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河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷(理科)(Word版含解析)


河北省衡水中学 2015 届高三下学期一调数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设集合 I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∩(?IB)等 于() A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2. (5 分)复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应 的点位() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分)已知正数组成的等比数列{an},若 a1?a20=100,那么 a7+a14 的最小值为() A.20 B.25 C.50 D.不存在 4. (5 分)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β” 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

5. (5 分)设 x,y 满足约束条件 A.[1,5] B.[2,6]

,则 C.[3,10]

取值范围是() D.[3,11]

6. (5 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣φ) ,且 条对称轴是() A.x= B.x=

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一

C.x=

D.x=

7. (5 分)已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为()

A.4

+4

+5

B. 2

+2

+

C.

D.2

+2

+3

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8. (5 分)利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆 x +y =10 内的共有()个.

2

2

A.2

B. 3

C. 4

D.5

9. (5 分)已知点 A(﹣1,0) ,若函数 f(x)的图象上存在两点 B、C 到点 A 的距离相等, 则称该函数 f(x)为“点距函数”,给定下列三个函数:①y=﹣x+2(﹣1≤x≤2) ; ②y= A.0 ;③y=x+4(x≤﹣ ) .其中,“点距函数”的个数是() B. 1
3

C. 2

D.3 ,

10. (5 分) 设直线 l 与曲线 f(x) =x +2x+1 有三个不同的交点 A、B、 C, 且|AB|=|BC|= 则直线 l 的方程为() A.y=5x+1 B.y=4x+1 C.y= x+1 D.y=3x+1

11. (5 分)四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,点 S,A,B,C,D 均在半径为 的同一半球面上,则当四棱锥 S﹣ABCD 的体积最大时,底面 ABCD 的中心与顶点 S 之 间的距离为() A.2﹣ B. 2 C. D. +1

12. (5 分)已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,当 x∈[0,2)时, 2 * f(x)=﹣2x +4x.设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N ) ,且{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (5 分)已知 ,那么 展开式中含 x 项的系数为.
2

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14. (5 分) 已知 P 为△ ABC 所在的平面内一点, 满足 则 ABP 的面积为.

的面积为 2015,

15. (5 分)若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 l:ax+by+c=0 上的射影 为 M,点 N(0,3) ,则线段 MN 长度的最小值是: .

16. (5 分)已知函数 f(x)= 的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围是.

,若存在 k 使得函数 f(x)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (14 分)设向量 =(cosωx﹣sinωx,﹣1) , =(2sinωx,﹣1) ,其中 ω>0,x∈R,已 知函数 f(x)= ? 的最小正周期为 4π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)若 sinx0 是关于 t 的方程 2t ﹣t﹣1=0 的根,且 值. 18. (14 分)为了参加 2013 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 4 4 2 2 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率; (Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 19. (14 分) 如图, 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形, 且 AB=1, BC=2, ∠ABC=60°,E 为 BC 的中点,AA1⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 A1AE⊥平面 A1DE; (Ⅱ)若 DE=A1E,试求异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C﹣A1D﹣E 的余弦值.
2

,求 f(x0)的

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20. (14 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的. 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆, 并且相交于上下两个顶点. 椭圆 C1:

的长轴长是 4,椭圆 C2:

短轴长是 1,点 F1,F2 分别是椭圆 C1 的

左焦点与右焦点, (Ⅰ)求椭圆 C1,C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求△ F2MN 面积的最大值.

21. (14 分)已知 f(x)=xlnx,g(x)=

,直线 l:y=(k﹣3)x﹣k+2

(1)函数 f(x)在 x=e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值 (2)若至少存在一个 x0∈[1,e]使 f(x0)<g(x0)成立,求实数 a 的取值范围 (3)设 k∈Z,当 x>1 时 f(x)的图象恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值.

河北省衡水中学 2015 届高三下学期一调数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设集合 I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∩(?IB)等 于() A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 I 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵集合 I={x|﹣3<x<3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2, ﹣1,2}, ∴?IB={0,1}, 则 A∩(?IB)={1}. 故选:A.
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点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2. (5 分)复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应 的点位() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数 z 为=1﹣i, 故 z 对应点的坐标为(1,﹣1) ,从而得出结论. 2 解答: 解:∵复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位, ∴z= = = = =1﹣i,
2

故复数 z 对应点的坐标为(1,﹣1) , 故选 D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面 内对应点之间的关系,属于基础题. 3. (5 分)已知正数组成的等比数列{an},若 a1?a20=100,那么 a7+a14 的最小值为() A.20 B.25 C.50 D.不存在 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 a7+a14≥2 =2 =2 =20.

解答: 解:∵正数组成的等比数列{an},a1?a20=100, ∴a7+a14≥2 =2 =2 =20.

当且仅当 a7=a14 时,a7+a14 取最小值 20. 故选:A. 点评: 本题考查等比数列中两项和的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 均值定理的合理运用. 4. (5 分)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β” 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 判充要条件就是看谁能推出谁.由 m⊥β,m 为平面 α 内的一条直线,可得 α⊥β; 反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定能得到 m⊥β.

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解答: 解:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线,且 m⊥β,则 α⊥β,反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定能得到 m⊥β, 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题,属基本题.

5. (5 分)设 x,y 满足约束条件 A.[1,5] B.[2,6]

,则 C.[3,10]

取值范围是() D.[3,11]

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 再根据约束条件画出可行域,利用几何意义求最值,只需求出直线 l0 过 A(0,4) 时 l0 最大,k 也最大为 11,当直线 l0 过 B(0,0) )时 l0 最小,k 也最小为 3 即可. 解答: 解:根据约束条件画出可行域, ∵设 k= =1+ ,

整理得(k﹣1)x﹣2y+k﹣3=0,由图得,k>1. 设直线 l0=(k﹣1)x﹣2y+k﹣3, 当直线 l0 过 A(0,4)时 l0 最大,k 也最大为 11, 当直线 l0 过 B(0,0) )时 l0 最小,k 也最小为 3. 故选 D.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.

6. (5 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣φ) ,且 条对称轴是() A.x= B.x=

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一

C.x=

D.x=

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考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;定积分. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由 f (x) dx=0 求得 ) . cos (φ+ ) =0, 故有 φ+ =kπ+ , k∈z. 可取 φ= ,

则 f(x)=sin(x﹣ 令 x﹣ =kπ+

,求得 x 的值,可得函数 f(x)的图象的一条对称轴方程.

解答: 解:∵函数 f(x)=sin(x﹣φ) , ( f x) dx=﹣cos (x﹣φ) (φ+ ∴φ+ 令 x﹣ )=0, =kπ+ =kπ+ ,k∈z,即 φ=kπ+ ,求得 x=kπ+ ,k∈z,故可取 φ= ,k∈Z, , ,f(x)=sin(x﹣ ) . =﹣cos ( ﹣φ) ﹣[﹣cos (﹣φ) ]= cosφ﹣ sinφ= cos

则函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x=

故选:A. 点评: 本题主要考查定积分,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称性,两角和差的三角公 式的应用,属于中档题. 7. (5 分)已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为()

A.4

+4

+5

B. 2

+2

+

C.

D.2

+2

+3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱, 分别计算出棱柱的底面面积, 底面周 长和高,代入棱柱表面积公式,可得答案. 解答: 解:由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱, 底面三角形的三边长为:1, 故底面三角形的面积为: ×1×1= , ,

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底面周长为:1+ 棱柱的高为 2,

+



故棱柱的表面积:S=2× +(1+

+

)×2=2

+2

+3,

故选:D 点评: 本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积, 解答的关键是由三视图还原原图 形,是基础的计算题. 8. (5 分)利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆 x +y =10 内的共有()个.
2 2

A.2

B. 3

C. 4

D.5

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作 用是打印满足条件的点,执行程序不难得到所有打印的点的坐标,再判断点与圆 x +y =10 的位置关系,即可得到答案. 解答: 解:根据流程图所示的顺序,该程序的作用是打印如下点: (﹣3,6) 、 (﹣2,5) 、 (﹣1,4) 、 (0,3) 、 (1,2) 2 2 其中(0,3) 、 (1,2)满足 x +y <10, 2 2 即在圆 x +y =10 内, 2 2 故打印的点在圆 x +y =10 内的共有 2 个, 故选:A 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型?③解模. 9. (5 分)已知点 A(﹣1,0) ,若函数 f(x)的图象上存在两点 B、C 到点 A 的距离相等, 则称该函数 f(x)为“点距函数”,给定下列三个函数:①y=﹣x+2(﹣1≤x≤2) ; ②y= ;③y=x+4(x≤﹣ ) .其中,“点距函数”的个数是()
2 2

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A.0

B. 1

C. 2

D.3

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知中函数 f(x)为“点距函数”的定义,逐一判断所给定的三个函数,是否满 足函数 f(x)为“点距函数”的定义,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:对于①,过 A 作直线 y=﹣x+2 的垂线 y=x+1, 交直线 y=﹣x+2 于 D( , )点, D( , )在 y=﹣x+2(﹣1≤x≤2)的图象上, 故 y=﹣x+2(﹣1≤x≤2)的图象上距离 D 距离相等的两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离 相等, 故该函数 f(x)为“点距函数”; 对于②,y= 表示以(﹣1,0)为圆心以 3 为半径的半圆,图象上的任意两

点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相等, 故该函数 f(x)为“点距函数”; 对于③,过 A 作直线 y=x+4 的垂线 y=﹣x﹣1, 交直线 y=x+4 于 E( E( , )点,

, )是射线 y=x+4(x≤﹣ )的端点,

故 y=x+4(x≤﹣ )的图象上不存在两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相等, 故该函数 f(x)不为“点距函数”; 综上所述,其中“点距函数”的个数是 2 个, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是新定义函数 f(x)为“点距函数”,正确理解函数 f(x)为“点 距函数”的概念是解答的关键. 10. (5 分) 设直线 l 与曲线 f(x) =x +2x+1 有三个不同的交点 A、B、 C, 且|AB|=|BC|= 则直线 l 的方程为() A.y=5x+1 B.y=4x+1 C.y= x+1 D.y=3x+1
3



考点: 函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对称性确定 B 的坐标,设出直线方程代入曲线方程,求出 A 的坐标,利用条 件,即可求出斜率的值,从而得到直线的方程. 3 3 解答: 解:由题意,曲线 f(x)=x +2x+1 是由 g(x)=x +2x,向上平移 1 个单位得到的, 3 函数 g(x)=x +2x 是奇函数,对称中心为(0,0) , 3 曲线 f(x)=x +2x+1 的对称中心:B(0,1) , 设直线 l 的方程为 y=kx+1, 代入 y=x +2x+1,可得 x =(k﹣2)x,∴x=0 或 x=±
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3 3

∴不妨设 A( ∵|AB|=|BC|= ∴(
3 2

,k

+1) (k>2)

﹣0) +(k

2

+1﹣1) =10

2

∴k ﹣2k +k﹣12=0 2 ∴(k﹣3) (k +k+4)=0 ∴k=3 ∴直线 l 的方程为 y=3x+1 故选:D. 点评: 本题考查直线与曲线的位置关系, 考查学生分析解决问题的能力, 考查学生的计算 能力,设出直线方程是关键. 11. (5 分)四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,点 S,A,B,C,D 均在半径为 的同一半球面上,则当四棱锥 S﹣ABCD 的体积最大时,底面 ABCD 的中心与顶点 S 之 间的距离为() A.2﹣ B. 2 C. D. +1

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出图形,判断四棱锥体积最大时 S 的位置,然后求解底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离即可. 解答: 解:四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,点 S,A,B,C,D 均在半径 为 的同一半球面上,则当四棱锥 S﹣ABCD 的体积最大时,顶点 S 与球心的连线恰好底 面 ABCD 的一边的中点,如图: 此时球心 O 到底面中心 F 的距离为:OF= ∠SEF=45°, SE= ,SF= . = =1.即 EF=OF=1,

所求距离为: 故选:C.

点评: 本题考查球的内接体,几何体的高的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 12. (5 分)已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,当 x∈[0,2)时, 2 * f(x)=﹣2x +4x.设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N ) ,且{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=()
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A.

B.

C.

D.

考点: 数列与函数的综合. 专题: 综合题. 分析: 根据定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,可得 f(x+2)= f(x) , 从而 f(x+2n)= f(x) ,利用当 x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x +4x,可求(x)在[2n﹣2,
2

2n)上的解析式,从而可得 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an,进而利用等比数列的求 和公式,即可求得{an}的前 n 项和为 Sn. 解答: 解:∵定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) , ∴f(x+2)= f(x) , ∴f(x+4)= f(x+2)= f(x) ,f(x+6)= f(x+4)= f(x) ,…f(x+2n)= f(x)

设 x∈[2n﹣2,2n) ,则 x﹣(2n﹣2)∈[0,2) ∵当 x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x +4x. 2 ∴f[x﹣(2n﹣2)]=﹣2[(x﹣(2n﹣2)] +4[x﹣(2n﹣2)]. ∴
1﹣n 2

=﹣2(x﹣2n+1) +2
2

2

∴f(x)=2 [﹣2(x﹣2n+1) +2],x∈[2n﹣2,2n) , 2﹣n ∴x=2n﹣1 时,f(x)的最大值为 2 2﹣n ∴an=2 ∴{an}表示以 2 为首项, 为公比的等比数列

∴{an}的前 n 项和为 Sn=

=

故选 B. 点评: 本题以函数为载体,考查数列的通项与求和,解题的关键是确定函数的解析式,利 用等比数列的求和公式进行求和. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (5 分)已知 ,那么 展开式中含 x 项的系数为 135.
2

考点: 定积分;二项式定理的应用. 专题: 计算题;导数的概念及应用;概率与统计. 分析: 根据定积分的计算方法,计算 通项公式 Tr+1=Cn a 出系数.
r n﹣r r

,可得 n 的值,进而将 n=6 代入,利用
2

b 来解决,在通项中令 x 的指数幂为 2 可求出含 x 是第几项,由此算

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解答: 解:根据题意, 则
r 6﹣2r

=lnx|1

{\;}^{{e}^{6}}

=6, b 可设含 x 项的项是 Tr+1=C6 (﹣
2 r

中, 由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cn a
2

r n﹣r r

3) x 可知 r=2,所以系数为 C6 ×9=135, 故答案为:135. 点评: 本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算,关键是由定积分的计算得到 n 的 值. 14. (5 分) 已知 P 为△ ABC 所在的平面内一点, 满足 则 ABP 的面积为 1209. 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 取 AB 中点 D,根据已知条件便容易得到 ,所以三点 D,P,C 共线,并

的面积为 2015,

可以画出图形,根据图形即可得到

,所以便可得到



解答: 解:取 AB 中点 D,则: ∴ ;

= ;

∴D,P,C 三点共线,如图所示:

∴ ∴ =1209.



故答案为:1209. 点评: 向量加法的平行四边形法则, 以及共线向量基本定理, 数形结合的方法及三角形面 积公式. 15. (5 分)若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 l:ax+by+c=0 上的射影 为 M,点 N(0,3) ,则线段 MN 长度的最小值是:4﹣ . 考点: 等差数列的性质;点到直线的距离公式. 专题: 等差数列与等比数列.
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分析: 由题意可得动直线 l:ax+by+c=0 过定点 Q(1,﹣2) ,PMQ=90°,点 M 在以 PQ 为直径的圆上,求出圆心为 PQ 的中点 C(0,﹣1) ,且半径为 .求得点 N 到圆心 C 的 距离,再减去半径,即得所求. 解答: 解:因为 a,b,c 成等差数列,故有 2b=a+c,即 a﹣2b+c=0,对比方程 ax+by+c=0 可知, 动直线恒过定点 Q(1,﹣2) . 由于点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M,即∠PMQ=90°, 所以点 M 在以 PQ 为直径的圆上, 该圆的圆心为 PQ 的中点 C (0, ﹣1) , 且半径为 = ,

再由点 N 到圆心 C 的距离为 NC=4,所以线段 MN 的最小值为 NC﹣r=4﹣ , 故答案为:4﹣ . 点评: 本题主要考查等差数列的性质,直线过定点问题、圆的定义,以及点与圆的位置关 系,属于中档题.

16. (5 分)已知函数 f(x)= 的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围是[ ,1].

,若存在 k 使得函数 f(x)

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;数形结合;函数的性质及应用. 分析: 分别作出函数 y=log2(1﹣x)+1, (x>﹣1)和 y=x ﹣3x+2 的图象,观察函数值在 [0,2]内的图象,讨论最小值和最大值的情况,对 a 讨论,a=1,a>1,a<1,以及 a< , a ,的情况,即可得到结论.
2

解答: 解:分别作出函数 y=log2(1﹣x)+1, (x>﹣1) 2 和 y=x ﹣3x+2 的图象, 由于函数 f(x)的值域是[0,2],则观察函数值在[0,2]内的图象, 由于 f(﹣1)=log22+1=2,f(0)=0 ﹣3×0+2=2, 显然 a=0 不成立,a=1 成立,a>1 不成立, 又 f( )= 则a , . +1=0,若 a< ,则最小值 0 取不到,
2

综上可得,

即有实数 a 的取值范围是[ ,1]. 故答案为:[ ,1].

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点评: 本题考查已知函数的值域,求参数的范围,考查数形结合的思想方法,注意观察和 分析,考查运算能力,属于中档题和易错题. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (14 分)设向量 =(cosωx﹣sinωx,﹣1) , =(2sinωx,﹣1) ,其中 ω>0,x∈R,已 知函数 f(x)= ? 的最小正周期为 4π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)若 sinx0 是关于 t 的方程 2t ﹣t﹣1=0 的根,且 值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;由 y=Asin (ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数 f(x)的解 析式为
2 2

,求 f(x0)的

,再根据周期求得 ω 的值. ,可得 x0 的值,从而求得 f(x0)

(Ⅱ)求得 方程 2t ﹣t﹣1=0 的两根,可得 的值. 解答: 解: (Ⅰ)

=2sinωxcosωx﹣ 2sin ωx+1 =sin2ωx+cos2ωx= 因为 T=4π,所以,ω= (Ⅱ) 方程 2t ﹣t﹣1=0 的两根为 因为
2 2

, .…(6 分) , ,即 .

,所以 sinx0∈(﹣1,1) ,所以

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又由已知 所以

, .…(14 分)

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 三角函数的周期性和求法, 两个向 量的数量积公式的应用,属于中档题. 18. (14 分)为了参加 2013 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 4 4 2 2 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率; (Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (I)“从这 12 名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件 A,根据题 设条件,利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率. (II)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,分别求出其相对应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的分 布列及数学期望 Eξ. 解答: 解: (I)“从这 12 名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件 A, 则 .…(6 分)

(II)ξ 的所有可能取值为 0,1,2…(7 分) 则 ,



∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 P …(10 分) ∴

2

…(13 分)

点评: 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 在历年 2015 届高考中都是必考题型.
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19. (14 分) 如图, 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形, 且 AB=1, BC=2, ∠ABC=60°,E 为 BC 的中点,AA1⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 A1AE⊥平面 A1DE; (Ⅱ)若 DE=A1E,试求异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C﹣A1D﹣E 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;异面直线及其所成的角;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 根据题意, 得△ ABE 是正三角形, ∠AEB=60°, 等腰△ CDE 中∠CED= (180° ﹣∠ECD)=30°,所以∠AED=90°,得到 DE⊥AE,结合 DE⊥AA1,得 DE⊥平面 A1AE, 从而得到平面 A1AE⊥平面平面 A1DE. (2)取 BB1 的中点 F,连接 EF、AF,连接 B1C.证出 EF∥A1D,可得∠AEF(或其补角) 是异面直线 AE 与 A1D 所成的角.利用勾股定理和三角形中位线定理,算出△ AEF 各边的 长,再用余弦定理可算出异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值. (3)建立的空间直角坐标系中,求得平面 A1DE 的一个法向量,平面 CA1D 的法向量,利 用向量数量积求解夹角余弦值,则易得二面角 C﹣A1D﹣E 的余弦值. 解答: 解: (1)依题意,BE=EC= BC=AB=CD, ∴△ABE 是正三角形,∠AEB=60°, 又∵△CDE 中,∠CED=∠CDE= (180°﹣∠ECD)=30° ∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°,即 DE⊥AE, ∵AA1⊥平面 ABCD,DE?平面 ABCD,∴DE⊥AA1, ∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面 A1AE, ∵DE?平面 A1DE,∴平面 A1AE⊥平面 A1DE. (2)取 BB1 的中点 F,连接 EF、AF,连接 B1C, ∵△BB1C 中,EF 是中位线,∴EF∥B1C ∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形,可得 B1C∥A1D ∴EF∥A1D, 可得∠AEF(或其补角)是异面直线 AE 与 A1D 所成的角. ∵△CDE 中,DE= CD= =A1E= ,AE=AB=1

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∴A1A=

,由此可得 BF=

,AF=EF=

=



∴cos∠AEF=

=

,即异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值为

(Ⅲ)取 BE 的中点 F,以 A 为原点,AF 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AA1 所在 直线为 z 轴建立空间直角坐标系,AA1= 则 A(0,0,0) ,D(0,2,0) ,C( A1(0,0, ) , , ,0) ,

又 设平面 CA1D 的法向量









同理可得平面 A1DE 的一个法向量为

=(



设二面角 C﹣A1D﹣E 的平面角为 θ,且 θ 为锐角 则 cosθ=|cos< >|= = =

所以二面角 C﹣A1D﹣E 的余弦值为



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点评: 本题在直平行六面体中, 求证面面垂直并求异面直线所成角余弦, 着重考查了线面 垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识,属于中档题. 20. (14 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的. 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆, 并且相交于上下两个顶点. 椭圆 C1:

的长轴长是 4,椭圆 C2: 的左焦点与右焦点,

短轴长是 1,点 F1, F2 分别是椭圆 C1

(Ⅰ)求椭圆 C1,C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求△ F2MN 面积的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设椭圆 C1 的半焦距为 c,椭圆 C2 的半焦距为 c',易知 a=2, b=m,n= , 根据椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等,可得关于 a,b,m,n 的方程,解出即可; (Ⅱ)由题意可设直线的方程为: .与椭圆 C2 的方程联立消掉 x 得 y 的二次方 程,则△ >0,由弦长公式可表示出|MN|,由点到直线的距离公式可表示出△ F2MN 的高 h, 则△ F2MN 的面积 S= ,变形后运用基本不等式即可求得 S 的最大值; .

解答: 解: (Ⅰ) 设椭圆 C1 的半焦距为 c, 椭圆 C2 的半焦距为 c'. 由已知 a=2, b=m, ∵椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等,即 ,


2

,即



,即 bm=b =an=1,∴b=m=1, ,椭圆 C2 的方程是 ; . ,

∴椭圆 C1 的方程是

(Ⅱ)显然直线的斜率不为 0,故可设直线的方程为: 联立: ,得 ,即

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∴△=192m ﹣44(1+4m )=16m ﹣44>0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 , ,∴ ,

2

2

2

△ F2MN 的高即为点 F2 到直线

的距离



∴△F2MN 的面积





,等号成立当且仅当



即 ∴

时, ,即△ F2MN 的面积的最大值为 .

点评: 本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系,考查基本不等式 求函数的最值,考查学生的运算能力、分析解决问题的能力.

21. (14 分)已知 f(x)=xlnx,g(x)=

,直线 l:y=(k﹣3)x﹣k+2

(1)函数 f(x)在 x=e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值 (2)若至少存在一个 x0∈[1,e]使 f(x0)<g(x0)成立,求实数 a 的取值范围 (3)设 k∈Z,当 x>1 时 f(x)的图象恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数 研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求导,根据导数的几何意义得到关于 k 的方程解得即可. (2)由于存在 x0∈[1,e],使 f(x0)<g(x0) ,则 kx0>2lnx0?a> h(x)= 的最小值即可. ,构造函数,求函数的最小值即可. ,只需要 k 大于

(3)分离参数,得到 k<

解答: 解: (1)∵f′(x)=1+lnx, ∴f′(e)=1+lne=k﹣3 ∴k=5, (2)由于存在 x0∈[1,e],使 f(x0)<g(x0) , 则 ax0 >x0lnx0,
2

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∴a>

设 h(x)=

则 h′(x)=



当 x∈[1,e]时,h′(x)≥0(仅当 x=e 时取等号) ∴h(x)在[1,e]上单调递增, ∴h(x)min=h(1)=0,因此 a>0. (3)由题意 xlnx>(k﹣3)x﹣k+2 在 x>1 时恒成立 即 k< 设 F(x)= , ,

∴F′(x)=



令 m(x)=x﹣lnx﹣2,则 m′(x)=1﹣ =

>0 在 x>1 时恒成立

所以 m(x)在(1,+∞)上单调递增,且 m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0, 所以在(1,+∞)上存在唯一实数 x0(x0∈(3,4) )使 m(x)=0 当 1<x<x0 时 m(x)<0 即 F′(x)<0, 当 x><x0 时 m(x)>0 即 F′(x)>0, 所以 F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, F(x)min=F(x0)= = =x0+2∈(5,6)

故 k<x0+2 又 k∈Z,所以 k 的最大值为 5 点评: 本题考查导数在研究函数的单调性、 函数恒成立的问题, 考查等价转化的思想方法 以及分析问题的能力,属于难题.

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