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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 单位圆与诱导公式课件 北师大版必修4


问题提出
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的?

sin ? ? y
cos ? ? x
y tan ? ? ( x ? 0) x

α 的终边 P(x,y)

y

O

x

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三

角函数之 间的关系是什么?

公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?

( k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?
3.你能求sin750°和sin930°的值吗?

知识探究(一):α与α+π, α-π的 正余弦函数关系

y α 的终边 思考1:对于任意给定 的一个角α ,角α + π 的终边与角α 的终 边有什么关系?

o

x
α +π的终边

思考2:设角α 的终边与单位圆交于点P(x,y),

则角α +π 的终边与单位圆的交点坐标如何? y
α 的终边 P(x,y) o

x

α +π的终边

思考3:根据三角函数定义, sin( α +π) 、cos( α +π )、 tan( α +π )的值分别是什么? y α 的终边

sin(α +π )=-y cos(α +π )=-x

P(x,y)
o

y tan(α +π )= x x
Q(-x,-y)

α +π 的终边

思考4:对比sinα ,cosα ,tanα 的值,π +α 的三角函数与α 的三角函数有什么关系?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?
思考5:α 与α-π 的 正余弦函数 关系 ?

sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

知识探究(二): α 与-α ,π -α 的正余弦函数关系 思考1:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边 与α 的终边有什么关系? y α 的终边

o

x

思考2:设角α 的终边与单位圆交于点

P(x,y),

则-α 的终边与单位圆的交点坐标如何? y
α 的终边

P(x,y)
o x

-α 的终边

思考3:根据三角函数定义,-α 的三角函数与α 的三角函数有什么关系? y α 的终边

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

sin( ?? ) ? ? sin ?
公式三: cos( ?? ) ? cos ?

tan( ?? ) ? ? tan ?

思考4:利用π -α =π +(-α ),结合公式二、

三,你能得到什么结论?

sin( ? ? ? ) ? sin ?
公式四: cos(? ? ? ) ? ? cos ?

tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

思考5:如何根据三角函数定义推导公式四? α 的终边 y

π -α 的终边
x

P(x,y)
o

-α 的终边

思考6:公式三、四有什么特点,如何记忆?

sin( ?? ) ? ? sin ?

公式三:

cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
sin( ? ? ? ) ? sin ?

公式四:

cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

函数名不变,象限定符号

思考7:公式一~四都叫做诱导公式,他们分别反映
了2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π-α的三角

函数与α的三角函数之间的关系,你能概括一下这
四组公式的共同特点和规律吗?

2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三
角函数值,等于α 的同名函数值,再放上原函数的

象限符号.

理论迁移
例1 求下列各三角函数的值:

7? (1) sin( ? ) 4 31?
(3)cos(6

2? (2)cos 3
)
(4)cos(-2040 )
?

小结作业
1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以产生一些派生公 式, 如sin(2π -α )=-sinα , sin(3π -α )=sinα 等.

3.利用诱导公式一~四,可以求任意角的三角函数,
其基本思路是: 任意负角的 三角函数
公式四 公式一

任意正角的 三角函数
公式一

锐角的三角 函数

公式二,四, 五,六

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

公 sin( ? ? 2k? ) ? sin ? 式 cos(? ? 2k? ) ? cos ? 一 : tan( ? ? 2k? ) ? tan ? 公 sin( ? ? ? ) ? ? sin ? 式 cos(? ? ? ) ? ? cos ? 二 : tan( ? ? ? ) ? tan ? 公 式 三 :
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公 式 四 : 公 式 五 : 公 式 六 :

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? ? sin ?

cos(

?
2

sin(

?
2

? ? ) ? cos? ? ? ) ? sin ?

cos(

?
2

k? ? ? (k ? Z) 思考 诱导公式可统一为 2
什么办法记住这些公式?

的三角函数与α的三角函数之间的关系,你有

奇变偶不变,符号看象限.

3? sin(2 ? - ? )cos(3? ? ? )cos( ? ? ) 2 sin(- ? ? ? )sin(3 ? - ? )cos(-? ? ? )
1 例2 已知sin (30 ? ? ) ? 3 ,求 ? 1 cos(60 ? ? ) ? ? ? tan (30 ? ? ) 1 ? sin (60 ? ? ) 的值.
?

例1 化简:

例3 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? -180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?

1 例1 已知cos(π +x)= ,求下列各式的值: 3

(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).
例2 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? -180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?


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