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1-5-13一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用


高考专题训练十三 一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
班级_______ 姓名_______ 时间: 分钟 45 分值: 分 75 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( A.a<b< ab< a+b 2 a+b B.a< ab< <b 2 a+b D. ab<a< <b 2 a+b > ab,2b>b+a, 2 )

a+b C.a< ab<b< 2 解析:∵b>a>0,∴

a+b a+b ∴b> ,∴a< ab< <b. 2 2 答案:B 2.(2011· 福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A.2 C.6 解析:f′(x)=12x2-2ax-2b. 因在 x=1 处有极值,则 f′(1)=12-2a-2b=0,
?a+b?2 ? =9. ∴a+b=6,ab≤? ? 2 ?

) B.3 D.9

答案:D
[来源:学科网]

3.(2011· 广东 B)不等式 2x2-x-1>0 的解集是(

)

? 1 ? A.?-2,1? ? ?

B.(1,+∞)
? 1? D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析:∵2x2-x-1>0, ∴(2x+1)(x-1)>0, 1 ∴x>1 或 x<- , 2

? 1? ∴原不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). ? ?

答案:D

?x+2y-5≤0 ? 4.(2011· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0 ?x≥0 ?
标函数 z=2x+3y+1 的最大值为( A.11 C.9 解析:可行域如图 ) B.10 D.8.5

,则目

?x-y-2=0 ? 当目标函数过点 A 时,取最大值,由? ? ?x+2y-5=0

得 A(3,1),故最大值为 10. 答案:B

5.(2011· 浙江)若实数 x,y

?x+2y-5≥0, ? 满足不等式组?2x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0, ?
D.28



3x+4y 的最小值是( A.13 B.15

) C.20

解析:由线性约束条件作出可行域如图所示,直线 x+2y-5=0 与 2x+y-7=0 的交点 P(3,1),令 z=3x+4y, ∴zmin=13.

答案:A 6.(2011· 商丘市高三一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)=1, f′(x)为 f(x)的导函数,已知 y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数 a、b 满足 f(3a+b)<1,则 b+2 的取值范围是( a+1 )

A.(1,2) C.(1,5)

B.(2,5) D.(-∞,1)∪(5,+∞)

解析: f(x)的导函数 y=f′(x)的图象可得 y=f(x)(如下图)的大 由 致图象,

由图象可知,当 a>0,b>0 即 3a+b>0 时,y=f(x)为增函数, 又∵f(3)=1,∴f(3a+b)<f(3)

?3a+b<3 ? ∴?a>0 ?b>0 ?

, 作出可行域如下图

[来源:Z§xx§k.Com]



b+2 的最小值为直线 AB 的斜率 kAB=1 a+1

b+2 的最大值为直线 AC 的斜率 kAC=5 a+1 ∴ b+2 ∈(1,5),故选 C. a+1

答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7.(2011· 陕西省高考全真模拟一)若 a、b 是正常数,a≠b,x、y a2 b2 ?a+b? a b ∈(0,+∞),则 x + y ≥ ,当且仅当x=y时上式取等号.利用 x+y
2

1?? 4 9 ? ? ?x∈?0, ?? 的最小值为 以上结论,可以得到函数 f(x)= x + 2?? 1-2x ? ? ________.
? 1? 22 32 解析:由题意知,f(x)= x + ,x∈?0,2?, ? ? 1-2x ? 1? ∵2≠3 且均为正常数,x∈?0,2?, ? ?
[来源:Z+xx+k.Com]

∴1-2x∈(0,1), ?2+3? 22 32 ∴x+ ≥ , 1-2x 1-x
2

2 当且仅当x= 答案:35

3 2 时,即 x= 时等号成 立,即 f(x)≥35. 7 1-2x

?x2+1, x≥0 ? 8. 已知函数 f(x)=? , 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x) ? x<0 ?1,

的 x 的取值范围是________. 解析: 本题以分段函数为载体, 考查函数的单调性及一元二次不 等式的解法,求解的关键在于正确利用函数的性质进行等价转化.
?1-x2>2x ?1-x2>0 ? 由题意有? 或? ,解得-1<x<0 或 0≤x< 2- ? ?2x<0 ?2x≥0

1,∴所求 x 的取值范围为(-1, 2-1). 答案:(-1, 2-1)

?y≥x, ? 9.(2011· 湖南)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为________.

下,目标函数 z

解析:作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB. 1 1 ∵目标函数可化为 y=- x+ z. 5 5 它在 y 轴上的截距最大时 z 最大. ∴当目标函数线过点 A 时 z 最大.
? ? 1 ?x+y=1 m ? 由? 解得 A?m+1,m+1?, ? ? ?y=mx ?

5m+1 1 5m ∴zmax= + = =4, m+1 m+1 m+1

∴m=3. 答案:3 10 . (2011· 北 省 黄 冈 中 学 模 拟 考 试 ) 若 实 数 x , y 满 足 湖

?4x+3y=0, ? ?x-y≥-14, ? ?x-y≤7,

则 x2+y2的取值范围是________.

解析:如图所示,

?4x+3y=0 ? 不等式组?x-y≥-14 ?x-y≤7 ?

所表示的可行域为线段 AB, x2+y2可

看作是可行域内的点 P(x,y)到原点 O 的距离,由图易知|PO|min=0,
? ?4x+3y=0, |PO|max = |AO| , 由 ? ?x-y=-14, ?

得 A( - 6,8) , 故 |PO|max =

?-6?2+82=10,即 x2+y2的取值范围为[0,10]. 答案:[0,10]

[来源:学科网]

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.

11.(12 分)(2011· 江西师大附中、临川一中高三联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= f(4-x), 又函数 f(x+2)在[0, +∞)上单调 递减. (1)求不等式 f(3x)>f(2x-1)的解集; (2)设(1)中不等式的解集为 A,对于任意的 t∈A,不等式 x2+(t -2)x+1-t>0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

解:(1)∵f(x)=f(4-x), ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 又∵函数 f(x+2)在[0,+∞)上单调递减, ∴函数 f(x)在[2,+∞)上单调递减. ∴不等式 f(3x)>f(2x-1)?|3x-2|<|2x-1-2|?(3x-2)2<(2x- 3)2?(5x-5)(x+1)<0?-1<x<1, ∴原不等式的解集为(-1,1). (2)令 g(t)=(x-1)t+(x2-2x+1). t∈(-1,1)时,不等式 x2+(t-2)x+(1-t)>0 恒成立, 即 g(t)>0 在 t∈(-1,1)上恒成立.
?g?-1?≥0 ? 当 x≠1 时,? , ?g?1?≥0 ? ?x2-3x+2≥0 ?x≤1或x≥2 ? ? ?? 2 ?? ? ? ?x -x≥0 ?x≤0或x≥1

?x≤0 或 x=1 或 x≥2, ∴x≤0 或 x≥2. 当 x=1 时,0>0,显然不成立,∴x≠1, 综上,x∈(-∞,0]∪[2,+∞).

12.(13 分)(2011· 广东 B)设 b>0,数列{an}满足 a1 =b, an = nban-1 (n≥2). an-1+n-1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n,2an≤bn+1+1.

解:(1)(ⅰ)若 b=1,则 a1=1,an= n-1 n an-1+?n-1? 则a = =1+ . an-1 an-1 n

nan-1 (n≥2) an-1+?n-1?

?n? ∴?a ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ? n?

n ∴a =n,∴an=1.
n

an (ⅱ)若 b≠1,则 n = n 1 1 n-1 ∴a =b+b· , an-1 n

ban-1 , an-1+?n-1?

1 ? 1 1?n-1 n ?, - ∴a - =b? b-1 n ? an-1 b-1?
?n 1 ? ∴数列?a -b-1?是首项为- ?
n

?

1 1 ,公比为b的等比数列, b?b-1?

?1? 1 1 n ? ∴a - =- ·? b-1 b?b-1? ?b? n

n-1



- ?1?n 1 1 1 n ? ? , ∵a = - · b-1 b?b-1? ?b? n

n?b-1?bn ∴an= n . b -1

(2)证明:当 b=1 时,2an=2≤2 成立

n?b-1?bn nb 当 b≠1 时,an= n = ?1?n b -1 1-?b? ? ? 1 1-b nb = , 1 1 1 1+b+ 2+…+ n-1 b b 要证 2an≤bn+1+1, bn+1+1 只要证 an≤ , 2 只要证 nb 1 1 1+b+ 2+…+ n-1 b b
?

bn+1+1 ≤ 1 2

? 1 1 1 ? 即证 2nb≤(bn+1+1)?1+b+b2+…+bn-1?. ? ? 1 1 1 ? ∵(bn+1+1)?1+b+b2+…+bn-1? ? ?

1 1 1 =bn+1+bn+…+b2+1+b+ 2+ n-1 b b =?b
? ?
n+1



b

n-1?+?b

1 ? ?
? ?

n



b

1 2 n-2?+…+(b +1)≥
?

?

=2nb.
?

[来源:学科网 ZXXK]

? 1 1 1 ? ∴2nb≤(bn+1+1)?1+b+b2+…+bn-1?, ?

从而 2an≤bn+1+1 成立.


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