个切点: 设: F ( x) ? mx ? n sin x

? F ' ( x) ? m ? n cos x ,
\ 令 F ' ( x) ? m ? n cos x ? m ,得: x ? 2k? ?
当 x ? 2 k? ?

?
2

(k ? Z)

------10 分

?
2

时, F (2k? ?

?

) ? m(2k? ? ) ? n 2 2

?

故:过曲线 F ( x) ? mx ? n sin x 上的点( 2k? ? y-[ m(2k? ?

?
2

, m(2k? ?

?
2

) ? n )的切线方程为:

?
2

) ? n ]= m [ x -( 2k? ?

?
2

)],化简得: y ? mx ? n . -----12 分

即直线 y ? mx ? n 与曲线 y ? mx ? n sin x 相切且有无数个切点. 不妨设 g ( x) ? mx ? n ②下面检验 g(x) ? F(x)

?g(x)-F(x)= n(1 ? sin x) ? 0(n ? 0)
\ 直线 y ? mx ? n 是曲线 y ? F ( x) ? mx ? n sin x 的“上夹线”.
21. (本小题满分 14 分) 1 1 数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? . 2 ? an 2 (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ an }的前 n 项和为 S n ,证明 Sn ? n ? ln( 解:(Ⅰ)方法一: an?1 ? 1 ? 所以 -----14 分

a ?1 1 , ?1? n 2 ? an 2 ? an

n?2 ). 2

1 an?1 ? 1

?

2 ? an 1 . ? ?1 ? an ? 1 an ? 1

??3 分

12

11

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

??4 分

所以

n 1 . ? ? n ? 1 ,所以 an ? an ? 1 n ?1
2 3 4 n , a3 ? , a4 ? ,猜测 an ? . 3 4 5 n ?1

??6 分

方法二: a2 ?

??2 分

下用数学归纳法进行证明.

1 ,命题成立; 2 k ②假设当 n ? k ( k ? 1, k ? N )时成立,即 ak ? ,那么 k ?1 1 1 k ?1 当 n ? k ? 1, ak ?1 ? , ? ? 2 ? ak 2 ? k k?2 k ?1
①当 n ? 1 时,由题目已知可知 a1 ? 也就是说,当 n ? k ? 1时命题也成立. 综上所述,数列 {a n } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) 设 F ( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) 则 F ?( x) ?

??3 分

??5 分

n . n ?1

??6 分

1 ?x ?1 ? ? 0( x ? 0) x ?1 x ?1

??8 分

函数 F ( x) 为 (0, ??) 上的减函数,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x( x ? 0) 从而 ln(1 ?

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ), n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

??10 分 ??11 分 ??13 分 ??14 分

an ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1), n ?1

Sn ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ? ? ? [1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)]

Sn ? n ? ln(

n?2 ) 2

13


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