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2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目


2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (A 题、B 题)
? ? ? ? ? ? A 题、B 题任选一题。 答卷用白色 A4 纸, 第一页为空白页 (用于赛区或全国组委会对论文进行编号) 。 论文题目和摘要写在第二页上,从第三页开始是论文正文。 论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 提请大家注意:从去年起,提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。 全部题目可

以从以下网址之一下载: http://mcm.edu.cn http://www.hep.edu.cn http://mcm.diy.163.com

A题

车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面, 车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口 半径 36 毫米,深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置 一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏,屏与 FA 垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线,在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点,使 AC=2AB=2.6 米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值(可取为 1 个单位) ,B 点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射) 。 请解决下列问题: (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。 (2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 (3)讨论该设计规范的合理性。

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B题

彩票中的数学

近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列, 目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案:先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码,每组摇出 一个,然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码(可重复) ,从 0~4 中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符 的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X 表示 未选中的号码) 。 表一 中 奖 10 选 6+1(6+1/10) 等 级 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef 选 7 中(6+1) g 二等奖 abcdef 选 7 中(6) 三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7 中(5) 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7 中(4) 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中(3) 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中(2) “乐透型”有多种不同的形式,比如“33 选 7”的方案:先从 01~33 个号码球中一个一 个地摇出 7 个基本号,再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 01~33 个号码 中任选 7 个组成一注(不可重复) ,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖 等级,不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1”的方案,先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号,再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个组成一 注(不可重复) ,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码 顺序。这两种方案的中奖等级如表二。 表二 中 奖 33 选 7(7/33) 36 选 6+1(6+1/36) 等 级 基 本 号 码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 ●●●●●●● 选 7 中(7) ●●●●●● ★ 选 7 中(6+1) 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7 中(6+1) ●●●●●● 选 7 中(6) 三等奖 ●●●●●●○ 选 7 中(6) ●●●●●○ ★ 选 7 中(5+1) 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7 中(5+1) ●●●●●○ 选 7 中(5) 五等奖 ●●●●●○○ 选 7 中(5) ●●●●○○ ★ 选 7 中(4+1) 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选 7 中(4+1) ●●●●○○ 选 7 中(4) 七等奖 ●●●●○○○ 选 7 中(4) ●●●○○○ ★ 选 7 中(3+1) 注:●为选中的基本号码;★ 为选中的特别号码;○ 为未选中的号码。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%,投注者单注金额为 2 元,单注若已 得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三, 其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一 等奖单注保底金额 60 万元,封顶金额 500 万元,各高项奖额的计算方法为: [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 (1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置 以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 (2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。 (3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。

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表三
序号 项 方案 奖 一等奖 比 例 二等奖 比 例 三等奖 比 例 四等奖 金 额 五等奖 金 额 六等奖 金 额 七等奖 金 额 备 注

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60

50% 60% 65% 70% 60% 60% 65% 70% 75% 60% 75% 65% 70% 75% 70% 75% 65% 68% 70% 70% 75% 80% 100% 75% 80% 70% 70% 82% 60%

20% 20% 15% 15% 20% 25% 15% 10% 10% 15% 10% 15% 10% 10% 10% 10% 15% 12% 15% 10% 10% 10% 2000 10% 10% 10% 15% 10% 20%

30% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 25% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 10% 20 15% 10% 20% 15% 8% 20%

50 300 300 300 300 200 500 200 200 500 320 500 500 500 600 500 500 500 300 500 1000 200 4 500 500 500 1500 200 300

按序

20 20 20 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50 2 100 100 50 100 10 30

5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 10 10 10 50 1

按序 按序 按序

5 5 5 10

5 2 5 5 5
无特别号

5 5

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