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09.10.16高二数学(文科)《椭圆及其标准方程》(课件)


湖南长郡卫星远程学校

制作 09

2009年下学期

二、讲授新课: 1. 椭圆定义:

平面内与两个定点F1F2的距离和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间

的距离叫做椭圆的焦距。
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求动点轨迹方程的一般步骤:

(1) 建立适当的坐标系,用有序实数对 (x, y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2) 写出适合条件 P(M); (3) 用坐标表示条件P(M),列出方程; (4) 化方程为最简形式; (5) 证明以化简后的方程为所求方程(可 以省略不写,如有特殊情况,可以适 当予以说明)
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2. 求椭圆的方程:
探讨建立平面直角坐标系的方案 法1: 取过焦点F1、F2的直线为x轴, 线段F1F2的 垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c>0), M 与F1和F2的距离的和等于 正常数2a (2a>2c), 则F1、F2 的坐标分别是(-c,0)、(c,0). 由椭圆的定义得, 限制条件: | MF1 | ? | MF2 |? 2a
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x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

( a ? b ? 0)

叫做椭圆的标准方程。
它所表示的椭圆的焦点 在x轴上,焦点是 F1 ( ? c , 0), F2 (c , 0), 中心在坐标原点的椭圆 方程, 其中a ? b ? c
2 2
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2

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3. 椭圆的标准方程:
焦点在x轴:

x y ? 2 ?1 2 a b
焦点在y轴:

2

2

( a ? b ? 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
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( a ? b ? 0)
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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F1 O
F2 x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O
F2 x

O

F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O
F2 x

O

F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O
F2 x

O

F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O
F2 x

O

F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

F(?c, 0)

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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O
F2 x

O

F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

F(?c, 0)

F(0, ?c)

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定 义 图 形

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0) y M F2 yM F1 O
F2 x

O

F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间 的关系
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x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

F(?c, 0)

F(0, ?c)

c2=a2-b2(a>c>0,a>b>0)
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[例1] 下列各式哪些表示椭圆?若是, 则判定其焦点在何轴?并指明a2,b2,写

出焦点坐标.
x y (1) ? ?1 16 16
2 2

(4) 9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

x y ( 2) ? ?1 25 16
2 2

2

2

(5) ? 3 x ? 2 y ? ?1
2 2
2 2

x y x y ? ?1 ( 3) 2 ? 2 ? 1 ( 6) 24 ? k 16 ? k m m ?1
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) a=

6 ,b=1,焦点在x轴上;

(2) 焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; (3) 两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且 过P(2,3)点;

(4) 经过点P(-2,0)和Q(0,-3).
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1) a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; x ? y 2 ? 1 6 (2) 焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; (3) 两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且 过P(2,3)点;

(4) 经过点P(-2,0)和Q(0,-3).
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1) a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; x ? y 2 ? 1 6 (2) 焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; 2 2 y x ? ?1 25 16 (3) 两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且 过P(2,3)点;

(4) 经过点P(-2,0)和Q(0,-3).
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1) a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; x ? y 2 ? 1 6 (2) 焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; 2 2 y x ? ?1 25 16 (3) 两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且 2 2 x y 过P(2,3)点; ? ?1 16 12 (4) 经过点P(-2,0)和Q(0,-3).
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[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1) a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; x ? y 2 ? 1 6 (2) 焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; 2 2 y x ? ?1 25 16 (3) 两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且 2 2 x y 过P(2,3)点; ? ?1 16 12 2 2 (4) 经过点P(-2,0)和Q(0,-3). x ? y ? 1 4 9
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***小结***
求椭圆标准方程的步骤:

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***小结***
求椭圆标准方程的步骤: ① 定位:确定焦点所在的坐标轴; ② 定量:求a,b的值.

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[例3] 如图,在圆x2+y2=4上任取一 点P,过点P作x轴 y P M O D x

的垂线段PD,D为
垂足.当点P在圆上 运动时,线段PD的

中点M的轨迹是什么?
为什么?
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***回顾小结*** 一种方法:

二类方程:

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***回顾小结*** 一种方法:求椭圆标准方程的方法

二类方程:

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***回顾小结*** 一种方法:求椭圆标准方程的方法

二类方程: x

y ? 2 ?1 2 a b y x ? ? ? ? 1 a ? b ? 0 2 2 a b
2 2

2

2

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作业:学法大视野

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