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高考物理万有引力定律知识点总结 学生版


Good Good Study,Day Day Up

高考物理万有引力定律知识点总结
(万有引力定律及其应用 环绕速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度)

一.开普勒行星运动规律:

行星轨道视为圆处理 理解:

r3 ?K 2 则T (K 只与中心天体质量 M 有关)

(1)k 是与太阳质量有关而与行星无关的常量. 由于行星的椭圆轨道都跟圆近似,在 近似的计算中,可以认为行星都是以太阳为圆心做匀速圆周运动,在这种情况下,a 可代表 轨道半径. (2)开普勒第三定律不仅适用于行星,也适用于卫星,只不过此时 a /T =k′,比值
3 2

k′是由行星的质量所决定的另一常量,与卫星无关.

二、万有引力定律
(1)内容:宇宙间的一切物体都是互相吸引的,两个物体间的引力大小,跟它们的质量 的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比.
r (3)适用条件:此公式适用于质点间的相互作用.当两物体间的距离远远大于物体本身 的大小时,物体可视为质点.均匀的球体可视为质点,r 是两球心间的距离.一个均匀球体 与球外一个质点间的万有引力也适用,其中 r 为球心到质点间的距离. 说明: (1)对万有引力定律公式中各量的意义一定要准确理解,尤其是距离 r 的取值,一定要 搞清它是两质点之间的距离. 质量分布均匀的球体间的相互作用力,用万有引力公式计算, 式中的 r 是两个球体球心间的距离. (2)不能将公式中 r 作纯数学处理而违背物理事实,如认为 r→0 时,引力 F→∞,这是 Gm1m2 错误的,因为当物体间的距离 r→0 时,物体不可以视为质点,所以公式 F= 2 就不能直 r m1m2
2

(2)公式:F=G

,其中 G ? 6.67 ? 10?11 N ? m 2 / kg 2 ,叫做引力常量。

接应用计算.

静心,用心,专心

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(3)物体间的万有引力是一对作用力和反作用力,总是大小相等、方向相反的,遵循牛 顿第三定律, 因此谈不上质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的 物体的引力,更谈不上相互作用的一对物体间的引力是一对平衡力. 注意: 万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来, 是自然界中最普遍的规律之 一,式中引力恒量 G 的物理意义是:G 在数值上等于质量均为 1 千克的两个质点相距 1 米时 相互作用的万有引力.

三.万有引力定律的应用
(天体质量 M, 卫星质量 m,天体半径 R, 轨道半径 r,天体表面重力加速度 g ,卫星运 行向心加速度 an 卫星运行周期 T) 解决天体(卫星)运动问题的两种基本思路: 一是把天体(或人造卫星)的运动看成是匀 速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供;二是在地球表面或地面附近的物体所受的重力 等于地球对物体的引力. (1) .万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时,r=R+h ) G
2 2 V 4 ? M m 2 ? m ? ( R ?? h ) m ( R ? h ) ? m 2 2 (R?h)2 ( R ? h ) T

人造地球卫星(只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星 r=R+h) :

GM GM 4? 2 r 3 ,r 越大,v 越小; ? ? , r 越大, 越小; ,r 越大,T T ? ? r GM r3 GM an ? 2 r , 越大; v?

a r 越大, n 越小。
(2) 、用万有引力定律求中心星球的质量和密度 求质量:①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力:mg = G

Mm gR 2 →M ? 2 R G

②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时,设中心星球质量为 M,半径为 R,环绕星球 质量为 m,线速度为 v,公转周期为 T,两星球相距 r,由万有引力定律有:

v r 4? r GMm mv2 ? 2? ? , M ? ? 可得出中心天体的质量: ? ? mr ? ? G GT 2 r r2 ?T ?
2

2

2 3

求密度:

??

M M ? V 4? R 3 / 3
g = G g = G

在天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力 (重力是万有引力的一个分力)

Mm R2 Mm 高空物体的重力加速度:mg = G ( R ? h) 2
地面物体的重力加速度:mg = G (3) 、万有引力和重力的关系:

?R ? h ?

M 2 ≈9.8m/s 2 R M
2

<9.8m/s

2

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一般的星球都在不停地自转, 星球表面的物体随星球自转需要向心力, 因此星球表面上 的物体所受的万有引力有两个作用效果:一个是重力,一个是向心力。星球表面的物体所受 的万有引力的一个分力是重力,另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力 (4) 、双星: 宇宙中往往会有相距较近,质量可以相比的两颗星球,它们离其它星球都较远,因此其 它星球对它们的万有引力可以忽略不计。 在这种情况下, 它们将各自围绕它们连线上的某一 固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

(1)由于双星和该固定点总保持三点共线,所以在相同时间内转过的角度必相等,即 双星做匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相同。 (2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的,因此大小必然相 等,由 F=mrω 可得 r ?
2

m2 m1 1 ,得 r ? L, r2 ? L ,即固定点离质量大的星较近。 1 m1 ? m 2 m1 ? m 2 m

注意:万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离,按题意应该是 L,而向心力表达 式中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径,在本题中为 r1、r2,千万不可混淆。 当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时(其他星体对它们的万有引力相比 而言都可以忽略不计) ,其实也是一个双星系统,只是中心星球的质量远大于环绕星球的质 量,因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。 求解双星问题的基本技巧和方法: 抓住双星的角速度(周期)相等, 绕行的向心力大小相等, 以及双星间的距离和轨道半径 的几何关系是解决此类问题的关键,概括为“四个相等”,即向心力、角速度、周期相等, 轨道半径之和等于两星间距. 然后运用万有引力定律和牛顿第二定律求解. 说明: 1.讨论重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况: 物体的重力近似为地球对物体的引 力, 即mg ? G

Mm M 。 所以重力加速度 g ? G , 可见, g 随 h 的增大而减小。 2 ( R ? h) ( R ? h) 2

2.算中心天体的质量的基本思路: (1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期 T 和轨道半径 r;就可以求出中心天体的 质量 M (2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体的表面重力加速度 g 和半径 R 就可以求出中心天 体的质量 M。

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3.解卫星的有关问题:在高考试题中,应用万有引力定律解题的知识常集中于两点: 一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即

G

Mm v2 4? 2 r 2 ? m a ? m ? m ? r ? m 向 r r2 T2
Mm ? mg 从而得出 GM ? gR2 R2

二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力,即 G (黄金代换,不考虑地球自转)

四、三种宇宙速度

1.三种宇宙速度均指的是发射速度,不能理解为运行速度. 2.第一宇宙速度既是最小发射速度,又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度. 3.第二宇宙速度(脱离速度) :v2=11.2km/s,使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 4 第三宇宙速度(逃逸速度) :v3=16.7km/s,使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 说明: 1.第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度, 是所有围 绕星球做圆周运动的卫星所具有的最大的线速度.理解第一宇宙速度,要抓住两个要点:一 是“在星球表面附近”,卫星的轨道半径 r 与星球的半径 R 相等;二是“匀速圆周运动”, Mm v1 卫星所受的向心力由万有引力提供,即 G 2 =m ,故 v1= R r
2

GM ,又由于星球表面万有引力 R

Mm 约等于重力,即 G 2 =mg,故 v1= gR.地球的第一宇宙速度约为 v1=7.9 km/s,月球的第 R 一宇宙速度约为 1.8 km/s. 地球的第一宇宙速度约为 v1=7.9 km/s,月球的第一宇宙速度约为 1.8 km/s.第一宇宙 速度也可以通过匀速圆周运动的最小速度来快速求取,若已知某星球的重力加速度 g′,则 2 v1 卫星在该星球表面附近做匀速圆周运动的向心加速度也为 g′, 由向心加速度公式 g′= , R 得 v1= g′R. 2.第二宇宙速度是指在星球表面附近发射飞行器, 使其克服该星球的引力永远离开该星 球所需的最小速度, 也是能绕该星球做椭圆运动的卫星在近地点的最大速度. 地球的第二宇
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宙速度 v2=11.2 km/s. 3.第三宇宙速度是指在星球表面附近发射飞行器, 能够使其挣脱太阳引力的束缚飞到太 阳系外的最小速度.地球的第三宇宙速度 v3=16.7 km/s. 4.三种宇宙速度的对比 以地球为例, 三种宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示. 当卫星在地面附近做圆周运 动时,其运行速度即为第一宇宙速度 7.9 km/s;当卫星到达地面附近时,其速度介于 7.9~ 11.2 km/s 之间, 则卫星沿椭圆轨道绕地球运动; 当卫星到达地面附近时, 其速度介于 11.2~ 16.7 km/s 之间,则卫星沿椭圆轨道飞离地球,成为绕太阳运动的卫星;当卫星到达地面附 近时,其速度超过 16.7 km/s,则卫星能飞出太阳系成为太阳系外的卫星.三种宇宙速度是 指卫星发射的速度,而不是在轨道上的运行速度.

五、关于地球同步卫星的五个“一定”
“同步”的含义就是和地球保持相对静止(又叫静止轨道卫星). 1.轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面. (即卫星在赤道正上方) 2.周期一定:与地球自转周期相同,即 T=24h. 3.角速度一定:与地球自转的角速度相同. 4 高 度 一 定 : 由 同 步 卫 星 离 地 面 的 高 度

h =

≈3.6×10 m. 5.速率一定:v= ≈3.1×10 m/s.
3

7

经典力学的局限性 :牛顿运动定律只适用于解决宏观、 低速问题, 不适用于高速运动问 题,不适用于微观世界。

六、人造天体的运动相关基础知识:
一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系

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(1)由 G

mM

? r ? h?
mM

2

v2 GM ?m ,得 v ? ,∴当 h↑,v↓ ?r ? h? ? r ? h?
2

(2)由 G

?r ? h ?
mM

2

=mω (r+h) ,得ω =

GM

?r ? h ?3

,∴当 h↑,ω ↓

(3)由 G

?r ? h ?2

?m

4? 2 4? 2 ?r ? h ?3 r ? h ,得 T= ∴当 h↑,T↑ ? ? GM T2

二、第一宇宙速度的计算. 方法一:地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力. G
mM

?r ? h ?2

=m

v2 GM ,v= 。当 h↑,v↓,所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的 ?r ? h ? r?h

最大速度。其大小为 r>>h(地面附近)时, V1 ?

GM 3 =7.9×10 m/s r

方法二: 在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力, 重力就是卫星做圆周运 动的向心力.

mg ? m

v12 .当 r>>h 时.gh≈g ? r ? h?

所以 v1= gr =7.9×10 m/s

3

第一宇宙速度是在地面附近 h<<r,卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度. 三、两种最常见的卫星 ⑴近地卫星。 近地卫星的轨道半径 r 可以近似地认为等于地球半径 R,由式②可得其线速度大小为

v1=7.9×103m/s;由式③可得其周期为 T=5.06×103s=84min。由②、③式可知,它们分别是
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为 340km,线速度约 7.6km/s,周期约 90min。 ⑵同步卫星。 “同步”的含义就是和地球保持相对静止,所以其周期等于地球自转周期,即 T=24h。 由式 G
7

mM

?r ? h ?2

=m

v2 4? 2 = m 2 (r+h) 可得, 同步卫星离地面高度为 ?r ? h ? T
4

h= 3

GMT 2 4? 2

-r=3· 58

×10 m 即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度 h=3.6×10 km,而且该轨道必须在地球赤 道的正上方, 运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。 如果仅与地球自转周期相同而

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不定点于赤道上空, 该卫星就不能与地面保持相对静止。 因为卫星轨道所在平面必然和地球 绕日公转轨道平面重合,同步卫星的线速度 v=
GM 3 =3.07×10 m/s r?h

通讯卫星可以实现全球的电视转播,从图可知,如果能发射三颗相对地面静止的卫星 (即同步卫星)并相互联网,即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫星都必须位于赤道上空 3.6×10 m 处,各卫星之间又不能相距太近,所以,通讯卫星的总数是有限的。设想在赤道 所在平面内,以地球中心为圆心隔 5 放置一颗通讯卫星,全球通讯卫星的总数应为 72 个。 ***同步卫星、近地卫星及赤道上物体的区别 <1>.同步卫星 “同步” 的含义是它绕地心匀速圆周运动的角速度跟地球自转的角速度相 同,且圆轨道平面跟赤道平面重合,即静止在赤道正上方. 万有引力为它提供向心力,其向 心加速度等于轨道处的重力加速度,比地面处的重力加速度小的多,运行周期 T=24 小时. <2>.近地卫星可看做绕地球表面运行的卫星. 近地卫星由于离开了地球,它只受到一个万有引力的作用,万有引力全部充当向心力,其向 心加速度近似等于地面上的重力加速度,即 a=g. 近地卫星的线速度为第一宇宙速度 7.9 km/s,远大于地面赤道上物体的速度.其运行 2 Mm 4π 周期可由方程 G 2 =m 2 R 求出,T=84 min,远小于地球同步卫星的周期. R T <3>.放在赤道上的物体随地球自转时受到两个力的作用,一个是万有引力,另一个是 地面对物体的支持力,其合力提供了物体做圆周运动的向心力,即 Mm 2 G 2 -FN=mω R.(FN=mg). R 由于物体的向心加速度远小于地面的重力加速度, 因此在近似计算中常忽略地球自转影 响, 而认为物体的重力与物体受到的万有引力相等(这在前面已经提到过). 但在研究它随地 球的自转而做匀速圆周运动时, 应另当别论, 此时它的周期及轨道半径分别等于地球自转周 期 24 小时及地球半径. 通过以上讨论可以看出, 放在赤道上的物体与近地卫星有着显著的区别. 首先两者的受 力不同, 前者受到的万有引力只有一小部分充当向心力, 绝大多数作为重力使得物体紧压地 面;而后者受到的万有引力全部充当向心力,它们的运动周期和速度也不同,并且有很大的 差异. 赤道上的物体相对地球保持静止, 而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态. 而 同步卫星和近地卫星都只受万有引力,全部提供向心力,研究方法相同. 四.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据 卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。 设卫星距地面高度为 h,地球半径为 R,地球质量为 M,卫星飞行速度为 v,则由万有引力充 当向心力可得 v=[GM/(R+h)] 。知道了卫星距离地面的高度,就可确定卫星飞行时的速度 大小。 不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表: 高度 (km) 环 绕 速 度 0 7.91 300 7 .73 500 7. 62 1000 7.36 3000 6.53 5000 5.29 35900 (同步轨道) 38000 (月球轨道) 2.77 0.97
? 0 7

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(km/s) 周期 (分) 84.4 90 .5 94.5 105 150 210 23 小时 56 分 28 天

五、卫星的超重和失重 (1)卫星进入轨道前加速过程,卫星上物体超重. (2)卫星进入轨道后正常运转时,卫星上物体完全失重. 六、人造天体在运动过程中的能量关系 当人造天体具有较大的动能时, 它将上升到较高的轨道运动, 而在较高轨道上运动的人 造天体却具有较小的动能。反之,如果人造天体在运动中动能减小,它的轨道半径将减小, 在这一过程中,因引力对其做正功,故导致其动能将增大。 同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星 的动能为 E K ? GMm ,由于重力加速度 g 随高度增大而减小,
2r

所 以 重 力 势 能 不 能 再 用 Ek=mgh 计 算 , 而 要 用 到 公 式
EP ? ? GMm (以无穷远处引力势能为零, M 为地球质量,m r GMm 。同样质量的卫星,轨道半径越大,即离地 2r

为卫星质量,r 为卫星轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功,所以系 统势能减小,为负。 )因此机械能为 E ? ?

面越高,卫星具有的机械能越大,发射越困难。 七、相关材料 I.人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论 当火箭与卫星分离时,设卫星的速度为 v(此即为发射速度) ,卫星距离地心为 r,并设 此时速度与万有引力垂直(通过地面控制可以实现)如图所示,则 F ? G


Mm ,若卫星以 v r2

绕地球做圆周运动,则所需要的向心力为:F 向= m

v2 r

①当 F 万=F 向时,卫星将做圆周运动.若此时刚好是离地面最近的轨道,则可求出此时的发 射速度 v=7.9 km/s. ②当 F 万<F 向时,卫星将做离心运动,做椭圆运动,远离地球时引力做负功,卫星动能转 化为引力势能. (神州五号即属于此种情况) ③当 F 万>F 向时,卫星在引力作用下,向地心做椭圆运动,若此时发生在最近轨道,则 v <7.9 km/s,卫星将坠人大气层烧毁。 因此:星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件.

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2.人造卫星如何变轨 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面,卫 星定轨和返回都要用到这个技术. 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析:如图所示,在轨道 A 点,万有引力 FA>
m v2 v2 ,要使卫星改做圆周运动,必须满足 FA= m 和 FA⊥v,在远点已满足了 FA⊥v 的条件, r r v2 =FA,这个任务由卫星自带的推进器完成. r

所以只需增大速度,让速度增大到 m

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道, 只要在椭圆轨道的远点由推进器加速, 当 速度达到沿圆轨道所需的速度,人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道. “神州五 号”就是通过这种技术变轨的,地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的. ***处理人造天体问题的基本思路: 由于运行中的人造天体,万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力, 因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心.解关于人造卫星问题的基本思路: ① 视为匀速圆周运动处理; ② 万有引力充当向心力; ③ 根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算; ④ 利用代换式 gR =GM 推导化简运算过程。 注意:①人造卫星的轨道半径与它的高度不同.②离地面不同高度,重力加速度不同, 【例 1】如图所示,在一个半径为 R、质量为 M 的均匀球体中,紧贴球的边缘挖去一个半 径为 R/2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距 d 的质点 m 的引力是 多大?
2

【例 2】某物体在地面上受到的重力为 160 N,将它放置在卫星中,在卫星以加速度 a=?g 随火箭加速上升的过程中,当物体与卫星中的支持物的相互压力为 90 N 时,求此时卫星距 地球表面有多远?(地球半径 R=6.4×10 km,g 取 10m/s2)
3

【例 3】已知火星上大气压是地球的 1/200.火星直径约为球直径的一半,地球平均密度ρ
3 3 3 3



=5.5×10 kg/m , 火星平均密度ρ 火=4×10 kg/m . 试求火星上大气质量与地球大气质量之比.

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【例 4】一个宇航员在半径为 R 的星球上以初速度 v0 竖直上抛一物体,经 ts 后物体落回宇 航员手中.为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面,抛出时的速度至少为多少?

2、讨论天体运动规律的基本思路 基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。
G Mm r2 ?m v2 ? 2? ? 2 ? m? 2 r ? m? ? ? m?2?f ? r r ? T ?
2

【例 9】在天体运动中,将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相 互的万有引力作用下间距保持不变,并沿半径不同的同心圆轨道做匀速 圆周运动。如果双星间距为 L,质量分别为 M1 和 M2,试计算: (1)双星的轨道半径; (2) 双星的运行周期; (3)双星的线速度。

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