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2014届高考数学一轮复习课件:第一章第1课时集合的概念与运算(新人教A版)


第一章

集合与常用逻辑用语

第1课时 集合的概念与运算

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考纲展示 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于” 关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别

给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求 两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合间的关系及运算. 备考指南 1.集合部分主要以考查集 合的含义、基本关系与基 本运算为主,题目简单、 易做,大多都是送分题. 2.近几年部分省市也力求 创新,创造新情境,尽可 能做到灵活多样,甚至进 行一些小综合,比如新定 义题目,与方程、不等式、 函数、数列等内容相联系 的题目出现. 3.题型以选择题为主,大 多都是试卷的第1、2题.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.集合与元素 互异性 (1)集合元素的三个特征:确定性、________、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号__或__表示. ∈ ? (3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法.

(4)常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有
理数集Q;实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限 空集 集、无限集、_____.

2.集合间的基本关系

表示 关系
相等 子集

文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素

符号语言 A=B A?B B?A _____或_____

A中任意一个元素均为B中的元素,且 A B B?A _____或_____ 真子集 B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合A的子集,是任何 非空集合B的真子集 ??A,? B(B≠?)

思考探究 1.?、{0}、{?}三者之间有怎样的关系? 提示:? 有? {0}.若把?当元素,有?∈{?};若把?当集合,

{?}.

3.集合的基本运算

并集
符号 表示 图形 表示 A∪B

交集
A∩B

补集 若全集为U,则集 合A的补集为?UA

x∈A,或x∈B x∈A,且x∈B x∈U,且x?A 意义 {x|____________} {x|____________} {x|_____________}

思考探究 2.与A∩B=A等价的形式有哪些? 提示:A?B,A∪B=B等.

课前热身
1.(2012· 高考广东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5}, 则(?UM)=( A.{2,4,6} C.{1,2,4} ) B.{1,3,5} D.U

解 析 : 选 A. ∵ U = {1,2,3,4,5,6} , M = {1,3,5} , ∴ ? UM =
{2,4,6}.

2.(2012· 高考课标全国卷)已知集合 A={x|x2-x-2<0}, B={x|-1<x<1},则( A.A B C.A=B ) B.B A D.A∩B=?

解析:选 B.∵A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x| -1<x<1},∴B A.

3.(教材习题改编)已知集合A={x|x>3},B={x|2<x<4}, 那么集合(?RA)∩B等于( A.{x|x≤3} C.{x|3<x<4} ) B.{x|2<x≤3} D.{x|x<4}

解析:选B.∵A={x|x>3},∴?RA={x|x≤3},

∴(?RA)∩B={x|2<x≤3}.

4.(教材习题改编)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B ={0,1,2,4,16},则a的值为________. 解析:∵A={0,2,a},B={1,a2},∴A∪B={0,1,2,a,

a2}.又∵A∪B={0,1,2,4,16},∴a=4.
答案:4

5.(2013· 杭州模拟)已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2- 2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合 是________.

解 析 : ∵ B = {x|x2 - 2x - 3≤0, x ∈ N} = {x|- 1≤x≤3 , x∈N}={0,1,2,3}.而图中阴影部分表示的集合为属于A且 不属于B的元素构成,故该集合为{-1,4}.

答案:{-1,4}

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 集合的基本概念 (1)(2012· 高考江西卷)若集合 A={-1,1}, B={0,2}, )

例1

则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( A.5 C.3 B.4 D.2

(2)若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个, 则实数 a =________.

【解析】 (1)当 x=-1 时,y=0 时,z=x+y=-1; 当 x=1,y=0 时,z=x+y=1; 当 x=-1,y=2 时,z=x+y=1; 当 x=1,y=2 时,z=x+y=3, 由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A, y∈B}={-1,1,3},即元素个数为 3. (2)由题意知集合 A 只有一个元素, 则方程 ax2-3x+2=0 只有一个根, 2 当 a=0 时,x= ,符合题意; 3 当 a≠0 时, 9 2 由 Δ=(-3) -8a=0,得 a= , 8 9 所以 a 的值为 0 或 . 8 9 【答案】 (1)C (2)0 或 8

【规律小结】

(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元

素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注
意弄清其元素表示的意义是什么.
集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)} 函数y= 集合 不等式 方程f(x)= 函数y= f(x)>0的 f(x)的定义 的意 0的解集 f(x)的值域 义 解集 域 函数y=f(x)图 象上的点集

(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集 合是否满足互异性.

跟踪训练

1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则
(m-n)2 013=________.
解析:由 M=N 知, ?n=1 ?n=m ? ? ? 或? , ? ? ?log2n=m ?log2n=1
?n=1 ?m=2 ? ? ∴? 或? , ?m=0 ?n=2 ? ?

故(m-n)2 013=-1 或 0.

答案:-1或0

考点 2

集合与集合的基本关系 (1)(2012· 高考湖北卷)已知集合 A={x|x2-3x+2=

例2

0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}, 若 B?A,则实数 m 的取值范围是________.

【解析】

(1)由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2,

∴A={1,2}.由题意知 B={1,2,3,4}, ∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,得 m≤2;

?m+1≥-2, ? 当 B≠?时,有?2m-1≤7, ?m+1<2m-1, ?

解得 2<m≤4.

综上,实数 m 的取值范围是(-∞,4].

【答案】

(1)D

(2)(-∞,4]

【规律小结】

(1)判断两集合的关系常有两种方法:一是

化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举

法表示各集合,从元素中寻找关系.
(2)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其 子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A有n个 元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1. 注意:题目中若有条件B?A,则应分B=?和B≠?两种情

况进行讨论.

跟踪训练 2. (1)(2011· 高考北京卷)已知集合 P={x|x2≤1}, M={a}. 若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[-1,1] (2)已知集合 A={x| )

B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 1 >1},B={x|2a≤x≤3a+1},若 A x-2

?B,则 a 的取值范围是________.

解析:(1)由于 P∪M=P,所以 M?P. 又 P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},M={a}, 所以 a∈{x|-1≤x≤1}, 即 a 的取值范围是-1≤a≤1.故选 C.
?2a≤2 ? (2)A={x|2<x<3},当 A?B 时,得? , ? ?3a+1≥3

2 解得 ≤a≤1. 3
答案:(1)C 2 (2)[ ,1] 3

考点3 集合的基本运算 例3 (1)(2012· 高考浙江卷)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P= {1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(?UQ)=( A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2} (2)(2013· 长春模拟)设集合A={x||x|≤2,x∈R},B={y|y=-x2 , -1≤x≤2},则?R(A∩B)等于( A.R B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.? ) )

【解析】

(1)由题意知?UQ={1,2,6},

∴P∩(?UQ)={1,2}.
(2)由|x|≤2得-2≤x≤2,∴集合A={x|-2≤x≤2};由- 1≤x≤2 得 - 4≤ - x2≤0 , ∴ 集 合 B = {y| - 4≤y≤0}.∴A∩B={x|-2≤x≤0},故?R(A∩B)=(-∞, -2)∪(0,+∞),选B.

【答案】

(1)D

(2)B

【规律小结】

(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助

Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散 时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表

示时需注意端点值的取舍.
(2)在解决有关A∩B=?,A?B等集合问题时,往往忽略空 集的情况,一定先考虑?是否成立,以防漏解.另外要注 意分类讨论和数形结合思想的应用.

跟踪训练 3.设全集是实数集R,A={x|2x2 -7x+3≤0},B={x|x2 +a<0}. (1)当a=-4时,求A∩B和A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数a的取值范围.
1 解:(1)∵A={x| ≤x≤3}, 2 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2}, 2 A∪B={x|-2<x≤3}.

1 (2)? RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(? RA)∩B=B 时,B?? RA,即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B?? RA; ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a},要使 1 1 B?? RA,需 -a≤ ,解得- ≤a<0. 2 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是[- ,+∞). 4

方法感悟
1.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍 然是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在 处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去 揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴,进而用集合语

言表示,增强运用数形结合思想方法的意识.
2.集合的运算性质 并集的性质:

A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.
交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.

补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 3.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时,要注意 利用集合中元素的互异性这一性质进行检验,忽视集合中 元素的性质是导致错误的常见原因之一.如a∈{1,a2},由

于1与a2为不同的元素,因此a≠±1.

名师讲坛精彩呈现
难题易解 破解以集合为背景的新定义题
例 (2011· 高考福建卷)在整数集 Z 中,被 5 除所得余 数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n +k|n∈Z},k=0,1,2,3,4,?给出如下四个结论: 1 ①2 011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈ [0]”.? 2 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

抓信息 破难点
1 对“类”正确理解

由“类”的定义知,[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4,即 Z 中的所有元素共分为[0][1][2][3][4]5 类.
2“a,b 属于同一‘类’”?a=5n1+k,b=5n2+k?a

-b=5(n1-n2);反之,a-b∈[0]?a-b 被 5 除余数为 0 ?a,b 被 5 除余数相等.

【解析】 ∵2 011=5×402+1, 2 011∈[1], 则 结论①正确; ∵-3=5×(-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确; ∵所有的整数被 5 除的余数为 0,1,2,3,4 五类, 则 Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确; 若整数 a,b 属于同一“类”[k], 可设 a=5n1+k,b=5n2+k(n1,n2∈Z), 则 a-b=5(n1-n2)∈[0]; 反之,若 a-b∈[0],可设 a=5n1+k1, b=5n2+k2(n1,n2∈Z), 则 a-b=5(n1-n2)+(k1-k2)∈[0]; ∴k1=k2,则整数 a,b 属于同一“类”,结论④正确,故选 C.

【答案】

C

【方法提炼】

(1)紧扣新定义,首先分析新定义的特点,

把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体 的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键 所在;本题根据所给的“类”的概念,对逐个结论进行判 断,从中找出正确答案. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算 性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处用好集合的性质.

跟踪训练 a+1 4.已知集合 M,若 a∈M,则 ∈M,则称 a 为集合 M a-1 4 的“亮点”.若 M={x∈Z| ≥1},则集合 M 中的“亮 4-x 点”共有( ) A.2 个 B.3 个 C.1 个 D.0 个 4 4 解析:选 A.解不等式 ≥1,即 -1≥0, 4-x 4-x ?x?x-4?≤0, ? x 整理得 ≥0,不等式等价于? 4-x ? ?x-4≠0,

解得 0≤x<4.又因为 x∈Z, 4 所以 M={x∈Z| ≥1}={0,1,2,3}. 4-x

a+1 若 a=0,则 =-1?M; a-1 a+1 若 a=1,则 不存在; a-1 a+1 若 a=2,则 =3∈M; a-1 a+1 若 a=3,则 =2∈M. a-1 由定义,可知 2,3 都是集合 M 的“亮点”,故集合 M 中共 有 2 个“亮点”.故选 A.

知能演练轻松闯关

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