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匀变速直线运动模板


匀变速直线运动模板

画图建情景 以点代物, 以线代迹, 选 定 正 方 向:以时间 为序,标注 物理量,位 置、正负要 与正方向对 应。

分析明 显特征 匀(减) 加速 分段 a 不 同 类比定方法 由运动特性 和物理模型, 选择常规公 式、 平均速度 公式、 特殊规 律、 推论及逆 向思维等方 V0=0 法 列式求解答 根 据 选定的

解 题 方法和 规 律 列方程 解 结论再讨论 计 论 结论的 合 理 性,注 意 减 速运动 的最终状态

逆向 Vt=0

§1 匀变速直线运动的规律: (一) 公式:

vt ? v0 ? at
(二) 几个重要推论

1 x ? v0t ? at 2 2

2 vt2 ? v0 ? 2ax v ?

v0 ? vt 2

(1) 某段时间内的平均速度等于这段时间蹭时刻的瞬时速度 (2) 在连续相待的时间间隔 T 内的位移之差 ?x 是恒量,且 ?x ? aT 或
2

xm ? xn ? (m ? n)aT 2
(3) ?段位移中点的瞬时速度等于初速度 v0 和末速度 vt 二次方和的一半的 平方根,即 v x ?
2 2 v0 ? vt2 ,且无论质点是做匀加速直线运动还做我减 2

速直线运动,总有 v x ? v t
2 2

(4) 初速度为零的匀加速直线运动的推论 ① 在第 1 秒内、第 2 秒内、……第 n 秒内位移之比:

x1 : x2 : x3 : ?? : xn ? 1: 3: 5 : ?? :: (2n ? 1)
1

② 在第 1 m 内、第 2m 内、……、的时间之比为:

t1 : t2 : ?? : tn ? 1: ( 2 ? 1) : ( 3 ? 2) : ??:( n ? n ? 1)
③ 末速度为零的匀减速直线运动可以看成初速度为零的、 加速度大小不 变的匀加速直线运动的逆运动。 (三) 匀变速直线运动图像规律的总结 应用图像解题,首先要学会识图。识图就是要“看”寻找图像反映的规律及解 题的突破口。可总结为六看:看“轴” 、看“线” 、看“斜率” 、看“面” 、看“截距” 、 看“特殊值” 。 (1) 看“轴” :即看纵、横轴所表示的物理量,特别要看纵轴是 x 还是 v。 (2) 看“线” :从线看反映的运动性质,如 x-t 图像为倾斜直线表示匀速直线运动, v-t 图像为倾斜直线表示匀变速直线运动经。 (3) 看“斜率”斜率往往代表一个物理量。X-t 图像的斜率表示速度;V-t 图像的 斜率表示加速度。 (4) 看“面” :主要看纵、横轴的乘积有无意义,如 x-t 图像面积无意义,v-t 图像 与 t 轴所围的面积表示位移。 (5) 看“截距”一般表示初始条件,如初始位置 x0 或初速度 V0。 (6) 看特殊值:如图像的交点:x-t 图像的交点表示相遇;v-t 图像的交点表示速度 相同。 (但不表示相遇) 。 例题 例 1:一物体做匀减速速直线运动,在某段时间内通过的位移大小为 x1, 紧接着要相待 的的时间内以通过位移大小为 x2,此时物体仍在运动地。求再经过多少位移物体的速度刚 刚为零。
2

公式法: 分析:根据题意画出运动过程草图如 右图所示。可采用基本公式法(速度公式 和位移公式) ,先以第一段开始时刻为初始 时刻,利用速度公式和位移公式分别得到 相关的方程,联立求得加速度 a 和第二阶段的末速度,然后再选最后一段过程,列式即可 求解。但是仔细审视题目的特点,由关键句“紧接着在相待时间内又通过位移大小为 x2”, 很容易想到用平均速度求出中间时刻的瞬时速度,再由推论 ?x ? aT 求出加速度 a,然后
2

V0

a

V1

V2

X1

X2

X3

结合速度—位移公式即可求得解。 用公式解题: 设物体通过位移厌 X1 时所用的时间为 T,物体的初速度大小为 V0,加速度大小为 a, 第一段位移内物体做匀减速直线运动有:

1 x1 ? v0T ? aT 2 ?? (1) 2
通过位移 x1 末时的速度为:

x2 ? v0 ? aT ?? (2)
则 x2 ? v1T ?

1 2 aT ?? (3) 2

通过位移 x2 末时的速度为:

v2 ? v0 ? 2aT ?? (4)
设再通过位移 x3 ,物体的速度刚好为零,则 ?2ax3 ? 0 ? v2 ?? (5)
2

由(1)-(3)得: x1 ? x2 ? aT

2

a?

x1 ? x2 ?? (6) T2



v2 ? v1 ? aT ? ?

x1 ? x2 x1 ? x2 ? T 2T T2

3x2 ? x1 ?? (7) 2T
3

把(6) 、 (7)代入(5)得: x3 ? 方法二:平均速度法

(3x2 ? x1 ) 2 8( x1 ? x2 )

2 由公式 ?x ? aT 得 x2 ? x1 ? ?aT ?? (1)
2

通过位移 x1 末时的速度为 v1 ?

x1 ? x2 ?? (2) 2T
2

设再经过位移 x3 ,物体的速度刚好为零,则 ?2a( x2 ? x3 ) ? 0 ? v1 ?? (3) 由(1)得: a ?

x1 ? x2 ?? (4) T2
v12 ?? (5) 2a
2

由(3)式得: x2 ? x3 ?

? 3x2 ? x1 ? (2) : 代入(5)并化简:x3 ? (4) 8( x1 ? x2 )
用逆向思维方法解题:

例 2:物体以一定的初速度从 A 点冲上固定的光滑的斜面,到达斜面最高点 C 时速度 恰为零,如图所示。书籍物体第一次运动到斜面长度 3/4 处的 B 点时,所用的时间为 t,求 物体从 B 滑到 C 所用的时间。 方法指导: 注意逆向思维法和比例法在匀 B 变速直线运动中的运用。 物体匀减速运动至 C 点速度为零,可转化为由 C 到 B 初速度为零 的匀加速直线运动,再结合比例关系很容易得出物体从 B 滑到 C 所用的时间。 解答:把物体由 A 运动到 C 的匀减速运动转化为初速度为零的反方向的匀加速直线运 动,根据比例关系可知: SCB : S BA ? 1: 3 ,故由初速度为零的匀加速直线运动的推论可知: A C

lCB ? lBA ? l ,即物体从 B 滑到 C 所用的时间为 t。
用图像法解题: 图像问题模板
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作图 依题意选择坐标 系,作运动图像, 融入题目信息, 把握制约关联 量。 读图 呈现图像信息: 相关物理量、运 动性质、时间关 联、位移关联等。 再读图 数、形关系 根据运动性质和物理量组合选择物理规 律建立函数关系,识别图像的几何关系 (如面积)的物理意义 分析求解 根据建立的数、 形关系和制约关 联量展开分析、 推理,再读图拓 展解题思路

例 3: (多选)物体以速度 v 匀速通过直线上的 A、B 两点需要的时间为 t。现在物体从 A 点由静止出发, 先做加速度大小为 a1 的匀加速直线运动到某一最大速度 vm 后立即做加速 度为 a2 的匀减速速直线运动至 B 点停下,历时仍为 t,则物体的 A.最大速度 vm 只能为 2v,无论 a1、a2 为何值; B. 最大速度 vm 可以为许多值,与 a1、a2 的大小无关; C. a1、a2 的值必须是一定的,且 a1、a2 的值与最大速度有关; D. a1、a2 必须满足

a1a2 2v ? 。 a1 ? a2 t

解答: 识模建模: 匀加速接匀减速再与匀速运动比较, 位移和时间相同, 用图像法求解较方便。 分析:此题可根据描述的运动过程画出物体运 动的速度图像,根据速度图像容易得出: “最大速度 Vm=2v v A S2 S1 0 公式法确定 a1 、 a2 所满足的条件即可。 B S3 S4 t1 t2 t C t

vm 只能为 2 v ,无论 a1 、 a2 为何值”的结论,再由
基本公式法确定 a1 、 a2 为何值“的结论,再由基本

v 解:画出符合题意的 v-t 图像,由题意:匀速运动和先加速后减速运动( OAC)位移相
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等、时间相等,故 S1 ? S2 , S3 ? S4 ,可得出 vm ? 2v ,虚线 OBC 表示加速度改变的先加速 后减速运动,由图可知 A 正确,B、C 错误;由 vm ? a1t1 ? a2 ? t ? t1 ? ,

vm ? 2v 联立可解得

a1a2 2v ,故 D 正确,答案:A,D。 ? a1 ? a2 t
图像法的应用 用图像法求解物理问题的要点是识图和作图。识图就是读出解题的信息,v-t 图像的信 息如图所示图要根据题意把抽象的运动过程用图像表示出来, 将物理量间的代数关系转化为 函数图像和几何关系,运用图像简明、直观的特点,分析解决物理问题;有些问题可以借助 图像化繁为简,将较复杂的物理关系转化为简单的几何(图像)关系,从而提高解题的速度 和准确度,如本例把握住两种运动方式下图线与横轴间包围面积相等这一关键正确作图, Vm 与 v 的关系就一目了然。 利用图像解题的易错点: (1) 混淆 x-t 图像和 v-t 图像,有的 考生还错误的认为运动图像就 是近质点的运动轨迹; (2) 易将 v-t 图线的交点当作两质点 相遇的时刻; (3) 0 v v

V0

1 2 at 2
v0t
t

?v

t

将图线斜率的正负变化当作质点运动方向的变化, 或者错误地认为 v-t 图线的 斜率为正则质点一定做做加速运动,斜率为负则一定做减速运动。 §2 追及、相遇问题 追及、相遇问题模板

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审题、审图, 确定追及问题 的类型。

借助 V- t 图像,确 定速度相待等时的 临界物理量

确定三个关系式 (v、x、t)列方 程

利用图像或方程组求 解,注意数学方法的应 用,必要时对计算结果 进行合理性讨论

知识必备 追及、相遇问题的分析: 1、讨论追及、相遇问题,其实质就是分析两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置 的问题。 (1)两个关系:时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到。 (2)一个条件 两者速度相等,它往往是物体能否追上、追不上或(两者)距离太大、 最小的临界条件,也是分析判断的切入点。 2、追及相遇问题的分类 (1)速度大者追速度小者; (2)速度小者追速度大者。 3、追及相遇问题的注意事项 (1)追者和被追者速度相等是能追上、追不上或两者间距最大、最小的临界条件; 衩追的物体做匀减速直线运动时,要判断追上时,被追的物体是否已停止运动。 模型Ⅰ:速度大者追速度小者 例 4: (单选题)在一大雾天,一 辆小汽车以 30m/s 的速度行驶在高速 公路上,突然发现正前方 30m 处有一 辆大卡车以 10m/s 的速度同方向匀速 行驶,小汽车匀速刹车,刹车过程中刹 30 20 10 0
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V(m/s)

a b t/s)

1 1

3

4

5

车失灵,如图 a、b 分别为小汽车和大汽卡车的 v-t 图像,以下说法正确的是: A、因刹车失灵前小汽车已咸速,不会追尾。 B、在 t=5 秒时追尾。 C、在 t=3 秒时追尾。 D、由于初始距离太近,即使刹车不失灵也会追尾。 解答:根据物理图像分析追及及相遇问题。两车属于同时不同地运动,结合图钉中以看出, 只要求出小汽车减速至与大卡车速度相等时, 两者的位移差, 比较其与两者初始距离的大小 即可。 由 v-t 图像可知,小汽车刹车失灵前做匀咸速运动,刹车后加速度减小俣仍做匀减速运 动,大卡车一直做匀速运动,5 秒时两者速度相等,此时两者的位移差为

1 1 S小汽车-S大卡车= ? (10 ? 20) ?1m+ ? 4 ?10m=35m>30m 所以在 t=5s 前已追尾,A、 2 2 20 ? 10 20 ? 30 ? 20 2 ? 2m ? 60m , B 错误;t=3s 时由图像知小汽车的位移为 s1 ? ?1m ? 2 2
大卡车的位移为 30m,它们的位移差为 30m,所以 t=3s 时追尾,C 正确;如果刹车过程中 刹车不失灵, 由图可知, 刹车的加速度的大小为 a ? 10m / s ,速度相等时, 即 30 ?10t ? 10 ,
2

解得 t ? 2s 。汽车的位移为 s2 ? 30 ? 2m ?

1 ?10 ? 22 m ? 40m ,大卡车的位移为 20m,它 2

们的位移差为 20m,所以不发生追尾。 ,D 错。答案 C 正确。 解这类问题的技巧: (1)追及问题涉及两个不同物体的运动关系,分析时要紧抓“一个图,三个关系式” , 即过程示意图或,v-t 图,速度关系式、时间关系式和位移关系式。同时要关注题目中的关 键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好” 、 “恰好” 、 “最多” 、 “至少”等。 (2)速度大者减速(如匀减速直线运动)追 速度小者(如匀速直线运动)的结论: ①两者速度相等时, 追者位移仍小于被追者位移与初始间距之和, 则永远追不上, 此时,
8

两者存在最小距离。 ②若速度相等时,追者位移恰等于被追者位移与初始间距之和,刚好追上,也是二者相 遇时避免碰撞的临界条件。 ③若相遇时追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还能再一次追上追者。 用数学方法处理速度大者追速度小者。 例 5:甲、乙两车相距 s,同时同向运动,乙在前面做加速度为 a1,初速度为零的匀加 速运动,甲在后面加速度为 a2、初速度为 V0 的匀加速运动,试讨论两车在运动过程中相遇 的次数与加速度的关系。 解:根据题意:两车同时运动,相遇时经历的时间相同,所以,只要找出两车相遇时的 位移关系,对结果进行讨论即可得出结论。 设甲经过时间 t 追上乙,它们相遇时应有:

x甲 ? x乙 ? s ?? (1)
由运动学公式得:

1 x甲 ? v0t ? a2t 2 , 2
所以有: t ?

1 x乙= a 1t 2 ??(2) 2
s ,t 只有一个解,则相遇一次。 v0
?? (3)

当 a1 ? a2 时, x甲 ? x乙 ? s

由(1)和(2)得: t ? 对(3)进行讨论:

2 v0 ? v0 ? 2 ? a1 ? a2 ? s

a1 ? a2

(1)当 a1 ? a2 时, (3)式 t 只有一个正解,相遇一次。 (2)当 a1 ? a2 时,若, v0 ? 2(a1 ? a2 ) s 时, (3)式无解,即不相遇。
2

当 v0 ? 2(a1 ? a2 ) s 时, (3)式 t 只有一个解,即相遇一次。
2

当 v0 ? 2(a1 ? a2 ) s 时, (3)式 t 有二个正解,即相遇二次
2

用数学方法处理追及、相遇问题时的心得体会:
9

(1) 设相遇时间为 t, 根据条件列方程,得到关于 t 的一元二次方程,用差别式进行讨 论,若 ? ? 0 ,即有两个解,可根据题中的具体情况分析两个解是否都符合题意;若 ? ? 0 , 说明刚好追上不相碰;若 ? ? 0 说明追不上或不能相碰,也可用不等式进行限制求出追上或 追不上的取值范围。 (2)数学方法是将物理问题转化为数学问题,充分利用数学规律和数学技巧来解决物 理问题,其论述或讨论比较清晰、简捷,但要注意其结果的物理意义。 速度小者追大者 例题 6: (多选)甲乙两质点从同一位置出发, 沿同一路线运动,它们的 v-t 图像如图所示。对这 两质点在 0-3 秒内运动的描述,下列说法正确的 是 A、t=2s 时,甲乙两质点相遇; B、t=1s 时,甲乙两质点相距最远; C、甲质点的加速度比乙近地点的加速度小; D、t=3s 时,乙质点在甲质点前面。 解答:结合图像明确两质点运动情况,分析图像的几何关系(如斜率、面积)的物理意 义是解题的突破口。 由图可知,甲的加速度 a甲 ? ? 1 甲 t/S 0 1 2 3 V(m·S-1 2 乙

2 m / s 2 ,做减速运动,乙的加速度 a乙 ? 0.5m / s 2 , 3

做加速运动,C 错误;开始时甲的加速度大,甲在前,乙追甲的过程中,t=1s 前两者 距离增大,t=1s 时,两者速度相等,甲、乙两点距离在增大,甲乙两质点间的距离最 大 , 故 B 正 确 ; t=2s 时 分 别 求 出 它 们 间 的 x甲 ? 2 ? 2m ?

1 2 2 8 ? ?2 m ? m , 2 3 3

1 x乙 ? 1? 2m ? ? 0.5 ? 22 m ? 3m ,这时乙在甲的前面,A 错,D 正确,答案 BD。 2
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规律: (1)当两者速度相等时二者间距离最大。 (2)当追者位移等于被追者位移与初始间距离之和时,二者相遇。 空中抛体相遇问题 知识准备: 1、自由落体运动:物体只在重力作用下从静止开始的运动,处理自由落体运动常用的 方法有基本公式法、幸无速度法、推论法。 2、竖起上抛运动的对称性:如图所示,物体以初速度 v0 竖直上抛,A、B 为途中经过 的任意两点,C 为最高点,不计一切阻力,则: (1) 时间的对称性: 物体上升过程中从 A→C 所用的时间 t AC 和下降过程中从 C→A 所 用的时间 tCA 相等,同理 t AB ? t BA 。 (2) 速度的对称性: 物体上升过程经过 A 点的速度与下降过程中经过 A 点的速度大小 相等,方向相反。 处理方法: (1)特点:1、不同起点,相向运动,加速度相同,大小均为 g。 (2)处理方法:相对运动法、自由落体的物体对竖直上抛的另一物体,可看着是做竖 直向下的匀速直线运动, 或竖起上抛的物体相对自由落体的另一物体, 可看着是做竖直向上 的匀速直线运动。 双体空中抛体相遇问题 例 7: (多选)从地面竖起上抛物体 A,同时在某一高度有一物体 B 自由落下,两物体 在空中相遇时的速率都是 v ,则 A、物体 A 上抛初速度大小是两物体相遇时速率的 2 倍;
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B。相遇时物体 A 已上升的高度和物体 B 已下落的高度相同; C、物体 A 和物体 B 落地时间相同; D、物体 A 和物体 B 落地速度相等。 分析:A、B 相遇时的速率均为 v,又两者运动时间相同,根据平均速度公式得出 A 竖 起上抛的初速度大小为 2V,即 A 竖起上抛的最大高度为 B 初始离地高度这种特殊情况,其 他选项即可判断。 解:相遇时刻为下落的中间时刻,可得 v ?

0 ? v0 ,即 v0 ? 2v ,A 正确;从竖直上抛 2

运动速度的对称性可知,A 上升的最大高度与 B 自由下落的高度相同,因此两物体落地速 度相等,D 正确;由初速度为零的匀变速直线运动规律可知,B 下落高度与 A 上升的高度 之比为 1:3,B 错误;A 运动时间为 B 运动时间的两倍,C 错误。答案:A、D。 双体空中追及、相遇问题的特点(规律总结) (1)两个自由落体运动: ①运动规律和方向相同,因此必须是一上一下两个位置释放,且上面的物体先释放,下 面的物体后释放(一上一下,上先下后) ②若以下面物体为参考系, 则先释放的上面的物体相对下面的物体以速度 v ? g ?t 做匀 速直线运动,其中 ?t 为两物体释放的时间差。 (2)自由落体运动与竖起上抛运动 ①此运动为相向运动,两物体运动的加速度相同。对于做竖直上抛运动的物体,注意对 其运动过程所具有的往返性和对称性的特点; ②若两物体同时开始运动,则上抛物体相对自由下落物体做速度为 v0 的匀速直线运动, 相遇时间 t ?

h ,其中 v0 为竖直上抛运动的初速度要,h 为开始运动时两物体间的高度。 v0

(3)两个竖直上抛运动:
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(1)同一点以相同的初速度竖直上抛的两物体必须在不同时刻抛出,且处于下落阶段 的物体与处于上升阶段的物体相遇; (2)同一点以不同的初速度竖直上抛两物体,相遇时段不定,但能在空中相遇具有临 界条件:先抛出的球落地时,后抛出的球正好开始抛出。 多体空中抛体相遇问题 例 8、 (上海高考 单选)小球每隔 0.2 秒从同一高度抛出,做初速度为 6m/s 的竖直 上抛运动,设它们在空中不相碰。第一个小球在抛出点以上能遇到的小球的数目是多少? (g=10m/s2) A、3 个 B、四个 C、五个 D、六个

分析:每个小球的运动情况相同,关键字是“空中” ,小球落回抛出点时刻,刚好开始 抛的小球不能计入, 该题只要求出第一个小球从开始上抛到落回抛出点的时间, 就可知道此 时空中多少个小球,即相遇的小球的个数。 解:小球做初速度为 6m/s 的竖直上抛运动,到达最高点需要的时间为 0.6 秒,因而当 一个小球回到抛出点时,空中还有 5 个小球,第一个球在上升过程中不会遇到任何小球, 在下降过程中能遇到已抛出的 5 个小球不,选项 C 正确,答案:C 总结: (1)对于游戏类抛球题,第一个球在上升过程中不会遇到任何小球,相遇只级发生在 其下降过程中; (2)抛出的各个小球的运动情况完全相同,要第一个小球运动的整个时间内,计算能 抛出多少个球,就会有多少个球与之相遇。 多过程组合问题模型 解题模板
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明确研究对 象的运动性 质,画出运动 过程的草图 或 v-t 图

根据加速度的变 化将整个运动过 程分割成苦干个 子过程,确定不 同子过程的关联 量

整体或分 段确定正 方向,将 相应的物 理量标注 在草图中

选择解题途 径和方法, 列方程求 解,对结果 进行讨论

匀加速过程和匀减速过程有以下三种典型的组合模型: (1)如图(a)所示的“初速零,最终停” :先做初速度为零的匀加速运动,加速度为

a1 的匀加速这直线运动,达到最大速度 vm 后,再做加速度为 a2 的匀减速直线运动,直至速
度为零。 (2)如图(b)所示“减至零,终返回” :先以初速度为 v1 、加速度为 a1 的匀减速直线 运动,速度减为零后,再返向做加速度为 a2 的匀加速直线运动,直至返回出发点。 (3)如图(C)所示的:先加速,再减速、终返回“:先做初速度为零、加速度为 a1 的 匀加速直线运动,经过时间 t 后,再做加速度为 a2 的匀减速 直线运动,以经过时间 t 后返回。 v V1 V0 a1 0 t1 图a t2 a2 t 0 V2 t1 V2 t2 t v V1 a1 0 2t t a2 t v

vm (t1 ? t2 ) 2 v2 v2 x? m ? m 2a1 2a2 x? 1 2 1 2 a1t1 ? a2t2 2 2 vm ? a1t1 ? a2t2 x?

v1 v t1 ? 2 t2 ? x 2 2 2 2 a1t1 ? a2t2 ? 2x v12 v2 ? 2 ?x 2a1 2a2

1 2 1 a1t ? (a1t 2 ? a2t 2 ) ? 0 2 2 a2 ? 3a1

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例题 9 :一质点从 A 点开始运动,沿直线运动到 B 点停止,在运动过程中,质点能以

a1 ? 6.4m / s 2 的加速度加速,也能以 a2 ? 1.6m / s 2 的加速度减速,也可以做匀速运动。若
AB 间的距离为 1.6km,那么质点应该怎样运动,才能使它的运动时间最短,最短时间是多 少? 分析:根据题意,分析质点的运动方式可能是: ( 1)先做一段时间的匀加速运动,中 间经历一段时间的匀速运动,最后做减速运动至 B 点速度好为零。 (2)中间不经历匀速直 线运动,先匀加速运动一段时间,后做匀减速运动停在 B 点。可用图像法求解也可用函数 解析法求解。 解:分别作出两种运动的 v-t 图像,如图所示, 考虑到位移相等 (图中有阴影部分的面积应相等) , 从 图中容易看出中间不经历匀速直线运动的运动方式所 0 用的时间最短。 方法 1:由图可看出, t1 、 t 2 两段时间内的平均速度为 v ? t1 t1+t2 t t V0 v

v

1 v0 ,则: 2

1 1 1 x ? v0t1 ? v0t2 ? v0t 2 2 2

t ? t1 ? t2

v0 ?
t?

2x ?? (1) t
a1a2 ?? (2)
2 x ? a1 ? a2 ? a1a2

以因为 v0 ? a1 ? a2 ? ? a1a2t2 ? a2 a1t1 ? a1a2t

v0 ? a1 ? a2 ?

将(1)式代入(2)式有: t ?

2 x ? a1 ? a2 ? ta1a2

所以: t ?

=50s

方法 2:由于图中两块阴影部分面积相等,左边阴影部分三角形和大角形相似,设阴影 三解形的底边长为 tx, 所以有:

tx v ?v ? 0 ?? (1) t1 ? t2 v0

得 tx ?

v0 ? v (t1 ? t2 )?? (2) v0

因为两阴影部分的面积相等,所以有:

t x ? ? t1 ? t2 ? 2

v?? ?t ? ? t1 ? t2 ? ? ? v ? x ?? (3)
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由(3)得:

tx t ?t v ? 1 2 v ? vt ? v ? t1 ? t2 ? v ? x ?? (4) 2 2
将(2)代入(4)得:

? v? ?1 ? ? ? t1 ? t2 ? t ?t ? v0 ? v ? 1 2 v ? vt ? x 2 2 2 v ? t1 ? t2 ? ? ? vt ? x 2v0 t? x v x ? ? ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ? 2 v 2v0 2v0 2 x ? v0 v0 ? ? ? ?? v0 ? a1 a2 ? 2 x ? a1 ? a2 ? a1 ? a2
2 x ? a1 ? a2 ? a1 ? a2

所以,所用紧短时间为没有匀速运动的方式,其最短时间为 tmin ?

小结:上述解法推荐了一种解题思路:由位移 x 和时间 t→平均速度,沿此思路可知, 在位移 x 一定的条件下,平均速度越大,运动时间越短;由图可知,不经历匀速直线运动的 运动方式的平均速度最大,因此该运动方式运动时间最短。 也可以采用先建立 x 与 t 的函数关系式再利用极值的知识用代数方法求得, 但用此方法 较繁琐,用图像来分析,较方便,是解运动学常用的方法。 匀减速+匀加速运动模型 例 9:已知一足够长的粗糙斜面,倾角为θ ,一滑块以初速度为 v1 ? 16m / s 从底端 A 点 滑上斜面,经 2 秒滑至 B 点后以返回 A 点,其运动过程的 v-t 图像,如图所示。已知上 加 速度的大小是下滑的 4 倍, 求: (已知 sin370=0.6, cos370=0.8,重力加速度 g=10m/s2),求: (1)AB 之间的距离; (2) 滑块再次回到 A 点时的速度及滑块在 整个运动过程中所用的时间。
16

v/m/s 16 t/s 0 2

分析: 根据题意, 滑块先做匀减速速运动直直到速度减为零, 再返向做匀加速直线运动, 两过程位移大小相等,总位移之和为零,但加速度在两个过程不相等。 解答: (1)由 v-t 图像知 AB 之间的距离为: xAB ?

16 ? 2 ? 16m 2

(2)设滑块从 A 点滑到 B 点过程的加速度大小为 a1, 从 B 点返回 A 过程的加速度大 小为 a2,由题意 a1 ? 4a2 根据 因为

a t2 1 2 1 2 a1t1 ? a2t2 ? xAB ,得 t2 ? 1 1 ? 4 s a2 2 2

v1 v t1 ? 2 t2 ,则滑块返回到 A 点时的速度为 v2 ? 8m / s 2 2

则滑块在整个运动过程中所用的霎时间为 t ? t1 ? t2 ? 6s 小结: (1)用图像分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律,这是图像法的优势;图 像以其直观、形象。更优于数学规律,一些物理的关系通过逆向思维转化为初速度为零匀加 速直线运动。 匀加速+匀减速+反向匀加速 例 10:在光滑水平面上有一静止的物体,现以水平恒力甲推这一物体,当恒力乙作用 时间与恒力乙作用时间相同时,物体恰好回到原处。求: (1)恒力甲作用过程中物体物体的加速度 a1 与恒力乙作用过程中物体的加速度 a2 之 比。 ( 2)恒力甲作用过程中物体的 末速度 v1 与恒力乙作用过程中物体 末速度 v2 之比。 V2 X1 a2 X2 a1 A B v1 C

17

分析:如图所示,A→B 过程物体做初速度为零的匀加速运动,位移为 x1, 由匀变速直 线运动的位移公式和速度公式可以建立起方程。B→C→A 的过程,物体先向右做匀减速运 动,然后向左做匀加速运动,这个过程中可以分两段也可对整个过程建立方程,然后列方程 组联立求解,由于过程的选择及运动学公式的选择不同,本题有多种解法。 解答: 方法一:分三段运用位移公式和速度公式。

1 2 a1t , v1 ? a1t 2 1 2 B→C 过程, x2 ? v1t ? ? a2t ? , 0 ? v1 ? a2t ? 2 1 2 C→A 过程, x1 ? x2 ? a2 ? t ? t ? ? , v2 ? a2 ? t ? t ? ? 2
A→B 过程, x1 ? 由以上六个方程可解得:

a1 1 v1 1 ? , ? a2 3 v2 2

方法二:分两段运用位移公式和速度公式列式,取向右方向为正方向。

1 v1 ? a1t x1 ? a1t 2 , 2 1 2 B→C→A 过程: ? x1 ? v1t ? a2t , ? v2 ? v1 ? a2t 2
A→B 过程: 由以上四个方程解得:

a1 1 v1 1 ? , ? a2 3 v2 2

方法三:由平均速度公式及加速度定义式列式 A→B 过程: x1 ?

v1 v ? t , a1 ? 1 2 t
v2 ? ? ?v 1 ? 2 t , a2 ? v2 ? ? ?v1 ? t

B→C→A 过程:取向左的方向为正方向, x1 ?

解上述方程可得:

a1 1 v1 1 ? , ? a2 3 v2 2

方法四:画出 v-t 图像如图所示,由 A→B→C 过程的位移与 C→B→A 过程的位移大小 相等,即图中 S?OB?C ? ? S?A?QC ? 得:

v1 v ? t ? t?? ? 2 ?t ? t?? 2 2
18

B→C 与 C→A 的过程加速度相同,即图中的直线

V B/ V1+ 0 t t+t/ 2t Q t

v v B?C ? 与直线 C ?A? 斜率相同,可得 1 ? 2 ,由以上 t? t ? t?
两式可解得 t ? ?

1 t, 3

v1 1 ? v2 2

a1 、 a2 的大小分别对应图中直线 OB? 的斜率,易
-V2 得:

A/

a1 t ? 1 ? ? 。 a2 t 3
小结:如果一个物体的运动包含几个阶段,就要分段进行分析,各段交接处的速度往往

是联系向段运动过程的纽带,比较上述不同解法,可以得出下面的结论: (1)平均速度的解法最简捷,图像法更直观; (2)除时间这个物理外其他物理量均为矢量,在有往返的运动中,必需明确规定正方向。

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