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数列复习课


第一章 数 列 一: 知识归纳及对策

1、数列:是按照一定顺序排列而成的一列数 2、等差数列:
(1)定义:{an}为等差数列 ?

an?1 ? an ? d ? 2an ? an?1 ? an?1

(2)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d;

前 n 项和公

式:

Sn ? na1 ?

n(a 1 ? a n ) n(n ? 1) d? 2 2 ;要掌握“倒序相加”的推导方法

(3)等差数列的性质: ①三数 成等差 ,即 是 的等差中项

②当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq,特别的当 2n=p+q 时,2an=ap+aq;

s ,s ③ n 2n
④ ⑤

? sn , s3n ? s2n

仍为等差数列

an ? kn ? b ,即 an 是 n 的一次型函数,系数 k 为等差数列的公差;

sn ? kn2 ? bn ,即 S 是 n 的不含常数项的二次函数 ? {an } 为等差数列. n
{an ? bn } ,{kan ? c}(k,c 为常数)均等差数列;

⑥若{an},{bn}均为等差数列,则

⑦若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、
2

S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

[基础巩固]
1、前 100 个自然数中,除以 7 余数为 2 的所有数的和是( A、765 B、653 C、658 D、660 2、设 A.128 3.设 )

{an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列{an } 前 8 项的和为(
B.80 C.64 D.56

)

Sn 是等差数列{an } 的前 n 项和, a12 ? ?8 , S9 ? ?9 ,则 S16 ?

4.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向 右的第 3 个数为

3、等比数列:
a n ?1 a n =q(q 为常数,a ≠0) (1)定义: ;an2=an-1an+1(n≥2,n∈N+) ; n
(2)通项公式: , ;

q ?1 ?na1 要掌握“错位相消”的推导方法 ? n 前n项和公式 : S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q   q ? 1 ?
(3)等比数列的性质: ①三数 项 ②若 ③ ,则 仍为等比数列 ;特别的,当 2n=p+q 时,an2=apaq 成等比 ,即 是 的等比中项; 只有同号的两数才存在等比中

④若{an},{bn}均为等比数列,则数列

{an ? bn } ,{an / bn } ,{ka }仍为等比数列.
n

[基础巩固]
S4 ? { a } S a q ? 2 n n 2 1、设等比数列 的公比 ,前 n 项和为 ,则 ______
2、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+?+an=2n-1,则 a12+a22+a32+?+an2 等于( ) (A) (2 ? 1)
n 2

1 n (2 ? 1) (B) 3

(C) 4 ? 1
n

1 n (4 ? 1) (D) 3
)

3、 等比数列前 n 项和为 Sn 有人算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了, 错误的是( A、S1 B、S2 C、S3 D、S4

{an } 中 , 若 4. 在 等 比 数 列
1 1 1 1 ? ? ? ? a7 a8 a9 a1 0

a7 ? a ? a ? 8 a ?9

15 9 a8 a9 ? ? 1 0 8 , 8 , 则



4、等差、等比数列的综合应用
(1)方程的思想:常设首项、公差(公比) ,借助于解方程组思想求解; (2)灵活运用等差、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若 若

{an } 为等差数列,则{a an }为等比数列(a>0 且 a≠1) ;

n {an } 为正数等比数列,则{loga a } 为等差数列(a>0 且 a≠1) 。

5、求最值:等差数列中常用方法
1、应用二次函数图象求解最值 练 等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0, S4 ? S9 ,则 n 的取值为多少时? Sn 最大

2、.转化为求二次函数求最值 练、在等差数列{ an }中, a4 =-14, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值

3、利用关系式 ?

?an ? 0 ,来求 Sn 最大值 a ? 0 ? n

练已知等差数列{ an }中 a1 =13且 S 3 = S11 ,那么n取何值时, S n 取最大值.

6、巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数
为“a,a+m,a+2m(或 a-m,a,a+m) ”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq (或 ③ 四 数 成 等 差 数 列 , 可 设 四
2

a ,a,aq)” q
数 为

“ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ”④四数成等比数列,可设四 数为“ a, aq, aq , aq (或
2 3

a a ,? , aq,?aq3 ), 3 q q

[基础巩固]
1、三个正数 a、b、c 成等比数列,则 lga、 lgb、 lgc 是 ( ) A、等比数列 B、既是等差又是等比数列 C、等差数列 D、既不是等差又不是等比数列 2、数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a7,a10,a15 是一等比数列{bn}的连续三项,若该等比数 列的首项 b1=3 则 bn 等于 A、3·(5/3)n-1 B、3·(3/5)n-1 C、3·(5/8)n-1 D、3·(2/3)n-1 3.等差数列{an}的公差不为零,首项 是( )A.90 B.100

a1 ? 1 , a2是a1和a5 的等比中项,则数列{a }的前 10 项之和 n
C.145 D.190

x f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 , 则 {a } 4 .已知函数 f ( x ) ? 2 , 等差数列 x 的公差为 2 . 若

log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??? f (a10 )] ?

.

☆ 专题一 数列的通项公式

1、观察法

例如 :



2、公式法(已知所求数列为等差或等比数列)

S 3、 n 法:
n ?1 ?1        an ? ? S ?S n ? S n ?1    n ? 2 ①已知数列前 n 项之和 n ,则
②已知数列前 项之和 和

能合则合

an 的混合式,

则用“退一相减法”或 例如:已知数列

an 改写为 S n ? S n?1 .

{an } , a1 ? 1 ? k , 当 n ? 2 时,有 S n ? 3a n ?2 ,求 k 的值及 an {an } ,设 a =kn+b, S =kn2+bn;
n n

4、待定系数法:一般地,等差数列 等比数列

{an } ,设 an ? Aqn?1 , S n ? Aqn ? A, Aq ? 0, q ? 1 an?1 ? an ? f (n) 的 一 次 递 推 式 , 只 要

5、递推数列(辅助数列法) :已知简单递推关系求通项公式 ① 叠 加 法 ( 累 加 法 ): 对 于 形 如

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) 能进行求和,则宜采用此法.( “相加抵消法” )

例如:数列

{an } 中,

a1 ? 1, a n ?1 ? a n ?

1 n(n ? 1) ,求数列{an } 的通项公式。

②叠乘法:对于形如

an?1 ? an ? f (n) 即 an?1 / an ? f (n) 型 的 递 推 式 , 只 要

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) 可求时,则宜采用此法.( “相乘约分法” )
例如:数列

{an } 中, a1 ? 1, ?n ? 1?an?1 ? nan ,求数列{an } 的通项公式.

☆ 专题二 数列的前项 n 和
1、公式法

2、分组求和法:若 前 项之和

是等差数列



是等比数列

,则求数列

{an ? bn } 的

S n 用分组求和法。

例如:已知数列

an ? 3n ? 2 ? 5n?1 ? 1,求其前 n 项和 S n 。
{an ? bn }

3、错位相减法:若 的前 项之和

是等差数列



是等比数列

,则求积数列

S n 用错位相减法。

例如:已知数列

an ?

2n ? 1 3 n ,求其前 n 项和 S n 。

变式:

an ? (2n ? 1) ? 3n

4.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选 用裂项相消法求和.常用裂项形式有:常用裂项形式有常用的裂项

1 1 1 ? ? , n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? [ ? ] n(n ? 2) 2 n n ? 2 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
练:{数列 an}通项公式是 a n ?

1 n ? n ?1

,若前 n 项的和为 10,求项数_

5.

倒序求和:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来

练:设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本推导等差数列的前 n 项和公式的方法,可求得

f(-5)+ f(-4)+?+ f(5)+ f(6)的值。

强化训练: 1. 等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1 与 d 变化时,a2+a8+a11 是一个定值, 则下各数中也为定值的是 ( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15

2.已知-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1 五个实数 成等比数列,则

a2 ? a1 = b2

3. 已知数列 {an } , “对任意的 n ? N ? , 点Pn (n, an ) 都在直线 y ? 3x ? 2 上”是“ {an } 为等 差数列”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

4. 已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ?a11 ? 0 ,则有(

A. a1 ? a11 ? 0

B. a2 ? a10 ? 0

C. a3 ? a9 ? 0

D. a6 ? 6

5.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为( ) A.S17 B.S18 C.S19 D.S20

6、数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a n ?

1 a n ?1

? 1,则 a 4 ?

7、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2,则 A.

2a1 ? a 2 的值为( ) 2a 3 ? a 4
C.

1 4

B.

1 2

1 8

D.1

8、在数列 ①求数列

?an ?中, a1 ? 8, a4 ? 2 且 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,n? N ? .
②设

?an ?的通项公式。

S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | .求S n

9、已知数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? 2Sn S n?1 ? 0(n ? 2) ,

a1 ?

1 2,

?1? ? ? S ?a ? ①求证:数列 ? n ? 是等差数列;②求数列 n 的通项公式。

10.已知数列

{an } 的首项
{

a1 ?

2 a ? 2an n ?1 an ? 1 , n ? 1, 2,3, ?. 3,

1 n ? 1} { } S a a (Ⅰ)证明:数列 n 是等比数列; (Ⅱ)数列 n 的前 n 项和 n .

11. 已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列?bn ? 满足 b1 ? 2 ,点

P(bn, bn?1)( n ? N ?) 在直线 y ? x ? 2 上,
(1)求数列 (2)设

?an ?,?bn ? 的通项公式;

cn ? an ? bn ,求数列?cn ? 的前 n 项和 Tn .

12.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n


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