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2015-2016学年四川省成都七中高一(下)期中数学试卷


2015-2016 学年四川省成都七中高一(下)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 ,则 A=( ) ,a=1,

A.150°B.30° C.60° D.120° 2. (5 分)平面内已知向量 则向量 =( ) ,若向量 与 方向相反,且 ,

A. (2,﹣4) B. (﹣4,2) C. (4,﹣2) D. (﹣2,4) 3. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n﹣1(n∈N*) ,则 a5=( A.242 B.160 C.162 D.486 4. (5 分)若 x>y>0,m>n,则下列不等式正确的是( A.xm>ym B.x﹣m≥y﹣n C. > D. ) ) )

5. (5 分)等差数列{an}中,a4+a7+a9+a12=32,则能求出值的是( A.S12 B.S13 C.S15 D.S14 6. (5 分)△ABC 中,若 sinC=( A.B= B.2b=a+c cosA+sinA)cosB,则( )

C.△ABC 是直角三角形 D.a2=b2+c2 或 2B=A+C 7. (5 分)数列 2014,2015,1,﹣2014,…;从第二项起,每一项都等于它的 前后两项之和,则该数列的前 2015 项之和等于( A.2014 B.2015 C.1 D.0 , ,则 )

8. (5 分)在等腰△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2, 的值为( A. B. ) C. D. sin2x﹣cos2x﹣2m 在[0,

9. (5 分)已知函数 f(x)=

]上有两个零点,则

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m 的取值范围为( A.[ ,1)

) ,1) D. ( ,1]

B. ( ,1] C.[

10. (5 分) 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度:在 C 处(点 C 在水平地面下方,O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进 行该仪器的垂直弹射, 水平地面上两个观察点 A、 B 两地相距 100 米, ∠BAC=60°, 其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠ OAC=15°,A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度 CH 为( )

A.

米 B.



C.



D.



11. (5 分)已知数列{an}的各项都是正数,a1=1,对任意的 k∈N*,a2k﹣1、a2k、 a2k+1 成等比数列,公比为 qk;a2k、a2k+1、a2k+2 成等差数列,公差为 dk,且 d1=2, 则数列{dk}的通项公式为( A. B.k+1 C. D. )

12. (5 分)设 O 是△ABC 的外心,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,已知 b2﹣2b+c2=0,则 A. B. 的范围是( C. ) D.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) 14. (5 分)与向量 = . , 的夹角相等的单位向量是
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15. (5 分)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为( ﹣sin cos ﹣ 的值为 . ,﹣ ) ,∠AOC=α,若|BC|=1,则 cos2

16. (5 分)已知等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,其前 n 项和为 Sn,若 N ≤3Sn﹣ 对 n∈N*恒成立,则 M﹣N 的最小值为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分)已知△OAB 的顶点坐标为 O(0,0) ,A(2,1) ,B(4,﹣3) ,且 = ,点 Q 是直线 OB 上一点. =0,求点 Q 的坐标; 与 夹角为锐角,求 λ 的取值范围. ) ,cos( ) ) ,

(1)若 λ=1,且

(2)如已知点 M(3,2) ,向量

18. (12 分)已知点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2sin(θ﹣ 且| |=| |. )的值; ∈(0, ) ,求 cosθ 的值.

(1)求 tan( (2)若 θ﹣

19. (12 分)已知等比数列{an}的首项 a1=8,公比为 q(q≠1) ,Sn 是数列{an}的 前 n 项和. (1)若 S3,2S4,3S5 成等差数列,求{an}的通项公式 an; (2) 令 bn=log2an, Tn 是数列{bn}的前 n 项和, 若 T3 是数列{Tn}中的唯一最大项, 求的 q 的取值范围.
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20. (12 分) △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 1+ (1)求 A 的大小; (2)若△ABC 为锐角三角形,求函数 y=2sin2B﹣2sinBcosC 的取值范围; (3)现在给出下列三个条件:①a=1;②



;③B=45°,试从中再选

择两个条件以确定△ABC,求出所确定的△ABC 的面积. 21. (12 分)已知数列{an}满足:a1= ,an= bn= . ( n ≥ 2 , n ∈ N* ) ,设

(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 Sn. (x∈N*) .

22. (12 分)数列{xn}的前 n 项和为 Sn,且满足:若 Sn= (1)求数列{xn}的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 {an} 的 各 项 为 正 , 且 满 足 an ≤ a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn< .

, a1=1 , 求 证 :

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2015-2016 学年四川省成都七中高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016 春?成都校级期中)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 ,a=1, ,则 A=( )

A.150°B.30° C.60° D.120° 【考点】正弦定理.
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【专题】计算题;方程思想;综合法;解三角形. 【分析】根据题意和正弦定理求出 sinA 的值,由内角的范围和边角关系求出 A. 【解答】解:△ABC 中,∵ ,a=1, ,

∴由正弦定理得 ∴A=30°或 150°, 又 a<b,∴A=30°, 故选:B.

,则 sinA=

=

= ,

【点评】本题考查正弦定理的简单应用,注意边角关系和内角的范围,属于基础 题.

2. (5 分) (2016 春?成都校级期中)平面内已知向量 方向相反,且 ,则向量 =( )

,若向量 与

A. (2,﹣4) B. (﹣4,2) C. (4,﹣2) D. (﹣2,4) 【考点】平面向量数量积的运算.
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【专题】方程思想;定义法;平面向量及应用. 【分析】 利用向量共线且方向相反设 =x , x<0, 结合长度关系进行求解即可. 【解答】解:∵向量 与 方向相反,
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∴ =x ,x<0, ∵ ∴ , =|x|| |= |x|,

则|x|=2,x=﹣2, 即 =x =﹣2 =﹣2(2,﹣1)=(﹣4,2) , 故选:B 【点评】本题主要考查平行向量的应用,利用向量共线的等价条件,利用待定系 数法是解决本题的关键,比较基础.

3. (5 分) (2016 春?成都校级期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n﹣1(n∈ N*) ,则 a5=( )

A.242 B.160 C.162 D.486 【考点】数列递推式.
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【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用递推关系即可得出. 【解答】解:∵Sn=3n﹣1(n∈N*) , ∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣(3n﹣1﹣1)=2×3n﹣1, 则 a5=2×34=162. 故选:C. 【点评】本题考查了递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

4. (5 分) (2016 春?成都校级期中)若 x>y>0,m>n,则下列不等式正确的是 ( ) D.

A.xm>ym B.x﹣m≥y﹣n C. > 【考点】命题的真假判断与应用.
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【专题】探究型;简易逻辑;推理和证明;不等式. 【分析】利用不等式的基本性质,逐一分析四个答案的真假,可得答案. 【解答】解:∵x>y>0,m>n,∴当 m≤0 时,xm≤ym,故 A 错误;
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当 x=2,y=1,m=3,n=1 时,x﹣m≥y﹣n 不成立,故 B 错误; 当 x=2,y=1,m=3,n=﹣1 时, > 不成立,故 C 错误; ∵x>y>0,∴ 故选:D 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,难度 不大,属于基础题. > ,∴ > ,∴ ,故 D 正确;

5. (5 分) (2016 春?成都校级期中)等差数列{an}中,a4+a7+a9+a12=32,则能求 出值的是( )

A.S12 B.S13 C.S15 D.S14 【考点】等差数列的性质.
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【专题】计算题;规律型;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用已知条件,通过数列的前 n 项和,然后求解即可. 【解答】解:等差数列{an}中,Sn= ,

可得 a4+a12=a7+a9=a1+a15,a4+a7+a9+a12=32,可得 a4+a12=16. S15= 故选:C. 【点评】本题考查等差数列通项公式的求法与应用,考查计算能力. = = =120.

6. (5 分) (2016 秋?鹤壁期末) △ABC 中, 若 sinC= ( A.B= B.2b=a+c

cosA+sinA) cosB, 则 (



C.△ABC 是直角三角形 D.a2=b2+c2 或 2B=A+C 【考点】正弦定理;余弦定理.
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【专题】综合题;分类讨论;综合法;解三角形. 【分析】 根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程,由内角的范围和特 殊角的余弦值分类两种情况讨论,分别化简后可得答案. 【解答】解:△ABC 中,∵C=π﹣(A+B) ,∴sinC=sin(A+B) , 代入 sinC=( cosA+sinA)cosB 得,
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sin(A+B)=(

cosA+sinA)cosB, cosAcosB,①

化简可得,cosAsinB=

∵0<A<π,∴分两种情况讨论, (1)当 cosA≠0 时,①化为 sinB= ∵0<B<π,∴B= ,则 A+C=π﹣B= cosB,则 tanB= =2B; ,

(2)当 cosA=0 时,A=

,则 a2=b2+c2,

综上可得,a2=b2+c2 或 2B=A+C, 故选:D. 【点评】本题考查正弦定理,诱导公式和两角和的正弦公式,及分类讨论思想, 考查化简、变形能力,属于中档题.

7. (5 分) (2016 春?成都校级期中)数列 2014,2015,1,﹣2014,…;从第二 项起, 每一项都等于它的前后两项之和, 则该数列的前 2015 项之和等于 ( A.2014 B.2015
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C.1

D.0

【考点】数列递推式.

【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】数列{an}满足 a1=2014,a2=2015,n≥2 时,an=an﹣1+an+1.可得:数列 2014,2015,1,﹣2014,﹣2015,﹣1,2014,2015,…,因此 an+6=an.即可得 出. 【解答】解:∵数列{an}满足 a1=2014,a2=2015,n≥2 时,an=an﹣1+an+1. ∴数列 2014,2015,1,﹣2014,﹣2015,﹣1,2014,2015,…, ∴an+6=an. ∴S1=2014,S2=4029,S3=4030,S4=2016,S5=1,S6=0,… ∴S2015=S335×6+5=S5=1, 故选:C. 【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

8. (5 分) (2015?高密市模拟) 在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°, AB=AC=2,
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,则 A. B.

的值为( C. D.



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用.

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【分析】将所求利用三角形法则表示为 AB,AC 对应的向量表示,然后利用向量 的乘法运算求值. 【 解 答 】 解 : 由 已 知 得 到
2

=



)(

) =



△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2, 所以上式= 故选:A. 【点评】 本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用,用到了向 量垂直的数量积为 0 的性质. = ;

9. (5 分) (2016 春?厦门校级期末) 已知函数 f (x) = ]上有两个零点,则 m 的取值范围为( A.[ ,1) B. ( ,1] C.[ ,1) ) D. (

sin2x﹣cos2x﹣2m 在[0,

,1]
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【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.

【专题】计算题;函数思想;转化思想;三角函数的图像与性质. 【分析】由题意,利用两角差的正弦函数公式可得 sin(2x﹣ [0, ]时,可求 2x﹣ ∈[﹣ , )=m,利用 x∈

],利用正弦函数的图象即可得解. )﹣2m, , ],

【解答】解:因为 f(x)= 则 sin(2x﹣

sin2x﹣cos2x﹣2m=2sin(2x﹣ ]时,t=2x﹣ ∈[﹣

)=m,当 x∈[0, ,

结合 y=sint,t∈[﹣

]的函数图象知, , ]上有两个交点,

函数 y=h(t)=sint 与直线 y=m 在[

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如图:要使的两个函数图形有两个交点必须使得, ≤m<1. 故选:A.

【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式正弦函数的图象和性质的应用, 属于中档题.

10. (5 分) (2016 春?成都校级期中)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹 射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处(点 C 在水平地面下方,O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC=15°, A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO=30°, 则该仪器的垂直弹射高度 CH 为( )

A.

米 B.


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C.



D.



【考点】解三角形的实际应用.

【专题】综合题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】利用余弦定理求|AC|,再利用正弦定理求仪器的垂直弹射高度 CH. 【解答】解.由题意,设|AC|=x,则|BC|=x﹣40, 在△ABC 内,由余弦定理:|BC|2=|BA|2+|CA|2﹣2|BA|?|CA|?cos∠BAC,
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即(x﹣40)2=x2+10000﹣100x, 解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°, ∠CHA=90°﹣30°=60°, 由正弦定理: 可得|CH|=|AC|? 故选:B. = =140 , 米.

【点评】正弦定理、余弦定理是我们解决三角形问题的常用工具,应注意正确使 用.

11. (5 分) (2016 春?成都校级期中)已知数列{an}的各项都是正数,a1=1,对 任意的 k∈N*,a2k﹣1、a2k、a2k+1 成等比数列,公比为 qk;a2k、a2k+1、a2k+2 成等差 数列,公差为 dk,且 d1=2,则数列{dk}的通项公式为( A. B.k+1 C.
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D.

【考点】数列递推式.

【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】由 a2k﹣1,a2k,a2k+1 成公比为 qk 的等比数列,a2k+1,a2k+2,a2k+3 成公比 为 qk+1 的等比数列,可得:a2k+1=a2kqk,a2k+2=a2k+1qk+1,又 a2k,a2k+1,a2k+2 成等 差数列,可得 2a2k+1=a2k+a2k+2. 可得: , . ,利

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用“累乘求积”即可得出. 【解答】解:∵a2k﹣1,a2k,a2k+1 成公比为 qk 的等比数列,a2k+1,a2k+2,a2k+3 成 公比为 qk+1 的等比数列, ∴a2k+1=a2kqk,a2k+2=a2k+1qk+1, 又∵a2k,a2k+1,a2k+2 成等差数列,∴2a2k+1=a2k+a2k+2. 又 a1>0, d=2, 可求得: q1=2, , ∴ , . ,





, ∴dk=a2k+1﹣a2k=k+1. 故选:B. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系、 “累乘求积”, 考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2016 春?廊坊期末)设 O 是△ABC 的外心,a,b,c 分别为角 A,B, C 对应的边,已知 b2﹣2b+c2=0,则 A. B. C.
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的范围是( D.



【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】综合题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】根据已知条件可画出△ABC 及其外接圆,连接 AO 并延长,交外接圆于 D.所以便得到 cos∠BAD=
2

,cos∠CAD=

,根据数量积得到

=(b﹣ )

﹣ ,而根据 c2=2b ﹣ b2 可求得 b 的范围 0 < b < 2 ,所以求出二次函数 在(0,2)上的范围即可.

【解答】解:O 是△A BC 的三边中垂线的交点,故 O 是三角形外接圆的圆心, 如图所示,延长 AO 交外接圆于 D.AD 是⊙O 的直径, 所以∠ACD=∠ABD=90°,
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, 所以 = 因为 c2=2b﹣b2>0, 所以 0<b<2, 令 所以当 , 时,有最小值

, , ,



因为 f(0)=0,f(2)=2, 所以 所以 故选:B. , 的范围是 .

【点评】 本题考查圆的直径所对的圆周角为 90°, 用直角三角形的边表示余弦值, 以及二次函数值域的求法,注意解题方法的积累,属于中档题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2012?鄞州区模拟) 【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】利用二倍角公式化简分母,降次升角,利用诱导公式化简分子,约分即 可. 【解答】解: = = = =2
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=

2



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故答案为:2 【点评】本题是基础题,解题的关键所在:分母应用二倍角公式:降次升角,考 查计算能力.

14. (5 分) (2016 春?成都校级期中)与向量 的单位向量是 (﹣ ,﹣ )或(
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, ) .

的夹角相等



【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】方程思想;转化法;平面向量及应用. 【分析】设出单位向量,再由向量夹角的公式,根据数量积的坐标表示和模的公 式列出方程,再由单位向量的模为 1,得到方程,解方程即可得到. 【解答】解:设与 则 即有 = = , 夹角相等的单位向量为 =(x,y) , ,

则 x=y,又 x2+y2=1, 得 2x2=1,得 x=﹣ 即有 = 故答案为: (﹣ ,y=﹣ 或 ,﹣ )或( , ) 或 x= ,y= ,

【点评】 本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的夹角公式,以及向量的 模的公式,单位向量的定义,考查运算能力,设出向量坐标建立方程关系是解决 本题的关键. .

15. (5 分) (2015?江西模拟)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为( |BC|=1,则 cos2 ﹣sin cos ﹣ 的值为 ,﹣ . ) ,∠AOC=α,若

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【考点】两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值.

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【分析】 根据三角函数的定义, 结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结 论. 【解答】解:∵点 B 的坐标为( ∴sin(2π﹣θ)=﹣ 即 sinθ= ,cosθ= ,﹣ ) ,设∠A0B=θ ,

,cos(2π﹣θ)= , ,

∵∠AOC=α,若|BC|=1,∴θ+α= 则 α= 则 ﹣θ, ﹣sin ) , cos ﹣ =

cos2

cosα﹣ sinα=cos (α+

) =cos (

﹣θ+



=cos( =sinθ=

故答案为: 【点评】 本题主要考查三角函数的化简和求值,利用三角函数的定义以及三角函 数的辅助角公式是解决本题的关键.

16. (5 分) (2016 春?成都校级期中) 已知等比数列{an}的首项为 , 公比为﹣ , 其前 n 项和为 Sn, 若 N≤3Sn﹣ 【考点】等比数列的前 n 项和.
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对 n∈N*恒成立, 则 M﹣N 的最小值为



【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】先利用等比数列的求和公式求出 Sn,求出 Sn 的范围,确定 3Sn﹣ ,

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求出最小值、最大值,即可求出 M﹣N 的最小值. 【解答】解:∵等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,

∴Sn=

=1﹣(﹣ )n,

令 t=(﹣ )n,则﹣ ≤t≤ ,Sn=1﹣t, ∴ ≤Sn≤ ∵3Sn﹣ 的最小值为 ,最大值为 , = ,

∴对任意 n∈N*恒成立,则 M﹣N 的最小值 ﹣ 故答案为:

【点评】本题考查等比数列的求和公式,考查函数的单调性,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分) (2016 春?成都校级期中)已知△OAB 的顶点坐标为 O(0,0) ,A (2,1) ,B(4,﹣3) ,且 (1)若 λ=1,且 = ,点 Q 是直线 OB 上一点.

=0,求点 Q 的坐标; 与 夹角为锐角,求 λ 的取值范围.
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(2)如已知点 M(3,2) ,向量

【考点】平面向量数量积的运算;函数最值的应用.

【专题】综合题;方程思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】 (1) 由已知求出 P 的坐标,再由向量垂直的坐标运算求得点 Q 的坐标; (2)由 = ,把 P 的坐标用含有 λ 的代数式表示,结合向量 与 夹角为

锐角求出 λ 的范围,去掉共线的情况得答案. 【解答】解: (1)当 λ=1 时,得 ∵A(2,1) ,B(4,﹣3) ,
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,设 P(x1,y1) ,

∴ 由 ,得 ,解得

, ,

∴P(3,﹣1) , 设 Q(x2,y2) ,则 由 ,

=0,得 3(x2﹣3)﹣y2﹣1=0,

即 3x2﹣y2﹣10=0,① 由 ,得﹣3x2﹣4y2=0,②

联立①②,解得:



∴Q(

) ; ,

(2)由(1)得 又 = ,∴(x1﹣2,y1﹣1)=λ(4﹣x1,﹣3﹣y1) ,



,则



∴P(

) , 与 夹角为锐角, 或 λ>﹣1. ,即 , 的 取 值 范 围 为

又点 M(3,2) ,且向量 ∴ 当向量 与 共线时,得 与

,解得

∴ 当 向 量

夹 角 为 锐 角 时 , λ .

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【点评】本题考查平面向量的数量积运算,在平面向量与函数的综合问题中,向 量的数量积、 向量的平行及向量的垂直一般是作为转化的基本工具,最后转化为 方程或不等式求解,是中档题.

18. (12 分) (2016 春?成都校级期中)已知点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2sin(θ ﹣ ) ,cos( ) ) ,且| )的值; ∈(0, ) ,求 cosθ 的值.
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|=|

|.

(1)求 tan( (2)若 θ﹣

【考点】同角三角函数基本关系的运用;平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】 (1)由条件利用两点间的距离公式求得 tan( (2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin(θ﹣ 的值,再利用两角和差的余弦公式求得 cosθ=cos[(θ﹣ 【解答】解: (1)∵点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2sin(θ﹣ 且| ∴ 化简可得 2sin(θ﹣ )=cos(θ﹣ |=| |, = ) ,

)的值. )和 cos(θ﹣ )+ ]=的值. ) ) , )

) ,cos(



∴tan(

)=

= .

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(2) ∵θ﹣ 求得 sin(θ﹣

∈ (0, )= )+

) , 由 (1 ) 的结果结合 ,cos(θ﹣ ]=cos(θ﹣ )= )cos , ﹣sin(θ﹣

+

=1,

∴cosθ=cos[(θ﹣ ﹣ = .

)sin

=

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两点间的距离公式,两角差的 余弦公式的应用,属于基础题.

19. (12 分) (2016 春?瓦房店市期末)已知等比数列{an}的首项 a1=8,公比为 q (q≠1) ,Sn 是数列{an}的前 n 项和. (1)若 S3,2S4,3S5 成等差数列,求{an}的通项公式 an; (2) 令 bn=log2an, Tn 是数列{bn}的前 n 项和, 若 T3 是数列{Tn}中的唯一最大项, 求的 q 的取值范围. 【考点】数列的求和;数列递推式.
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【专题】计算题;方程思想;转化思想;函数的性质及应用;等差数列与等比数 列. 【分析】 (1 ) 由题意知 S3+3S5=2?2S4, 从而可得 = , 从而求得 an=8? = ;

(2) 化简 bn=log2an=3﹣log2q+nlog2q, 从而由等差数列的性质可得 b3>0, b4<0, 从而解得. 【解答】解: (1)∵S3,2S4,3S5 成等差数列, ∴S3+3S5=2?2S4, ∴3(a4+a5)=4a4, ∴ = ,

故等比数列{an}的首项为 8,公比为 , 故 an=8? = ;

(2)bn=log2an=log2(8?qn﹣1)=3﹣log2q+nlog2q,
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∵T3 是数列{Tn}中的唯一最大项, ∴b3=3﹣log2q+3log2q>0,b4=3﹣log2q+4log2q<0, ∴﹣ <log2q<﹣1, ∴ <q< .

【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用,同时考查了方程 思想与转化思想的应用.

20. (12 分) (2016 春?成都校级期中)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,1+ (1)求 A 的大小; (2)若△ABC 为锐角三角形,求函数 y=2sin2B﹣2sinBcosC 的取值范围; (3)现在给出下列三个条件:①a=1;② ;③B=45°,试从中再选 .

择两个条件以确定△ABC,求出所确定的△ABC 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理.
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【专题】综合题;函数思想;综合法;解三角形. 【分析】 (1)根据切化弦、两角和的正弦公式和诱导公式化简已知的式子,由特 殊角的三角函数值求出 A; (2)由(1)和内角和定理表示出 C,代入解析式利用二倍角公式,两角和与差 和公式化简, 根据锐角三角形列出不等式组求出 B 的范围, 由正弦函数的性质求 出函数的值域; (3)方案一:选择①②,由条件和余弦定理列出方程求出 b 的值,代入三角形 的面积公式求解即可; 方案二:选择①③,由内角和定理和正弦定理分别求出 C、c,入三角形的面积 公式求解即可. 【解答】解: (1)由题意得, 由正弦定理得, 因为 ,则 sin( A+B)=sinC, , ,

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所以 又 0<A<π,则 A= (2)因为 则 = = = = ,

,得 …3 分; ,所以







又△ABC 为锐角三角形,则



解得 所以 所以

,即 ,



…7 分;

(3)方案一:选择①②,可确定△A BC, 因为 A=30°,a=1, 由余弦定理得: 整理得:b2=2, 所以 方案二:选择①③,可确定△A BC, 因为 A=30°,B=45°,则 C=105°, 又 由正弦定理 所以 …10 分 …12 分 , , , , ,

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用,两角和与差的公式、二倍角
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公式的应用,以及正弦函数的性质,注意锐角角的范围,考查化简、变形能力, 属于中档题.

21. (12 分) (2016 春?成都校级期中) 已知数列{an}满足: a 1= , an= (n≥2,n∈N*) ,设 bn= .

(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 Sn.
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【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

【专题】计算题;整体思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1) 通过代入化简可知 bn=﹣2bn﹣1 (n≥2 ) , 然后验证当 n=1 是否成立, 进而计算可得结论; (2)通过(1)可知 【解答】 (1)证明:由 , , 所以 bn=﹣2bn﹣1 (n≥2 ) , 又 所以 , (n≥2 ) , (n≥2 ) , ,进而利用错位相减法计算即得结论. (n≥2,n∈N* ) ,得:

所以数列{bn} 是等比数列, 又∵b1=3, ∴ (n∈N* ) , ,

(n∈N* ) ;

(2)解:由(1)可知 ∴

, ,
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两式相减, 故 .



【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查错位相减法,注意解题方法的积 累,属于中档题.

22. (12 分) (2016 春?成都校级期中)数列{xn}的前 n 项和为 Sn,且满足:若 Sn= (x∈N*) .

(1)求数列{xn}的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 {an} 的 各 项 为 正 , 且 满 足 an ≤ a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn< . 【考点】数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式.
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, a1=1 , 求 证 :

【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)利用递推关系即可得出. (2) , 而 an>0, xn>0, k 可得 , ,再利用等比数列的求和公

利用“累加求和”方法可得 式可得: .进而得出. …①,得: …②, (n≥2 ) ,∴ ,而 an>0,xn>0, , ,

【解答】解: (1)由 当 n≥2 时, ①﹣②可得: (2)

,x1=1≠0.



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∵a1=1, . 设 Sn=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn



, ,



当 n=1 时, 当 n≥3 时,

当 n=2 时,



. 【点评】本题考查了数列的递推关系、“累加求和”、“裂项求和”方法、等比数列 的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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参与本试卷答题和审题的老师有: gongjy;maths;沂蒙松;豫汝王世崇;qiss; changq;海燕;lcb001;whgcn;sxs123;caoqz;炫晨;cst(排名不分先后) 菁优网 2017 年 5 月 5 日

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