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高中数学1-3分层抽样与系统抽样课件北师大版必修


第四课时
1.3分层抽样与系统抽样

自主学习 一、教学目标 1.理解分层抽样的必要性,掌握分层抽样的使用条件和操作步骤,会用分层 抽样法进行抽样,并亲自经历分层抽样法抽样的过程. 2.掌握系统抽样的方法和操作步骤,会用系统抽样法进行抽样. 二、重点与难点: 1.正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选择三 种抽样方法解决现实生

活中的抽样问题. 2. 正确理解系统抽样的概念,能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题. 三、教学方法: 观察、思考、交流、讨论、概括 四、教学导引 1.分层抽样:将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个 类型中按照所占比例随机抽取一定的样本,这种抽样方法通常叫作分层抽样, 有时也称为类型抽样. 2.系统抽样:将总体的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照简单随机 抽样抽取第一个样本,然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种 抽样方法有时也叫等距抽样或 机械抽样.

五对点讲练
知识点一分层抽样的应用 例1 某学校有在编人员160人,其中行政人员16人, 教师112人,后勤人员32人,教育部门为了了解学校机 构的改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确 定用何种方法抽取,并写出抽样过程.

解 因为本题样本总体分成三类:行政人员、教师、后勤 人员,符合分层抽样的特点,故选用分层抽样方法. 20 1 1 因为 = ,所以从行政人员中抽取 16× = 2(人 ),从教 160 8 8 1 1 师中抽取 112× = 14(人 ),从后勤人员中抽取 32× = 4(人 ). 8 8 因为行政人员和后勤人员较少,可将他们分别按 1~ 16 和 1~ 32 编号, 然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人, 对教师 从 000,001,…, 111 编号,然后用随机数法抽取 14 人. 这样就得到了符合要求的容量为 20 的样本. 点评 (1)当已知总体是由差异明显的几部分组成时,为 了使样本更充分地反映总体的情况,常采用分层抽样法. (2)分层抽样是将总体分成几层,分层进行抽取,抽取时 可采用抽签法或随机数法.

变式迁移 1 某城市有 210 家百货商店, 其中大型商店 20 家,中型商店 40 家,小型商店 150 家.为了掌握各商店的营 业情况,计划抽取一个容量为 21 的样本,按照分层抽样方法 抽取时,各种百货商店分别要抽取多少家?写出抽样过程.

变式迁移 1 解

21 (1)样本容量与总体的个体数的比为 210

1 = ; 10 (2)确定各种商店要抽取的数目: 1 1 大型: 20× = 2(家 ),中型: 40× = 4(家 ), 10 10 1 小型: 150× = 15(家 ); 10 (3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型: 2 家;中型: 4 家;小型: 15 家;这样便得到了所要抽取的样本.

知识点二系统抽样的应用 例2 为了解参加某种知识竞赛的1 000名 学生的成绩,从中抽取一个容量为50的样 本,那么采用什么抽样方法比较恰当?简 述抽样过程.

解 适宜选用系统抽样,抽样过程如下: (1)随机地将这1 000名学生编号为1,2,3,…,1000. (2)将总体按编号顺序均分成50部分,每部分包括20个 个体. (3)在第一部分的个体编号1,2,3,…,20中,利用简单 随机抽样抽取一个号码k. (4)以l为起始号码,每间隔20抽取一个号码,这样得到 一个容量为50的样本:k,k+20,k+40,… ,k+ 980.

点评 (1)解决系统抽样问题中两个关键的步骤为: ①分组的方法应依据抽取比例而定,即根据定义每 组抽取一个样本. ②起始编号的确定应用随机抽样的方法,一旦起始 编号确定,其他编号便随之确定了. (2)当总体中的个体数不能被样本容量整除时,需要 在总体中剔除一些个体.

变式迁移 2 某工厂有 1 003 名工人, 从中抽取 10 人参加 体检,试用系统抽样进行具体实施. 变式迁移 2 解 (1)将每个人编一个号, 由 0001 至 1003. (2)利用随机数法找到 3 个号将这 3 名工人剔除. (3)将剩余的 1 000 名工人重新编号 0001 至 1000. 1 000 (4)分段,取间隔 k= = 100,将总体均分为 10 组, 10 每组 100 名工人. (5)从第一段即 0001 号到 0100 号中随机抽取一个号 l. (6)按编号将 l,100+ l,200+ l,…,900+ l 共 10 个号选出. 这 10 个号所对应的工人组成样本. 知识点三抽样方法的综合应用

知识点三抽样方法的综合应用 例3 某工厂有工人1 021人,其中高级工程师20人,现抽取普通工 人40人,高级工程师4人组成代表队参加某项活动,怎样抽样?

例 3 解 普通工人 1 001 人抽取 40 人, 适宜用系统抽样 法;高级工程师 20 人抽取 4 人,适宜用抽签法. (1)将 1 001 名职工用随机方式编号. (2)从总体中剔除 1 人 (剔除方法可用随机数法 ), 将剩下的 1 000 名职工重新编号 (分别为 0001,0002,…,1000),并平均 1 000 分成 40 段,其中每一段包含 = 25 个个体. 40 (3)在第一段 0001,0002,…, 0025 这 25 个编号中用简单 随机抽样法抽出一个 (如 0003)作为起始号码. (4)将编号为 0003,0028,0053,…, 0978 的个体抽出. (5)将 20 名高级工程师用随机方式编号, 编号为 01,02, …, 20. (6)将这 20 个号码分别写在一个小纸条上,揉成小球,制 成号签. (7)将得到的号签放入一个容器中,充分搅拌. (8)从容器中逐个抽取 4 个号签,并记录上面的编号. (9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出. 以上方法得到的所有个体便是代表队成员.

点评 (1)当问题比较复杂时,可以考虑在一个问题中交 叉使用多种方法,面对实际问题,准确合理地选择抽样方 法,对初学者来说是至关重要的. (2)选择抽样方法的规律 ①当总体容量较小,样本容量也较小时,制签简单,号签 容易搅匀,可采用抽签法. ②当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法. ③当总体容量较大,样本容量也较大时,适合用系统抽样 法.

变式迁移3 根据下列情况选择合适的抽样方法: (1)30台电视机,其中甲厂生产的有21台,乙厂生产的有 9台,抽取10台入样; (2)从甲厂生产的300台电视机中,抽取10台入样; (3)从甲厂生产的300台电视机中,抽取100台入样.

解 (1)总体由两类差异明显的个体组成,所以应采用 分层抽样,又因为每层中样本容量较小,故在每层中可 采用抽签法. (2)总体容量较大,样本容量较小,可用随机数法. (3)总体容量较大,样本容量也较大,可用系统抽样 法.

课堂练习 一、选择题 1.某地区的高中分三类, A 类学校共有学生 4 000 人,B 类学校共 有学生 2 000 人,C 类学校共有学生 3 000 人.现欲抽样分析某 次考试的情况, 若抽取 900 份试卷进行分析,则从 A 类学校抽取 的试卷份数应为 ( ) A.450 B.400 C.300 D.200 4 000 1.答案:B [试卷份数应为 900× = 400.] 4 000+ 2 000+3 000 2.某中学高一年级有 540 人,高二年级有 440 人,高三年级有 420 人,用分层抽样的方法抽取样本容量为 70 的样本,则高一、高二、 高三三个年级分别抽取 ( ) A.28 人、24 人、18 人 B.25 人、24 人、21 人 C.26 人、24 人、20 人 D.27 人、22 人、21 人 2.答案:D 3.下列抽样中,最适宜用系统抽样法的是( ) A.从某厂生产的 20 000 个电子元件中随机抽取 6 个做样本 B.从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 5 个做样本 C.从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 200 个做样本 D.从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 7 个做样本 3.答案:C [A、B 中抽取样本容量太小,不适宜.D 中总体元素 较少,不适宜. C 中总体容量和样本容量都较大,适于用系统抽 样.故选 C.]

4.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要 利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和 系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三 年级依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样 4.答案:D [因为③为系统抽样,所以答案A不对;因为②为分层抽样,所 以答案B不对;因为④不为系统抽样,所以答案C不对,故选D.]

5.下列抽样中,不是系统抽样的是( ) A.从标有1~15的15个球中,任选3个作样本,按从小到大的顺序 排序,随机选起点i0,以后i0+5,i0+10(超过15则再重新选i0)号 入样 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员 从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直 到调查到规定的人数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座号为 14的观众留下来座谈 5.答案:C

二、填空题 6.某农场在三种地上种玉米,其中平地 210 亩,河沟地 120 亩,山 坡地 180 亩,估计产量时要从中抽取 17 亩作为样本,则平地、河 沟地、山坡地应抽取的亩数分别是 ________________. 6. 答案: 7,4,6 17 17 17 解析 应抽取的亩数分别为 210× = 7,120× = 4,180× 510 510 510 = 6. 7.计划从三个街道 20 000 人中抽取一个 200 人的样本,现已知三个 街道人数之比为 2∶ 3∶5,采用分层抽样的方法抽取,则应分别抽 取 ______________人. 7. 答案: 40,60,100 8.用系统抽样的方法从个体数为 1 003 的总体中抽取一个容量为 50 的样本,在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是________. 样本容量 50 8. 答 案 . 解 析 每 个个 体被 抽到 的可 能性 为 = 1 003 总体容量 50 1 003

三、解答题 9.某校高一年级500名学生中,血型为O型的有200人,A型的有125人,B 型的有125人,AB型的有50人.为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取 一个容量为40的样本,应如何抽样?写出AB血型的样本的抽样过程.

2 9. 解 因为 40÷ 500= , 所以应用分层抽样法抽取血型为 O 型的 16 25 人; A 型的 10 人; B 型的 10 人; AB 型的 4 人. AB 型的 4 人可这样抽取: 第一步:将 50 人随机编号,编号为 1,2,… , 50; 第二步:把以上 50 人的编号分别写在一张小纸条上,揉成小球,制 成号签; 第三步:把得到的号签放入一个不透明的袋子中,充分搅匀; 第四步:从袋子中逐个抽取四个号签,并记录上面的编号; 第五步:根据对应得到的编号找出要抽取的 4 人.

10.某学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流情况,决定用系统 抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查(即从每周抽取1天,一年恰好 有52个星期),你觉得这样的选择合适吗?为什么?

解 不合适,因为这家超市位于学校附近,其顾客多为学生,其客流量 受到学生作息时间的影响,周末的客流量与平时明显不同,如用系统抽 样来抽取样本,当起始点抽到星期天时,这样所抽取的样本就全是星期 天,样本代表的客流量就与实际情况出入较大,另外寒暑假也会影响超 市的客流量


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