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河南省郑州市2015届高三第一次质量预测——数学(文)


河南省郑州市

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2015 年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学 参考答案
一、选择题 1-12: CAAD 二、填空题 13.96;14.50;15. ? 三、解答题 17.解:(1).由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3bc ?

0 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3bc ACCB BDDB

7 ;16.2,3,4. 8

? cos A ?

? b2 ? c 2 ? a 2 3 ? , A? . 6 2bc 2

………… 4 分

由 2b sin A ? a ,得 sin B ? (2).设 AC ? BC ? x , 由余弦定理得 AM ? x ?
2 2

? 1 . 故 B ? .………6 分 6 2
2 x2 x 1 ? 2 x ? ? (? ) ? 14 ,………8 分 4 2 2

解得 x ? 2 2 ,……10 分 故 S ?ABC ?

1 3 ?2 2 ?2 2 ? ? 2 3 ……………………12 分 2 2

18.解:用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事 件,则基本事件有: ?1,1? 、 ?1,2 ? 、 ?1,3? 、 ?1,4 ? 、 (1,5) 、 ? 2,1? 、 ? 2,2 ? 、 ? 2,3? 、 ? 2,4 ? 、 ( 2、 5) 、

5) 、? 4,1? 、? 4,2 ? 、? 4,3? 、? 4,4 ? 、(4,5) 、(5,1) 、(5,2) 、(5,3) 、 ? 3,1? 、? 3,2? 、? 3,3? 、? 3,4? 、(3、
(5,4) 、 (5,5) 共 25 个; …………………4 分
(1).设:甲获胜的的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件有:? 2,1? 、? 3,1? 、 ? 3,2 ? 、? 4,1? 、? 4,2 ? 、

? 4,3? 、 (5,1) 、 (5,2) 、 (5,3) 、 (5,4) ,共有 10 个;…………………6 分
则 P ( A) ?

10 2 ? .…………………8 分 25 5

(2).设: 甲获胜的的事件为 B, 乙获胜的的事件为 C. 事件 B 所包含的基本事件有: ?1,1? 、 ?1,2? 、 ?1,3? 、

?1,4? 、 ? 2,1? 、 ? 2,2? 、 ? 2,3? 、 ? 3,1? 、 ? 3,2? 、 ? 4,1? ,共有 10 个;
则 P (B) ?

10 2 ? ,…………………10 分 25 5
5

所以 P (C ) ? 1 ? P ( B ) ?

3 . …………………11 分 5

因为 P( B) ? P(C ) ,所以这样规定不公平. ……………………12 分 19.解:(1).连结 AC 交 BQ 于 N ,连结 MN ,因为 ?ADC ? 900 ,Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点.…………………2 分 当 M 为 PC 的中点,即 PM ? MC 时, MN 为 ?PAC 的中位线, 故 MN / / PA ,又 MN ? 平面 BMQ ,所以 PA / / 平面 BMQ .…………………5 分 (2).由(1)可知, PA / / 平面 BMQ ,所以点 P 到平面 BMQ 的距离等于点

A 到平面 BMQ 的距离,所以 VP?BMQ ? VA?BMQ ? VM ? ABQ ,
取 CD 的中点 K ,连结 MK ,所以 MK / / PD ,

P

1 MK ? PD ? 1 ,…………7 分 2 又 PA ? 底面 ABCD ,所以 MK ? 底面 ABCD . 1 又 BC ? AD ? 1 , PD ? CD ? 2 ,所以 AQ ? 1 , BQ ? 2 , 2

D

M

Q A N B

C

MQ ? 3, NQ ? 1, …………………10 分
所以 VP? BMQ ? VA?BMQ ? VM ? ABQ ? 分 则点 P 到平面 BMQ 的距离 d =

1 1 1 ? ? AQ ? BQ ? MK ? . 3 2 3

S?BQM ? 2, …………………11

3VP ? BMQ S?BMQ

?

2 …………………12 分 2

20.解:(1).设点 P ( x, y ) ,由题意可得,

( x ? 1) 2 ? y 2 2 ,…………………2 分 ? | x?2| 2

x2 x2 2 E ? y ? 1 .曲线 的方程是 ? y 2 ? 1 .…………………5 分 整理可得: 2 2
(2).设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,由已知可得: | AB |? 当 m ? 0 时,由直线 l 与圆 x ? y ? 1 相切,可得:
2 2

2 ,当 m ? 0 时,不合题意.

|n| m ?1
2

? 1,即 m 2 ? 1 ? n 2

? y ? mx ? n, 1 2 ? 2 y ( m ? ) x ? 2mnx ? n 2 ? 1 ? 0. …………………7 分 联立 ? x 2 消去 得 2 2 ? ? y ? 1, ?2
1 ?2mn ? ? ?2mn ? ? ? ? 4m 2 n 2 ? 4(m 2 ? )( n 2 ? 1) ? 2m 2 ? 0 , x1 ? , x2 ? , 2 2 2m ? 1 2m 2 ? 1
6

?4mn 2n 2 ? 2 , x1 x2 ? , 所以, x1 ? x2 ? 2m 2 ? 1 2m 2 ? 1
S四边形 ACBD ?

2 2 2 2m 2 ? n 2 ? 1 2| m| 1 | AB | | x2 ? x1 | = = ? ? . ……10 分 2 2 1 2 2m ? 1 2m ? 1 2 | m | ? 2 |m|
1 2 6 ,即 m ? ? 时等号成立,此时 n ? ? . |m| 2 2
2 6 2 6 和直线 y ? ? 符合题意. ………………12 分 x? x? 2 2 2 2

当且仅当 2 | m |?

经检验可知,直线 y ?

21.解: (1) f ' ( x) ? 2ax ? 2(a ? 1) ?

2 2ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 (2ax ? 2)(x ? 1) ? ? ( x ? 0) x x x

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 在 x ? 0 上恒成立;…………………2 分 当 a ? 0 时,在 x ? (0, ) 时, f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ( ,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 所以,当 a ? 0 时, f ( x) 的减区间为(0,+ ? );…………………4 分 当 a ? 0 时, f ( x) 的减区间为 (0, ) ,增区间为 ( ,?? ) . …………………6 分 (2) 设 P( x0 , y0 ) 为函数

1 a

1 a

1 a

1 a

f ( x) ? x 2 ? 2 ln x 图像上一点,则函数 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方
2 )(x ? x0 ) x0

2 程为: y ? x0 ? 2 ln x0 ? (2 x0 ?

2 即: h( x) ? 2 x0 x ? x0 ?

2x ? 2 ? 2 ln x0 .…………………8 分 x0 2x ? 2 ? 2 ln x0 ) x0

2 令 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? (2 x0 x ? x0 ?

2 ? x 2 ? 2 ln x ? 2 x0 x ? x0 ?

2x ? 2 ? 2 ln x0 , x0

则 F ' ( x) ? 2 x ?

2 2 1 ? 2 x0 ? ? 2( x ? x0 )(1 ? ) ,因为 x ? 0, x0 ? 0 x x0 x0 x

所以,当 0 ? x ? x0 时, F ' ( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, F ' ( x) ? 0 即函数 F ( x) 在 (0, x0 ) 上为减函数,在 ( x0 ,??) 上为增,

7

所以, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0. …………………10 分 那么,当 x ? x0 时,

F ( x) f ( x ) ? h( x ) ? ? 0; x ? x0 x ? x0 F ( x) f ( x ) ? h( x ) ? ? 0. x ? x0 x ? x0

当 x ? x0 时,

因此,函数 f ( x) 在 x ? (0,??) 不存在“平衡点”. …………………12 分 22.证明:(1)因为 PG ? PD ,所以 ?PDG ? ?PGD . 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA ,…………………2 分 又因为 ?EGA ? ?PGD ,所以 ?EGA ? ?DBA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , 从而 ?PFA ? ?BDA .…………………4 分 又 AF ? EP, 所以 ?PFA ? 90? ,所以 ?BDA ? 90? , 故 AB 为圆的直径.…………………5 分 (2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD,从而得 Rt△BDA ≌Rt△ACB, 于是∠DAB=∠CBA. …………………7 分 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. ………………8 分 因为 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角,…………………9 分 所以 ED 为直径,又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 DE ? AB ? 5 .…………………10 分 23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,即 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2. ………2 分
2 2
2 2

所以圆心坐标为(1,-1) ,圆心极坐标为 ( 2 ,

5? ) ;…………………5 分 4

(Ⅱ)直线 l 的普通方程: 2 2x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线 l 的距离

d?

2 2 ?1?1 3

?

2 2 ,…………………7 分 3

所以 AB ? 2 2 ?

8 2 10 ? , 9 3
2? 2 2 5 2 ? , …………………9 分 3 3

点 P 直线 AB 距离的最大值为 r ? d ?

Smax ?

1 2 10 5 2 10 5 .…………………10 分 ? ? ? 2 3 3 9

?3 x ? 6, x ? ?1 ? 24.解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x ) ? ?? x ? 2,?1 ? x ? 1, ………………………3 分 ?4 ? 3 x, x ? 1 ?
8

由 f ( x) ? 2 易得不等式解集为 x ? (? ,0) ;………………………5 分 (2)由二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ,该函数在 x ? ?1 取得最小值 2,

4 3

?3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? 因为 f ( x) ? ? ? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 ,…………………7 分 ??3 x ? m ? 1, x ? 1 ?
所以要使二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象恒有公共点,只需 m ? 2 ? 2 , 即 m ? 4 .……………………………10 分

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