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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第5讲 几何概型(含解析)新人教A版


第 5 讲 几何概型
一、选择题 1、如图,在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形,现有均匀的 粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?

96 A. 625 529 C. 625

98 B. 625 68 D. 625

解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何

一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。 设 A=“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为:25×25=625

1 两个等腰直角三角形的面积为:2× 2 ×23×23=529
带形区域的面积为:625-529=96



P(A)=

96 625

答案 A 2.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外, 其余全部相同)上爬来爬去, 它最后随意停 留在黑色地板砖上的概率是( )

1 A. 4

1 B. 3

C.

1 5

D.

1 2

解析 每个小方块的面积相等,而黑色地板砖占总体的 1 砖上的概率是 3 答案 B

4 1 ? ,故蚂蚁停留在黑色地板 12 3

1

3. 如图的矩形长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗, 由此我们可以估计出 阴影部分的面积约为 ( 16 A. 5 ). 21 B. 5 23 C. 5 19 D. 5

S 138 23 解析 由几何概型的概率公式,得 = ,所以阴影部分面积约为 ,故选 C. 10 300 5 答案 C 4.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为 1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 4 D. 5 ( ).

解析 设出 AC 的长度,先利用矩形面积小于 32 cm2 求出 AC 长度的范围,再利用几何 概型的概率公式求解.设 AC=x cm,CB=(12-x)cm,0<x<12,所以矩形面积小于 32 8 2 cm2 即为 x(12-x)<32?0<x<4 或 8<x<12,故所求概率为 = . 12 3 答案 C 5. 分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正 方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 4-π A. 2 4-π C. 4 π-2 B. 2 π-2 D. 4 ( ).

解析 设正方形边长为 2,阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形 2π-4 π-2 的面积,即为 π-2,则阴影区域的面积为 2π-4,所以所求概率为 P= = . 4 2 答案 B 6.若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b,则方程 x=2 2a- 实数根的概率为 1 A. 4 1 B. 2 3 C. 4 ( 2 D. 5 ). 2b 有不等 x

2b 解析 方程 x=2 2a- ,即 x2-2 2ax+2b=0,原方程 x 有不等实数根,则需满足 Δ=(2 2a )2-4×2b>0,即 a>b. 在如图所示的平面直角坐标系内,(a,b)的所有可能结果是 边长为 1 的正方形(不包括边界), 而事件 A“方程 x=2 2a-
2

2b 有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界).由几何概型公式可得 P(A) x 1 ×1×1 2 1 = = .故选 B. 2 1×1 答案 B 二、填空题 π π? 1 7.在区间? ?-2,2?上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 至2之间的概率为________. 1 解析 根据题目条件,结合几何概型的概率公式可得所求的概率为 P= = . π ?-π? 3 - 2 ? 2 ? 答案 1 3 π π? 2? ?2-3?

8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内 1 投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若 2 1 此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看书.则 4 小波周末不在家看书的概率为________. 解析 设 A={小波周末去看电影}, B={小波周末去打篮球}, C={小波周末在家看书}, 1 1 ? ?2π-? ?2π 2 4 13 D={小波周末不在家看书},如图所示,则 P(D)=1- = . π 16 答案 13 16

9.有一个底面圆的半径为 1,高为 3 的圆柱,点 O1,O2 分别为这个圆柱上底面和下底面的 圆心, 在这个圆柱内随机取一点 P, 则点 P 到点 O1, O2 的距离都大于 1 的概率为________. 解析 确定点 P 到点 O1,O2 的距离小于等于 1 的点的集合为,以点 O1,O2 为球心,1 1 4 4 为半径的两个半球,求得体积为 V=2× × π×13= π,圆柱的体积为 V=Sh=3π,所 2 3 3 4π 3 5 以点 P 到点 O1,O2 的距离都大于 1 的概率为 V=1- = . 3π 9 答案 5 9

1 10.已知正三棱锥 S-ABC 的底边长为 4,高为 3, 在三棱锥内任取一点 P, 使得 VP-ABC< VS 2
-ABC

的概率是________.

1 解析 三棱锥 P-ABC 与三棱锥 S-ABC 的底面相同,VP-ABC< VS-ABC 就是三棱锥 P- 2
3

ABC 的高小于三棱锥 S-ABC 的高的一半,过高的中点作一平行底面的截面,这个截面 下任取一点都符合题意,设底面 ABC 的面积为 S,三棱锥 S-ABC 的高为 h,则所求概 1 1 1 1 Sh- × S× h 3 3 4 2 7 率为:P= = . 1 8 Sh 3 答案 7 8

三、解答题 11. 已知|x|≤2, |y|≤2, 点 P 的坐标为(x, y), 求当 x, y∈R 时, P 满足(x-2) +(y-2) ≤4 的概率. 思路分析 由题意画出图象可求面积之比. 解 如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内 部(含边界),满足(x-2) +(y-2) ≤4 的点的区域 为以(2,2)为圆心,2 为半径的圆面(含边界). 1 2 π ×2 4 π ∴所求的概率 P1= = . 4×4 16 12.已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={-2,-1,1,2,3}和 Q={-2,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率; m+n-1≤0, ? ? (2)实数 m,n 满足条件?-1≤m≤1, ? ?-1≤n≤1, 求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率. 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有: (-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2), (3,3),共 10 个基本事件. 设使函数为增函数的事件为 A, 则 A 包含的基本事件有: (1, -2), (1,3), (2, -2), (2,3), 6 3 (3,-2),(3,3),共 6 个基本事件,所以,P(A)= = . 10 5
2 2 2 2

m+n-1≤0, ? ? (2)m,n 满足条件?-1≤m≤1, ? ?-1≤n≤1

的区域如图所示,要使函

数的图象过一、二、三象限,则 m>0,n>0,故使函数图象
4

过一、二、三象限的(m,n)的区域为第一象限的阴影部分, 1 2 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 7 7 2 13.已知集合 A={-2,0,2},B={-1,1},设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合 M 内随机 取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x +y =1 上的概率;
2 2

x-y+2≥0, ? ? (2)求以(x,y)为坐标的点位于区域 D:?x+y-2≤0, ? ?y≥-1
解 (1)记“以(x,y)为坐标的点落在圆 x +y =1 上” 为事件 A,则基本事件总数为 6.因落在圆 x +y =1 上
2 2 2 2

内(含边界)的概率.

2 1 的点有(0,-1),(0,1)2 个,即 A 包含的基本事件数为 2,所以 P(A)= = . 6 3 (2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域内”为事件 B, 则基本事件总数为 6,由图知位于区域 D 内(含边界) 的点有:(-2,-1),(2,-1),(0,-1),(0,1), 4 2 共 4 个,即 B 包含的基本事件数为 4,故 P(B)= = . 6 3 14.甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停 靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时, 求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率. 解 甲比乙早到 4 小时内乙需等待,甲比乙晚到 2 小时内甲 需等待. 以 y 和 x 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一艘船 停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在 如图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边 长为 24 的正方形, 而事件 A“有一艘船停靠泊位时必须等待 一段时间”的可能结果由阴影部分表示. 1 1 242- ×222- ×202 2 2 67 由几何概型公式,得 P(A)= = . 242 288 67 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 . 288

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