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【步步高 浙江专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第1讲


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专题六 第1讲

第1讲
【高考考情解读】
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排列与组合、二项式定理

1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、 基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题) 为主,主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色

问 题、选取问题等;对二项式定理的考查,主要是利用通项 求展开式的特定项,利用二项式定理展开式的性质求有关 系数问题.主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、 补集思想和逻辑思维能力.

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2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考
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查,一般以选择题、填空题形式出现,难度中等,还经常 与概率问题相结合,出现在解答题的第一或第二个小题 中,难度也为中等;对于二项式定理的考查,主要出现在 选择题或填空题中,难度为易或中等.

主干知识梳理

专题六 第1讲

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
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如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计 数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定 的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数 相乘.

主干知识梳理
2.排列与组合

专题六 第1讲

(1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的排列数
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m 公式是Am n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)或写成An = n! . ?n-m?!

(2)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素组成一 组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n 个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 n?n-1??n-2???n-m+1? m Cn = m! n! m 或写成Cn = . m!?n-m?!

主干知识梳理
(3)组合数的性质
n ①Cm = C n n
-m

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m m 1 ②Cm = C + C + n 1 n n .

3.二项式定理
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n 0 1 n-1 2 n-2 2 (1)定理:(a+b)n=C0 a b + C a b + C b +?+ n n na n-r r 0 n Cr b +?+Cn na na b (r=0,1,2,?,n).

(2)二项展开式的通项
n-r r r Tr+1=Cr a b , r = 0,1,2 ,?, n ,其中 C n n叫做二项式系数.

(3)二项式系数的性质 ①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,
0 1 n-1 k n-k 即Cn =Cn , C = C ,?, C = C n n n n n ,?.

主干知识梳理

专题六 第1讲

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n 2 ②最大值:当n为偶数时,中间的一项的二项式系数 n n ?1 最大值;当n为奇数时,中间的两项的二项式系数 n 2 n ?1 2 相等,且同时取得最大值. n

C 取得


C

C

③各二项式系数的和
1 2 k n n a.C0 n+Cn+Cn+?+Cn+?+Cn=2 ; 0 2r 1 3 2r+1 b.Cn +C2 +?+ C +?= C + C +?+ C +? n n n n n 1 n = · 2 =2n-1. 2

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考点一 例1
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两个计数原理 ( C.261 D.279 )

(1)(2013· 山东)用0,1,?,9十个数字,可以组成有重复 B.252

数字的三位数的个数为 A.243

(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2,则称 这样的三位数为凸数(如120,343,275),那么所有凸数的个 数为 A.240 B.204 C.729 D.920 ( )

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本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原 理的简单应用,解题的关键是合理分类,正确分步.

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解析
则有重复数字的三位数有:900-648=252个. (2)分8类,当中间数为2时,有1×2=2种; 当中间数为3时,有2×3=6种;
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1 2 (1)无重复的三位数有:A3 + A 9 2A9=648个.

当中间数为4时,有3×4=12种; 当中间数为5时,有4×5=20种; 当中间数为6时,有5×6=30种; 当中间数为7时,有6×7=42种; 当中间数为8时,有7×8=56种; 当中间数为9时,有8×9=72种. 故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240种.

答案 (1)B

(2)A

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(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理
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时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计 数原理. (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图 或表格,使问题形象化、直观化.

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(1)在航天员进行的一项太空实验中, 先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B
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和 C 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 A.24 种 B.48 种 C.96 种

(

)

D.144 种

(2)如果把个位数是 1, 且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好 数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的重复数字的四位数中, “好数”共有________个.

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解析

(1)首先安排A有2种方法;

第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B,C,有4种排 法,而B,C位置互换有2种方法;
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3 第三步安排剩余的3个程序,有A 3 种排法,共有2×4×2×A 3 3

=96种.
1 (2)当相同的数字不是1时,有C3 个; 1 当相同的数字是1时,共有C1 C 3 3个, 1 1 由分类加法计数原理知共有“好数”C1 3+C3C3=12个.

答案 (1)C

(2)12

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考点二 例2 排列与组合

专题六 第1讲

(1)(2013· 重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中

选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内 科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字
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作答) (2)(2013· 浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排, 且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有________种.(用 数字作答) 1 3 2 2 解析 (1)分三类:①选1名骨科医生,则有C 3 (C 1 C + C 4 5 4C5
1 +C3 C 4 5)=360(种). 1 2 2 1 ②选2名骨科医生,则有C2 3(C4C5+C4C5)=210(种); 1 1 ③选3名骨科医生,则有C3 C 3 4C5=20(种).

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∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 360+210+20=590.
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(2)分类讨论:A、B都在C的左侧,且按C的左侧分别有两个、 三个、四个、五个字母这4类计算,再考虑右侧情况.
3 1 3 2 2 4 5 所以共有:2(A2 · A + C A · A + C A + A 2 3 3 3 2 3 4 5)=480.

答案 (1)590

(2)480

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专题六 第1讲

求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明 确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘. 具体地说,解排列、组合的应用题,通常有以下途径:
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(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元 素. (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位 置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合 要求的排列或组合数.

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专题六 第1讲

(1)(2012· 山东)现有16张不同的卡片,其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不 能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 ( )
本 A.232 B.252 C.472 D.484 讲 栏 (2)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目 目 开 甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在 关

最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A.36种 B.42种 C.48种

(

)

D.54种

解析 (1)利用分类加法计数原理和组合的概念求解.
2 分两类:第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取法C1 C 4 12

=264(种);

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3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C 3 12 -3C 4 =220-

12=208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有264+208=472(种).
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(2)分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中
4 间4个节目无限制条件,有A4 种排法;

第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选
3 1个节目排在第一位有C 1 种排法,其他 3 个节目有 A 3 3 种排法, 3 故有C1 3A3种排法. 4 3 依分类加法计数原理,知共有A4 +C1 A 3 3=42(种)编排方案.

答案 (1)C

(2)B

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考点三 例3 二项式定理

专题六 第1讲
? 1 ? ? ? n 3 x + ? ? (n∈N+)的展开式中含有常 x x ? ?

(1)(2013· 辽宁)使

数项的最小的n为 A.4
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( C.6 D.7
2 013

)

B. 5
2 013

(2)若(1-2x)

=a0+a1x+?+a2 013x

a1 a2 (x∈R),则 + 2 2 2 ( )

a2 013 +?+ 2 013的值为 2 D.-2 ? ? r n-r? 1 ?r 解析 (1)展开式的通项公式Tr+1=Cn(3x) ? ?, x x ? ?
∴Tr+1=3n-r C r ,r=0,1,2,?,n. nx 5 5 令n- r=0,n= r,故最小正整数n=5. 2 2
5 n- r 2

A.2

B. 0

C.-1

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专题六 第1讲

(2)(1-2x)
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2 013

=a0+a1x+?+a2 013x

2 013

1 ,令x= , 2

? 1?2 013 a1 a2 a2 013 ? ? 则 1-2×2 =a0+ 2 +22+?+22 013=0, ? ?

a1 a2 a2 013 其中a0=1,所以 + 2+?+ 2 013=-1. 2 2 2
答案 (1)B (2)C

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专题六 第1讲

(1)在应用通项公式时,要注意以下几点: ①它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之
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确定; ②Tr+1是展开式中的第r+1项,而不是第r项; ③公式中,a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置; ④对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题. (2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法, 是处理组合数问题、系数问题的经典方法.

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1 ? ? ? x+ ?2n (1)? 3 ? 的展开式的第 6 项的二项式系数最 x? ? 大,则其常数项为
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( C.210 D.45 (

)

A.120

B.252

(2)若(1+x)(2-x)2 011=a0+a1x+a2x2+?+a2 011x2 011+ a2 012x2 012,则 a2+a4+?+a2 010+a2 012 等于 A.2-22 011 C.1-22 011 B.2-22 012 D.1-22 012 )

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解析

(1)根据二项式系数的性质,得2n=10,

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1? ? ? x + ?2n r 10-r 故二项式? 的展开式的通项公式是 T · +1=C10( x) r 3 ? x? ? r r ? 1 ? 5? ? r ? ?r 2 3 = , C x 10 ?3 ? ? x?

r r 根据题意5-2-3=0,解得r=6,
4 故所求的常数项等于C6 10=C10=210.

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(2)采用赋值法,
令x=1,得a0+a1+a2+?+a2 011+a2 012=2, 令x=-1,得a0-a1+a2-?-a2 011+a2 012=0,
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把两式相加,得2(a0+a2+?+a2 012)=2, 所以a0+a2+?+a2 012=1, 又令x=0,得a0=22 011, 所以 a2+a4+?+a2 010+a2 012=1-22 011.故选 C.
答案 (1)C (2)C

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专题六 第1讲

1.排列、组合应用题的解题策略 (1)在解决具体问题时,首先必须弄清楚是“分类”还是
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“分步”,接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体 标准是什么. (2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的 元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对结果产 生影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结 果没有影响,则是组合问题.也就是说排列问题与选取元 素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.

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专题六 第1讲

(3)排列、 组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素(特殊 位置)优先安排法;②合理分类与准确分步;③排列、组合 混合问题先选后排法;④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题
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插空法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排问题一排法;⑧“小 集团”问题先整体后局部法;⑨构造模型法; ⑩正难则反、 等价转化法. 2.二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通常有两种思路 一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数相等); 二是赋值.这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数 问题迎刃而解.

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专题六 第1讲

另外,通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项 或系数,求展开式的某一项或系数,在运用公式时要注意以
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下几点:
n-r r (1)Cr a b 是第r+1项,而不是第r项. n n r r (2)运用通项公式Tr+1=C r a b 解题,一般都需先转化为方程 n


(组)求出n、r,然后代入通项公式求解. (3)求展开式的特殊项,通常都是由题意列方程求出r,再求出 所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和r的取值范围及 它们之间的大小关系.

押题精练

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1.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛,决出了 第一到第五的名次.A、B两位学生去问成绩,老师对A
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说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对B说:你 是第三名.请你分析一下,这五位学生的名次排列的种数 为 A.6 B.18 C.20 D.24
3 解析 由题意知,名次排列的种数为C1 A 3 3=18.

( B )

押题精练
2.如图所示,在A、B间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电

专题六 第1讲

路不通.今发现A、B之间电路不通,则焊接点脱落的不 同情况有
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( C ) B.11种 C.13种 D.15种

A.9种

解析 按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落1个,有 (1),(4),共2种;

若脱落 2 个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共 6 种; 若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;
若脱落4个,有(1,2,3,4),共1种. 综上共有2+6+4+1=13种焊接点脱落的情况.

押题精练

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3.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+?+anxn中,若2a2+an-3 =0,则自然数n的值是
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( B ) C.9 D.10

A.7

B. 8

n-3 n-3 n-3 3 解析 易知a2=C2 , a = ( - 1) C = ( - 1) Cn, - n n 3 n
n-3 3 ∵2a2+an-3=0,∴2C2 + ( - 1) Cn=0, n

将各选项逐一代入检验可知n=8满足上式,选B.

押题精练

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4.在(1+ x) -(1+ x)4的展开式中,x的系数等于______ -3 . (用数字作答)
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2

3

解析 因为(1+ x ) 的展开式中x的系数为1,(1+ x )4的展 开式中x的系数为C3 4=4,

2

3

所以在(1+ x) -(1+ x)4的展开式中,x的系数等于-3.

2

3


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