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必修二2.1.32.1.4直线与平面、平面与平面的位置关系


2.1.3

空间中直线与平面之间的位置 关系 平面与平面之间的位置关系

2.1.4

问题提出 1.空间点与直线,点与平面分别有 哪几种位置关系?空间两直线有哪几 种位置关系?

2.就空间点、线、面位置关系而言, 还有哪几种类型有待分析?

小结
(1)空间中点

与线、点与面的位置关系
图形 A 文字语言(读法) 符号语言

a a

点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外

A?a A?a
A ??

A

? A A ?

A ??

(2)空间中线与线的位置关系 图形 b a 文字语言(读法) 两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交 符号语言 a∥ b

A b a
b a

aIb=A

两直线不共面且无 公共点两直线异面

a、b异面

探究(一)直线与平面之间的位置关系

思考1:一支笔所在的直线与一个作业本 所在的平面,可能有哪几种位置关系?

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

思考2:如图,线段A′B所在直线与长方 体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平 面有几种位置关系?
C' B' C A' D A D'

B

直线与平面的位置关系:按公共点个数分
(1)直线在平面内-----有无数个公共点

a ??

a

?

(2)直线在平面外:

a ??
?

a

①直线a和面α 相交 :

.

A

a ?? ? A

②直线a和面α 平行 :

a // ?

a

?

直线和平面相交或平行的情况统称为直线 在平面外。
按是否在平面内分: 直线在平面内 直线与平面相交 直线在平面外 直线与平面平行 判断直线与平面的位置关系关键在于—判断 直线与平面的交点个数。

例4、判断下列命题的正确

(1)若直线l上有无数个点不在平面?内,

(2)若直线l与平面 平行,则l与平面 ? 内的 任意一条直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( ) (5)如果一条直线与一个平面相交,那么这条 直线与平面内无数条直线垂直。 ( )

则 l //

。(

?

∨ ∨

?

X

X

?

X

?



练习、若直线a不平行平面 ,且 则下列结论成立的是(

(A) 内所有直线与a异面 (B) 内不存在与a平行的直线 (C) 内存在唯一的直线与a平行 (D) 内的直线与a都相交

? ? ? ?

B)

?

a ??

课本P49

巩固练习:

1.已知a∥?,b∥?,则直线a,b的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交; ④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 ( D) (A )2 个 (B )3 个 (C )4 个 (D )5 个 3.如果平面?外有两点A、B,它们到平面?的距 离都是a,则直线AB和平面?的位置关系一定 C ) 是( (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB ??

探究(二)平面与平面之间的位置关系

思考1:拿出两本书,看作两个平面,上 下、左右移动和翻转,它们之间的位置 关系有几种变化? 思考2:如图,围成长方体ABCDA′B′C′D′的 D′ C′ 六个面,两两之间 A′ B′ 的位置关系有几种? D
C A B

两个平面之间的位置关系 有且只有以下两种

?
?

?

?
? // ?

? l

? ?? ? l

两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交

有一条公共直线
α∩β=a

探究:课本P50
已知平面?,?,直线a,b,且? ? , a ? ?,b ? ?,则直线a与直线b具 有怎样的位置关系?
平行或异面

练习:

课本P50

如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论。

一条或三条

( 1)

( 2)

随堂练习
1.下列说法正确的是( B )

A.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线 与平面内任何一条直线平行。
B.如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线 与平面内无数条直线垂直。 C.过平面外一点有且只有一条直线与平面平行。 D.直线上有两个点到平面的距离相等,则这直线 平行与这平面。

2.下列命题中正确的个数是( D ) A.若直线m上有无数个点不在平面?内,则m与?平行。

B.如果直线n与平面α平行,则n 与平面α内任意一 条直线都平行。
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另 一条也与这个平面平行。 D.如果直线n与平面?平行,则n 与平面?内任意一条 直线都没有公共点。

小结
(1)空间中点与线、点与面的位置关系
图形 A 文字语言(读法) 符号语言

a a

点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外

A?a A?a
A ??

A

? A A ?

A ??

(2)空间中线与线的位置关系 图形 b a 文字语言(读法) 两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交 符号语言 a∥ b

A b a
b a

aIb=A

两直线不共面且无 公共点两直线异面

a、b异面

(3)空间中线与面的位置关系 图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a

直线与平面无公共 点直线与平面平行
直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

a∥? aI? =A

?

A a

?

a? ?

(4)空间中面与面的位置关系 图形 文字语言(读法) 符号语言

?
?
β

两个平面无公共点 两个平面平行

α∥β

α

两个平面有一公共直线 两个平面相交

? ?? ?l

作业: P50练习. P51习题2.1A组:4.6.

备用: 如图,正方体ABCD-A′B′C′D′ 的棱长为8,M,N,P分别是A′B′,AD, B B′的中点. (1)画出过点M,N,P的平面与平面 ABCD的交线以及与平面BB′C′C的交线; (2)设平面PMN与棱BC交于点Q,求PQ长.
D′ M A′ D N N A C′ B′ P C B

D′ M D B′ P
Q

C′

A′ N A

C

4 PQ ? 10 3
E

N
B


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