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2.1.3两条线的直位置关系


北师大必修2·§2.1

2.1.3 两条直线的位置 关系

两条直线平行的判定
y

设两条直线l1,l2 的斜率分别为k1, k2.

l1

l2

O

α1

α2

x

>
结论1:对于两条不重合的直线l1,l2,其 斜率分别为k1,k2,有 l1∥l2 k1=k2.

例题解析
例1 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.

解 : k BA k PQ

3?0 1 ? ? 2 ? ( ?4 ) 2 2?1 1 ? ? ? 1 ? ( ?3 ) 2
P
B

y

Q
O

A

x

? kBA ? kPQ ? BA∥ PQ

例题解析
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状,并给出证明.
y

1 1 解 : k AB ? ? kCD ? ? 2 2 3 3 k BC ? k DA ? 2 2 ? k AB ? kCD , k BC ? k DA

D
C

A
O x

∥ DA ? AB∥CD , BC
因此四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形 .

B

引入新知

两条直线垂直的 判定
设两条直线l1、l2的 倾斜角分别为α1、 α2( α1,α2≠90°).

y l2 l1

O

α1

α2

x

结论2:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有

l1⊥l2

k1k2=-1

例题解析

例3 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3) Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系.

解 : k AB k PQ

6?0 2 ? ? 3 ? (?6) 3 ?6?3 3 ? ?? 6?0 2

? k AB ? kPQ ? -1 ? BA ? PQ

例题解析
例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判 断△ABC的形状.
1 ? ( ?1) 1 解: ? k AB ? ?? 1? 5 2 3?1 k BC ? ?2 2?1 ? k AB ? k BC ? ?1 ? AB ? BC 即?ABC ? 900 因 此?ABC 是 直 角 三 角 形 .
y

C B

O

x

A

北师大必修2·§2.1

【例5】判断下列各对直线是否平行或垂直.

(1)l1:3x+4y+5=0,l2:6x+8y=10;
(2)l1:3x+5y=7,l2:5x+3y=9;

5 3 (3)l1: x ? , l2: x ? ? ; 3 5 (4)l1:x=-2,l2:y=-2.
【审题指导】把(1)(2)化成斜截式,借助k1与k2及b1与b2的 关系作出判断; 把(3)(4)画出草图,借助图形作出判断.

北师大必修2·§2.1

【规范解答】(1)把直线l1、l2分别化为:
3 5 4 4 3 5 l2 : y ? ? x ? . 4 4 3 ? k1 ? k 2 ? ? , 4 5 5 b1 ? ? ? b 2 ? . ∴l1∥l2. 4 4

l1 : y ? ? x ? ,

北师大必修2·§2.1

(2)把直线l1、l2分别化为:
3 7 5 5 5 l2: y ? ? x ? 3. 3 3 5 ? k1 ? ? , k 2 ? ? , 5 3

l1 : y ? ? x ? ,

∴k1≠k2,且k1·k2=1≠-1.

∴l1与l2既不平行也不垂直.

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(3)如图(1)所示: ∵ l1 : x ? , l2 : x ? ? 3 ,
5 5 3

∴两直线的斜率均不存在, ∴l1∥l2或重合.

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(4)如图(2)所示:

∵l1:x=-2,l2:y=-2, ∴l1的斜率不存在,l2的斜率为0,∴l1⊥l2.

课堂小结

北师大必修2·§2.1

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课后作业

本:P79 习题2-1 5. 99页复习二A组6、7、9、10

优化:39--41


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