当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学选修2-1新教学案:2.2.1椭圆及其标准方程(2)


选修2—1

2.2.1

椭圆及其标准方程(学案)

(第 2 课时)

【知识要点】 1.椭圆的定义与标准方程; 2.求与椭圆有关的动点的轨迹方程. 【学习要求】 1.牢固掌握椭圆的有关概念及标准方程的求法; 2.会求与椭圆有关的动点的轨迹方程.

【预习提纲】 (根据以下提纲

,预习教材第 34 页~第 36 页) 1.求曲线轨迹的一般步骤: , 2.复习课本 38~41 并完成下面表格 标准方程









x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? b2 a 2

图 不 同 点 形

焦点坐标 定 义

相 同 点

a、b、c 的关系 焦点位置的判断

【基础练习】 1.若方程 ax ? by ? c(ab ? 0, c ? 0) 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则(
2 2

) .

( A)a ? b ? 0

( B)a ? 0, b ? 0

(C )b ? a ? 0

( D)

a b ? c c
) .

“ 2. k ? 2”是“方程

x2 y2 ? ? 1表示的曲线是椭圆” 的( k ?2 5?k

( A) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3. 已知 B、 是两个定点,BC=6,且△ABC 的周长等于 16,则顶点 A 的轨迹为 C
1

.

4.(2008 浙江)已知 F1、F2 为椭圆 B 两点 若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB = 【典型例题】 例 1

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、 25 9
.

如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PP , P 为垂
/ / /

足.当点 P 在圆上运动时,线段 PP 的中点 M 的轨迹 是什么?为什么?

y

P
M

-2

O

P′

2

x

变式练习:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆 方程.

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹 25 9

例 2 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

变式练习:如图,设△ ABC 的两个顶点 A ? ?a,0 ? , B ? a,0? ,顶点 C 在移动,且
2

k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程.

1.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P( 是( ) . (A)

3 4 ,-4)和 Q(- ,3) ,则此椭圆的方程 5 5

y2 ? x2 ? 1 25 y2 x2 ? x2 ? 1或 ? y2 ? 1 25 25

(B)

x2 ? y2 ? 1 25

(C)

(D)以上都不对

2.已知椭圆的方程是

x2 y2 ? ? 1?a ? 5? ,它的两个焦点分别为 F1、F2 ,且|F1F2|=8, a 2 25
) .

弦 AB 过 F1,则△ABF2 的周长为( (A)10 (B)20

(C)2 41

(D)4 41 ) .

3.若椭圆

x2 y2 ? ? 1过点 (?2, 3) ,则其焦距为( 16 b 2
(B) 2 5 (C) 4 3

(A) 2 3 4.如果椭圆

(D) 4 5

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点, 81 25
) . (C)8 (D)

O 是坐标原点,则 ON 的长为( (A)2 5
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

(B)4
2 2

3 2
) .

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( (B) ?0,2?
2 2

(A) ?0,???

(C) ?1,???

(D) ?0,1?

x y 6.点 P 是椭圆 + =1 上一点,以点 P 以及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 1, 5 4 则点 P 的坐标为 .
3

7.若椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1,则 k ? 9 ? k k ?1
2

.

8.一动圆过定点 A(1,0) ,且与定圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 16 相切,则动圆圆心轨迹方程 是 . 9. 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,点 M 分 AB 的比为 求点 M 的轨迹方程

2 , 3

10. 已知 x 轴上的一定点 A(1,0) 为椭圆 ,Q 程

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中点 M 的轨迹方 4

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 1.(08 年浙江卷)已知 F1、F2 为椭圆 25 9
A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB = .

2.如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份, 25 16

过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于

P , P , P , P , P , P , P 七个点, F 是椭圆的一 1 2 3 4 5 6 7
个焦点,则 PF ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? 1 2 3 4 5 6 7 .

4

选修2—1

2.2.1

椭圆及其标准方程(教案)

(第 2 课时) 【教学目标】 1.使学生牢固掌握椭圆的有关概念及标准方程的求法; 2.会求与椭圆有关的动点的轨迹方程. 【重点】 椭圆的标准方程;坐标法的基本思想. 【难点】 求与椭圆有关的动点的轨迹方程以及坐标法的应用.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 34 页~第 36 页) 1.求曲线轨迹的一般步骤: 建系、写点 , 找关于动点的几何相等关系 , 将上述相 等关系坐标化 , 化简 , 检验 . 2.复习课本 38~41 并完成下面表格 标准方程

x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? b2 a 2

图 不 同 点 形
F1

y
P O F2

y
P F2 O F1

x

x

焦点坐标 定 义

(?c,0)和(c,0)

(0,?c)和(0, c)

相 同 点

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1 F2 |)
a2 ? b2 ? c2
根据分母的大小

a、b、c 的关系 焦点位置的判断

【基础练习】 1.若方程 ax ? by ? c(ab ? 0, c ? 0) 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则(
2 2

C

) .

5

( A)a ? b ? 0

( B)a ? 0, b ? 0

(C )b ? a ? 0

( D)

a b ? c c

“ 2. k ? 2”是“方程

x2 y2 ? ? 1表示的曲线是椭圆” 的( B ) . k ?2 5?k

( A) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3.已知 B、C 是两个定点,BC=6,且△ABC 的周长等于 16,则顶点 A 的轨迹为 以BC为 焦点的椭圆(去掉与直线BC的两个交点) .

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、 4.(2008 浙江)已知 F1、F2 为椭圆 25 9
B 两点 若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB = 8 . 【典型例题】 例 1 如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PP , P 为垂
/ / /

足.当点 P 在圆上运动时,线段 PP 的中点 M 的轨迹是 什么?为什么? 【审题要津】点 P在圆x 2 ? y 2 ? 4 上运动,点 P 的 运动引起点 M 运动. 我们可以由 M 为线段 PP 的中点得 到点 M 与点 P 坐标之间的关系式,并由点 P 的坐标满足 圆的方程得到点 M 的坐标所满足的方程,即为点 M 的轨 迹方程. 解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x ? x0 , y ? ∴ x0 ? x, y0 ? 2 y . 因为点 P 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2
/

y

P
M

-2

O

P′

2

x

y0 , 2

所以有

x0 ? y0 ? 4 ,即
2 2

x2 ? 4y2 ? 4



x2 ? y2 ? 1 4

所以点 M 的轨迹是一个椭圆. 【方法总结】若点 P 在已知曲线上运动,点 M 随着点 P 的运动而运动,并且点 M 的 坐标与点 P 的坐标存在一定的关系,我们就把点 P 与点 M 称为相关点.根据点 M 的坐标 与点 P 的坐标间的关系, 用点 M 的坐标表示点 P 的坐标, 将点 P 的坐标代入已知曲线方程, 就可以得到点 M 的轨迹方程.我们称这种求点的轨迹方程的方法为相关点法.

6

变式练习:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆 方程.

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹 25 9

解:设点 M 的坐标为 ( x, y),点P的坐标为 x0 , y0 ) ( ∵点 M 是线段 AP 中点, ∴ x0 ? 2 x ? 6, y0 ? 2 y ? 2 . 又点 P 在椭圆上, 所以, ∴x ?

x0 ? 6 y ?2 ,y ? 0 , 2 2

(2 x ? 6) 2 (2 y ? 2) 2 ? ? 1 即为点 M 的轨迹方程. 25 9

例 2 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

【 审 题 要 津 】 设 点 M 的 坐 标 为 ( x, y ) , 那 么 直 线

AM, BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示.由于直线 AM, BM 的斜率之积是 ?
4 ,因此可以建立 x, y 之间的关 9

系式,得出点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,因为点 A 的坐标为 (?5,0) ,所以,直线 AM 的斜率

k AM ?
同理,直线 BM 的斜率

y ( x ? ?5) ; x?5 y ( x ? 5) ; x?5

k BM ?
由已知有

y y 4 ? ? ? ( x ? ?5) , x?5 x?5 9
化简,得点 M 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5) . 25 100 9
【方法总结】此类题目有两大关键,一是找出关于动点的几何相等关系,二是将几何相 等关系坐标化. 变式练习:如图,设△ ABC 的两个顶点 A ? ?a,0 ? , B ? a,0? ,顶点 C 在移动,且
7

k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程.
解:设点 C 的坐标为 ( x, y ) ,因为点 A 的坐标为 (?a,0) ,所以,直线 AC 的斜率

k AC ?
同理,直线 BC 的斜率

y ( x ? ?a) ; x?a y ( x ? a) ; x?a

k BC ?
由已知有

y y ? ? k ( x ? ? a) , x?a x?a
化简,得点 C 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ? a) . a 2 ? ka 2

1.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P( 是(

3 4 ,-4)和 Q(- ,3) ,则此椭圆的方程 5 5

A ) .

(A)

y2 ? x2 ? 1 25 y2 x2 ? x2 ? 1或 ? y2 ? 1 25 25

(B)

x2 ? y2 ? 1 25

(C)

(D)以上都不对

2.已知椭圆的方程是

x2 y2 ? ? 1?a ? 5? ,它的两个焦点分别为 F1、F2 ,且|F1F2|=8, a 2 25
D
) . (D)4 41 ) .

弦 AB 过 F1,则△ABF2 的周长为( (A)10 (B)20

(C)2 41

3.若椭圆

x2 y2 ? ? 1过点 (?2, 3) ,则其焦距为( C 16 b 2
(B) 2 5 (C) 4 3

(A) 2 3

(D) 4 5

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点, 4.如果椭圆 81 25
O 是坐标原点,则 ON 的长为( C ) .

8

(A)2 5
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

(B)4

(C)8

(D)

3 2
) .

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( D (B) ?0,2?
2 2

(A) ?0,???

(C) ?1,???

(D) ?0,1?

x y 6.点 P 是椭圆 + =1 上一点,以点 P 以及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 1, 5 4 则点 P 的坐标为 (?

15 15 ,1), (? ,?1) . 2 2
x2 y2 ? ? 1,则 k ? (1,5) ? (5,9) . 9 ? k k ?1
2

7.若椭圆方程为

8.一动圆过定点 A(1,0) ,且与定圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 16 相切,则动圆圆心轨迹方程

x2 y2 ? ? 1. 是 4 3
9. 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,点 M 分 AB 的比为 求点 M 的轨迹方程 解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 A 的坐标为 ( x,0) B 的坐标为 (0, 因为 | AB |? 2 ,
y

2 , 3

5 3

5 y) 2
M O A x

B

5 2 5 2 25 2 25 2 x ? y ?4 所以有 ( x ) ? ( y ) ? 4 ,即 3 2 9 4 25 2 25 2 x ? y ?4 所以点 M 的轨迹方程是 9 4
10. 已知 x 轴上的一定点 A(1,0) 为椭圆 ,Q 程 解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 Q 的坐标为 (2 x ? 1,2 y)

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中点 M 的轨迹方 4

y

x2 ? y 2 ? 1 上的点, 因为点 Q 为椭圆 4
所以有

Q
-2

M O A 2 x

1 (2 x ? 1) 2 ? (2 y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? 4 y 2 ? 1 2 4

所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4 y ? 1
2 2

1 2

9

1.(08 年浙江卷)已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 25 9

A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB = 8 .

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份, 2.如图,把椭圆 25 16
过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于

P , P , P , P , P , P , P 七个点, F 是椭圆的一 1 2 3 4 5 6 7
个焦点,则 PF ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? 1 2 3 4 5 6 7 解:如图,把椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆 25 16

F 的上半部分于 P , P , P , P , P , P , P 七个点, 是椭圆的一个焦点, 则根据椭圆的对称性知, 1 2 3 4 5 6 7

| PF1 | ? | P F1 |?| PF1 | ? | PF2 |? 2a , 同 理 其 余 两 对 的 和 也 是 2a , 又 | P4 F1 |? a , ∴ 1 7 1 1

PF ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? 7a =35. 1 2 3 4 5 6 7

10


相关文章:
高中数学选修2-1新教学案:2.2.1椭圆及其标准方程(1)
高中数学选修2-1新教学案:2.2.1椭圆及其标准方程(1)_数学_高中教育_教育专区。选修 2—1 2.2.1 椭圆及其标准方程(学案)(第 1 课时) 1.两个同学合作,...
高中数学选修2-1新教学案:2.4.1抛物线及其标准方程(2)
高中数学选修2-1新教学案:2.4.1抛物线及其标准方程(2) 隐藏>> 选修2—1 2.4.1 抛物线及其标准方程 (学案)(第 2 课时) 【知识要点】 1. 抛物线在解决实际...
2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1
2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 课时演练?促提升 椭圆及其标准方程 A组 1.若 F1...
2015-2016学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程学案 新人教A版选修1-1
2015-2016学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程学案 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程学案 新人教...
金版学案 数学选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程(一)
金版学案 数学选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程(一)_数学_高中教育_教育专区。金版学案,数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 数学·选修 2-1(人教 A 版) ...
高中数学选修2-1新教学案:2.4.1抛物线及其标准方程(1)
高中数学选修2-1新教学案:2.4.1抛物线及其标准方程(1) 隐藏>> 选修2—1 2.4...3,0? ; (2) 准线方程式是 x ? ? 1 ; 4 (3) 焦点到准线的距离是 2...
【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-1)作业:2.2.1椭圆及其标准方程
学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-1)作业:2.2.1椭圆及其标准方程_高中教育_教育专区。【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选...
选修2—1 第二章 §2.2.1椭圆及其标准方程(1)
选修2—1 第二章 §2.2.1椭圆及其标准方程(1)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修2-1第二章学案,课后作业,附详细答案。高二...
高中数学选修2-1同步练习 2.2.1 椭圆及其标准方程(含答案)
高中数学选修2-1同步练习 2.2.1 椭圆及其标准方程(含答案)_数学_高中教育_...高中数学选修2-1新教学案... 暂无评价 11页 免费 2.1.1椭圆及其标准方程...
更多相关标签: