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关于同步发电机的方程


同步发电机的方程
2.1 同步发电机的电压方程
对于 abc 坐标下的电压方程 u = pψ + ri ,可将定子、转子量分开,改写为
?u abc ? ? pΨabc ? ?rabc ? ?? iabc ? ?u ? = ? pΨ ? + ? r ? ?i ? fDQ ? ? fDQ ? fDQ ? ? ? fDQ ? ?
(2-1)

r />
式中, f abc = ( f a , f b , f c ) , f fDQ = ( f f , f D , f Q ) , f 可为 u , Ψ , i ;
T T

rabc = diag (ra , rb , rc ) ; r fDQ = diag (r f , rD , rQ ) 。

对式(2-1)两边左乘矩阵
? D(3×3) ? ? I (3×3) ? ? ?
(2-2)

? ? fd ? ? cos θ a ? ? 2? 其中, D(3×3) 为派克变换矩阵 ? f q ? = ? sin θ a 3? 1 ?f ? ? ? 0? ? 2 位阵, 0 为零矩阵,则式(2-1)可化为

cos θ b ? sin θ b 1 2

cos θ c ? sin θ c 1 2

? ?? fa ? ? ? f ? , I 为单 ?? b ? ? ? fc ? ? ? ?

? ? D ?1 ? ? D ? ?? iabc ? ? D ? ?u abc ? ? D ? ? pΨabc ? ? D ? ?rabc = ? ?? + ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? I ? ?u ? I ?1 ? ? I ? ?i fDQ ? ? ? ? fDQ ? ? I ? ? pΨ fDQ ? ? I ? ? r fDQ ? ?
?u dq 0 ? ? DpΨabc ? ?rdq 0 ? ?? idq 0 ? 即? ?=? ? ? + ? r ?? fDQ ? ?i fDQ ? ?u fDQ ? ? pΨ fDQ ? ? ? ? ? ?
(2-3)

式中 rdq 0 = rabc = diag (ra , rb , rc ) ;
f dq 0 = ( f d , f q , f 0 ) ,其中 f 可为 u、i 。
T

式 2-3) idq 0 前面的负号是由于 dq 0 等值绕组的电流、 ( 中 电压正方向定义和 abc 绕
组相似,也是服从发电机惯例的。下面讨论式(2-3)中 DpΨabc 这一项,将之化 为 dq 0 坐标下变量表示。由矩阵乘积的微分性质,有

DpΨabc = p[DΨabc ] ? [ pD ]Ψabc = pΨdq 0 ? pD D ?1Ψdq 0
(2-4)

(

)

由于
? ? sin θ a 2? ( pD )D = ? ? cos θ a 3 ? 0 ?
?1

? sin θ b ? cos θ b 0

? sin θ c ? ? cos θ a ? cos θ c ? × ? cos θ b ? ? ? ? cos θ c 0 ? ?

? sin θ a 1 ? ? 0 +1 0 ? ? × dθ = ? ? 1 0 0 ? × ω ? sin θ b 1 ? ? dt ? ? 0 0 0 ? ? sin θ c 1 ? ? ? ?

(2-5)

将式(2-5)代入式(2-4)得 ?? ωΨq ? ? ? def DpΨabc = pΨdq 0 + ?ωΨd ? pΨdq 0 + S dq 0 === ?0 ? ? ?
(2-6)

将式(2-6)代入式(2-3) ,得 dq 0 坐标下有名值电压方程为
?u dq 0 ? ? ?= ?u fDQ ? ? ?
(2-7)

?Ψdq 0 ? ? S dq 0 ? ?rdq 0 ? ?? idq 0 ? p? ?+? ? ? + ? r ?? fDQ ? ?i fDQ ? ?Ψ fDQ ? ?0 ? ? ? ? ? ?
T

式中, S dq 0 = (? ωΨq , ωΨd ,0 ) 。 下面对式(2-7)作简要的说明。 (1)式(2-7)右边第一项通常称为变压器电动势,是电磁感应效应引起的绕组 电压。 (2)式(2-7)右边第二项称为速度电动势。当转子静止( ω =0)时,此项为零。 这一项在 abc 坐标下没有,是因为在 abc 坐标下观察 abc 绕组,二者间是相对静 止的。 而当在旋转坐标系 dq 上去观察静止的 abc 绕组时, 二者间的相对运动引起 了这一项。物理上速度电动势项反映了由于转子运动,使定子绕组切割磁力线而 引起的电动势,它在定子、转子间能量交换中起主要作用。 (3)式(2-7)右边第三项是欧姆电压项,反映了相应绕组的电阻压降。

2.2 同步发电机的磁链方程
abc 坐标下的磁链方程 Ψ = L(6×6 )i 可改写为

?Ψabc ? ? L11 L12 ? ?? iabc ? ?Ψ ? = ? ? ?? ? fDQ ? ? L21 L22 ? ?i fDQ ?

(2-8)

与电压方程相似,两边左乘矩阵
? D(3×3) ? ? I (3×3) ? ? ? ? D ?1 ? ? D ? 并在式(2-8)右边两矩阵间插入 ? 项,经整理后可得 I ?? I ? ?? ? ?

?Ψdq 0 ? ? DL11D ?1 DL12 ? ?? idq 0 ? def ? LSS LSR ? ?? idq 0 ? ? ?=? ? ? ? ?? ?? ?1 ?Ψ fDQ ? ? L21 D L22 ? ?i fDQ ? === ? LRS LRR ? ?i fDQ ? ? ? ? ? ? ? ?

(2-9)

上式中电感矩阵下标 S 和 R 分别表示定子和转子。 下面对式(2-9)中电感矩阵进行讨论。 (1)定子绕组的自感与互感 LSS 。 根据

?Ψa ? ? Laa Lab ?Ψ ? ? ? b ? ? Lba Lbb ?Ψc ? ? Lca Lcb ? ?=? ?Ψf ? ? L fa L fb ?Ψ ? ? L LDb ? D ? ? Da ?ΨQ ? ? LQa LQb ? ? ?

Lac Laf Lbc Lbf Lcc Lcf L fc L ff LDc LDf LQc LQf

LaD LaQ LbD LbQ LcD LcQ L fD LDD LQD

? ?? ia ? ? ?? i ? ?? b ? ? ?? ic ? def ? L11(3×3) L12(3×3) ? ?? iabc ? ?? ? ? ?? ? L fQ ? ?i f ? === ? L21(3×3) L22(3×3) ? ?i fDQ ? ? ? ? ?i ? LDQ D ?? ? LQQ ? ?iQ ? ?? ?

(2-10)

? Laa = LS + Lt cos 2θ = LS + Lt cos 2θ a ? ? ? Lbb = LS + Lt cos 2θ b = LS + Lt cos 2(θ ?120° ) ? ? Lcc = LS + Lt cos 2θ c = LS + Lt cos 2(θ +120° ) ?
(2-11)

式中 LS > Lt > 0 ,从而 Laa , Lbb , Lcc 恒为正值。θ = θ a 为 d 轴领先于 a 轴的角度。对 于隐极机, Lt = 0 ,从而 Laa = Lbb = Lcc = LS = const. ;对于凸极机, Lt ≠ 0 ,则
Laa , Lbb , Lcc 是随转子位置而变化的参数。

? Lab = Lba = ? M S ? Lt cos 2(θ a + 30° ) = ?[M S + Lt cos 2(θ + 30° ) ] ? ? Lbc = Lcb = ? M S ? Lt cos 2 (θb + 30° ) = ?[M S + Lt cos 2(θ ?90° ) ] ? ? Lca = Lac = ? M S ? Lt cos 2(θ c + 30° ) = ?[M S + Lt cos 2(θ +150° ) ]

(2-12)

式中 M S > Lt > 0 ,从而定子互感恒为负值。同样地对于隐极机,由于 Lt = 0 ,定 子互感为常量;对于凸极机,则定子互感随转子位置而变。 可导出
LSS def === DL11 D ?1 = diag (Ld , Lq , L0 )
(2-13)

3 ? ? Ld = LS + M S + 2 Lt = const. ? 3 ? 式中 ? Lq = LS + M S ? Lt = const. 2 ? ? L0 = LS ? 2 M S = const. ? ?

(2-14)

LS , M S , Lt 定义与式(2-11)和式(2-12)相同。 Ld 和 Lq 分别称为同步电机 d 轴、
q 轴的同步电感。对于隐极机 Lt = 0 ,从而 Ld = Lq 。 LSS 是对角阵,它反映了定

子等值绕组 d , q,0 间的互感为零,是相互解耦的,而且 LSS 是定常阵,不随转子位 置而变化。 (2)转子绕组的自感与互感 LRR 。
Ψf def ? L f = const. ia ,ib ,ic ,iD ,iQ = 0 ? L ff = === if ? ? def ? LD = const. ? LDD 由式 ? === ? def LQ = const. ? LQQ === ? ?

(2-15)

? LDQ = LQD = 0 ? ? L fQ = LQf = 0 ? ? LDf = L fD = M R

(2-16)

以及式(2-10)可知

LRR

? Lf = L22 = ? M R ? ? 0 ?

MR LD 0

0 ? 0 ? ? LQ ? ?

(2-17)

式中, L f , LD , LQ 及 M R 定义同式(2-10)与式(2-16) 。 (3)定子绕组与转子绕组间的互感 LSR 和 LRS 。 由式(2-10)和 ? Laf = L fa = M f cos θ a = M f cos θ ? ? Lbf = L fb = M f cos θ b = M f cos(θ ? 120°) ? ? Lcf = L fc = M f cos θ c = M f cos(θ + 120°) 式中, M f 为定子绕组与转子励磁绕组 f 间的互感变化幅值, M f > 0 。
? LaD = LDa = M D cos θ a = M D cos θ ? ? LbD = LDb = M D cos θ b = M D cos(θ ? 120°) ? L = L = M cos θ = M cos(θ + 120°) Dc D c D ? cD

(2-18)

(2-19)

式中, M D 为定子绕组与 d 轴阻尼绕组 D 间的互感变化幅值, M D > 0 。
? LaQ = LQa = M Q cos(θ a + 90°) = ? M Q sin θ ? ? LbQ = LQb = M Q cos(θ b + 90°) = ? M Q sin (θ ? 120°) ? ? LcQ = LQc = M Q cos(θ c + 90°) = ? M Q sin (θ + 120°)

(2-20)

式中, M Q 为定子绕组与 q 轴阻尼绕组 Q 间的互感变化幅值, M Q > 0 。 可得
? Mf LSR = DL12 = ? 0 ? ? 0 ?
MD
0 0 0

MQ
0 0 0 3 MQ 2

? ? ? ? ?
0 ? ? 0 ? ? ? 0 ?

(2-21)

LRS

3 ? Mf ? 2 3 = L21 D ?1 = ? M D ? 2 ? ? 0

(2-22)

以上二式中 M f , M D , M Q 的定义同式(2-18)~式(2-20) 。由于 LT ≠ LRS 说明了 SR
dq 0 坐标下同步电机有名值方程中定子、转子绕组间的互感不可逆,这个问题将

在标幺制基值选取中予以解决。

由式(2-13)(2-14)(2-17)(2-21)(2-22)可汇总得 dq 0 坐标下电感矩阵为 、 、 、 、

? ? ? ? ? ? LSS LSR ? ? ?L L ? = ? ? RS RR ? ? ? ? ? ? ?

Ld
0 0 3 Mf 2 3 MD 2 0

0

0 0

Mf
0 0 0 0 0

MD
0 0

0

Lq
0 0 0

MQ
0 0 0

L0

Lf MR
0

MR LD
0

3 MQ 2

LQ

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2-23)

相应的 dq 0 坐标下磁链方程为
?Ψdq 0 ? ? LSS LSR ? ?? idq 0 ? ? ?=? ? ?? ?Ψ fDQ ? ? LRS LRR ? ?i fDQ ? ? ? ? ?
(2-24)

显然由式(2-23)可知, d 轴上的绕组与 q 轴上的绕组间相互是解耦的(互感为 零) 。而零轴磁链为 Ψ0 = L0 (? i0 ) 与 d 轴、 q 轴各绕组完全解耦而独立。另外电感矩阵为定常稀疏矩阵,为分析计 算提供了方便。式(2-24)中 idq 0 前面有一负号是由于负值定子绕组电流产生正 值相应绕组磁链而引起的,故电感元素的符号与习惯相同,这点和 abc 坐标下的 磁链方程相同。

2.3 同步发电机的电磁功率方程
2.3.1 隐极式发电机的电磁功率方程

隐级式发电机的转子是对称的,因而它的直轴同步电抗和交轴同步电抗是相 等的, xd = xq 。 即 计及这个特点, 并略去定子绕组的电阻, 由方程式 Eq = U + jIxd 作出隐级发电机正常运行时的向量图(图2-1) ,可导出以不同电动势、电抗表示 的隐级发电机的电磁功率方程。

图2-1:稳态运行矢量图( r ≈ 0 )

(1)以空载电动势 E q 和同步电抗 xd 表示发电机时
? E q = U q + I d xd ? ? ?0 = U d ? I q xd ?
(2-25)

发电机输出的有功功率表示为:
PEq = Re(U I ) = Re[(U d + jU q )( I d ? jI q )] = Re[(U d I d + U q I q ) + j (U q I d ? U d I q )] = Ud Id +UqIq
(2-26)
? ?

将式(2-25)代入式(2-26)中,可得
PEq = U d
(2-27)

Eq ? U q xd

+Uq

U d EqU d EqU = = sin δ xd xd xd

式中, U d = U sin δ 发电机有功功率的功—角特性曲线为一正弦曲线,其最大值为 PEq (max) = 称
EqU xd

,也

为功率极限。 该功角特性曲线多用于电力系统正常运行及故障后稳态运行稳定性 的分析和计算。

' ' (2)以交轴暂态电动势 Eq 和直轴暂态电抗 xd 表示发电机

图2-2:暂态空间矢量图

在分析暂态稳定或近似地分析某些有自动调节励磁装置的静态稳定时, 往往以交
' ' 轴暂态电动势 Eq 和直轴暂态电抗 xd 表示发电机,这种情况下

' ? E q' = U q + I d xd ? ? ?0 = U d ? I q xd ?

(2-28)

将上式代入式(2-26)中,可得
PE ' = U d I d + U q I q = U d
q

' Eq ? U q

x

' d

+Uq

Ud xd

= = =

' EqU d

x

' d

? U dU q ( ?

1 1 ? ) ' xd xd

' EqU d ' xd ' EqU ' xd

' xd ? xd 2 U sin δ cos δ ' xd xd ' U 2 xd ? xd ( ) sin 2δ ' 2 xd xd

sin δ ?

(2-29)

暂态磁阻功率的出现带来了功角特性计算的复杂化,很多情况下采取如下简化:
?
' ' 以直轴暂态电抗 xd 后的电动势 E ' 代替直轴暂态电动势 Eq ; 以向量 E ' 与 U 的夹角

?

E 'U δ 代替 δ ,则 P = ' sin δ ' 。 xd
' ' E

2.3.2 凸极式发电机的电磁功率方程 图2-3所示为一凸极发电机的相量图,由此图可导出以不同电动势和电抗表 示凸极发电机时的电磁功率方程。

图 2-3 凸极发电机的相量图

(1)以空载电动势和同步电抗表示发电机:由图(2-3)可见 E q = U q + I d xd ? ∑ ? ? 0 = U d ? I q xq ∑ ? ?
(2-30)

代入式 PE = U d I d + U q I q (2-30)得
? E ?U ? U q q ? PEq = ? Ud + d Uq ? x ? xq ∑ ? d∑ ? E qU U 2 xd ∑ ? xq ∑ = sin δ + × sin 2δ xd 2 xd xq ∑ ∑ ∑
(2-31)

(2)以暂态电动势和暂态电抗表示发电机:由图(2-3) 得

? ∑ ? ? 0 = U d ? I q xq ∑ ? ?
(2-32)
' 将式 Eq = ' ∑ Eq ? xd ∑

' E ' q = U q + I d xd

xd

xd

' ? xd ∑ ∑ U cos δ 代入式(2-27) ,可得 ' xd ∑ '

PE 'q

U 2 xq ∑ ? xd ∑ sin δ ? sin 2δ = ' × ' 2 x d∑ xq xd ∑ ∑ E ' qU

(2-33)


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