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湖北省襄阳2012-2013学年高二上学期期中考试数学理科试题


2012—2013 学年上学期高二期中考试 数学(理科)试题
时间:120 分钟 分值:150 分

第Ⅰ卷(50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 用辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数,需要做除法的次数是( ) A.5

1 B.2 C.3 D.4 2. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学生中抽取的人数为 7, 那么从高三学生中抽取的人数应为( A. 10 B . 9 ) C.8 D.7

3. 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ~ B(n, p ) 且 E (? ) ? 3, D(? ) ? 2 ,则 n 与 p 的值分别为 ( A. 9, ) B. 9,

2 3

1 3
5
6

C. 12,

2 3
5 6 1 5

D. 12,

1 3
)
5 C A5 2 6

4.六件不同的奖品送给 5 个人, 每人至少一件,不同的分法种数是 ( A. C
4 5

B.

C . A .A

D.

5.如图是将二进制数 11111(2)化为十进制数的一个程序框图, 判断框内应填入的条件是( ) A.i≤5 B.i≤4 C.i>5

D.i>4

第 6 题图

6.为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度,随机选取了 8 天,统计上午 8:00-10:00 的点击 量。茎叶图如图,设甲、乙的中位数分别为 x1 , x2 ,方差分别为 D1 , D2 ,则( ) A. x1 ? x2 , D1 ? D2 B. x1 ? x2 , D1 ? D2

C. x1 ? x2 , D1 ? D2

D. x1 ? x2 , D1 ? D2

7.学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响, 经过统计, 得到一个卖出饮料数与当天气温 的对比表: 摄氏温度 饮料瓶数 -1 3 3 40 8 52 12 72 17 122

? y ? ? 根据上表可得回归方程 ? ? bx ? a 中的 b 为 6, 据此模型预测气温为 30℃时销售饮料瓶数为 ) (
A. 141 B. 191 C. 211 D. 241

8. 高二年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起(指演 讲序号相连) ,而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: ( A. ) D.

1 10

B.

1 20
)

C.

1 40

1 120

9.下列命题中是错误命题的个数有(

①A、B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ②若事件 A、B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件 ③A、B 为两个事件, p( A | B) ? P( B | A) ④若 A、B 为相互独立事件,则 p( AB) ? P( A) P( B) A.0 B.1
2

C.2

D.3

? 10. 已 知 函 数 f ( x)

( x ? 4 x 集 ,合 M ? { ( x , y ) f ? x ) ? 3
) C. 50

f?(y ) 集 0 } , 合

N ? { (x , y ) f ?x ) (
A.12

f?(y ) 0 } ,则若在集合 M 所表示的区域内撒 100 颗黄豆,落在集合
B.25 D. 75

M ? N 所表示的区域的黄豆约有多少(

第Ⅱ卷(100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卷中对应题号后的 横线上。 11. 在运行下面的程序之后输出 y=16, 输入 x 的值应该是 。 ( 12. 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (0,1) ,

P(? ? 1) ?

1 ,则 P (?1 ? ? ? 1) ? _____。 4
2 2

13.点 P(4,-2)与圆 x ? y ? 4 上任一点连线的 中点的轨迹方程是 _____。

14. 数阵满足: (1)第一行的 n 个数分别是 1,3,5,…, 2n 一 1; (2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两个 数之和; (3)数阵共有 n 行. 则第 5 行的第 7 个数是_____ 15.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12,这 样就可得到一个新的实数 a 2 ,对 a 2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数 a 3 , 当 a 3 ? a1 时,甲获胜,否则乙获胜。若甲获胜的概率为

3 ,则 a1 的取值范围是_____。 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分) 某市四所重点中学进行高二期中联考,共有 5000 名学生参加,为了了解数学学科的学习情 况,现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表: 分组 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 合计 12 36 频数 ① 频率 ② 0.050 0.200 0.300 0.275 ③ 0.050 ④
成绩 (分) 频率/组距

(1)根据上面的频率分布表,推出①,②,③,④处的数字分别为,____ ,____ ,____ , ____ ; (2)在所给的坐标系中画出 [80 ,150] 上的频率分布直方图; (3)根据题中的信息估计总体:①120 分及以上的学生人数; ②成绩在 [126 ,150] 中的概率。 17. (本小题满分 12 分)
2 2 已知圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A,B 两点.

(1)求弦 AB 的长; (2)若圆 C 2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,且圆 C 2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 求圆 C 2 的方程.

18(本题满分 12 分)已知 A 5 ? 56C7 ,且(1-2x) =a0+a1x+a2x +a3x +……+anx . n n
n
2 3

n

(1)求 n 的值; (2)求 a1+a2+a3+……+an 的值; (3)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项。

19.(本小题满分 12 分) 某校要组建篮球队,需要在各班选拔预备队员,规定投篮成绩一级的可作为入围选手,选拔 过程中每人最多投篮 5 次, 且规定在确认已经入围后则不必再投篮. 若投中 2 次则确定为二 级,若投中 3 次可确定为一级. 已知根据以往的技术统计,某班同学王明每次投篮投中的概 率是

2 ,每次投篮结果互不影响. 3

⑴ 求王明投篮 3 次才被确定为二级的概率; ⑵ 现在已知王明已经入围, 在此条件下求他实际投篮 5 次才入围的概率。 20.(本小题满分 13 分) 形状如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形,M、N 分别是所在边中点,图(2) 是半径分别为 2 和 4 的两个同心圆,O 为圆心,图(3)是正六边形,点 P 为其中心)各有一 个玻璃小球,依次摇动三个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏.

(1)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少? (2)用随机变量 ? 表示一局游戏后,小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分 的事件数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

21.(本小题满分 14 分) 过点 A(0,1) ,且 斜率为k的直线l与 ? C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,相交于 M、N 两个不
2 2

同点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 .

???? ???? ?

2012—2013 学年上学期高二期中考试 数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 C 2 A 3 B 4 D 5 D 6 D 7 B 8 B 9 D 10 C

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 5 或-5 13. 15. 12. 14.

1 2
272

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

? ??,

12? ? ? 24, ? ? ?

三、解答题 16.解: (1)圆心到直线 l 的距离 d ?

5 ,????????????2分 5

所以 | AB |? 2 1 ?

1 4 5 ? . ?????????????4 分 5 5
2 2

(2)设圆 C 2 的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 则公共弦所在的直线方程为: ( D ? 2) x ? ( E ? 2) y ? F ? 0 , 所以

D?2 E?4 即 D ? 2E ? 6 .?????????6分 ? 2 1

?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0, ? D ? 6, ? ? ? ? E ? 0, 又因为圆 C 2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,所以 ? 16 ? 4 E ? F ? 0, ? ? F ? ?16. D ? 2 E ? 6, ? ?
所以圆 C 2 的方程为 x ? y ? 6 x ? 16 ? 0 .?????????12 分
2 2

17.解(1)①,②,③,④处的数字分别为 3 , 0.025 , 0.100 , 1 ;??4 分 (2) 频率/组


成绩 (分)

????8 分

(3)①(0.275+0.100+0.050)×5000=2125 ????????10 分 ② P=0.4×0.275+0.10+0.050=0.260 ?????????????????12 分 18.解: (1)由 An ? 56Cn 得,
5 7

n! n! ? 56 5! 7!(n ? 7)!

??????2 分

? (n ? 5)(n ? 6) ? 90
故 n=15 或 n=-4(舍) (2)当 n=15 时, (1 ? x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? .... ? a15 x
15 2

??????4 分

15

令x=1得:a 0 ? a1 ? a2 ? ... ? a15 ? ?1 令x=0得:a 0 ? 1 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a15 ? ?2
(3)设第 r 项系数绝对值最大,则 ??????6 分

Tr ?1 ? Tr 且Tr ?1 ? Tr ? 2

??????8 分

32 3 29 r r C15 2r ? C15?1 2r ?1 ? r ? 3
r r C15 2r ? C15?1 2r ?1 ? r ?

??????10 分

故系数绝对值最大的项为第 11 项

??????12 分

1 19: 解:⑴ 设王明投篮 3 次才被确定为二级为事件 A , P( A) ? C2 ? ( )2 ?

2 3

1 8 . ? 3 27

-----------------4 分 ⑵ 设王明入围为事件 B ,他投篮 5 次为事件 C .

1 2 1 4 2 1 64 -------------------7 分 ? ( ) ? C52 ( ) 2 ? ( )3 ] ? 3 3 3 3 3 81 1 2 16 2 2 ---------------10 分 P( B ? C ) ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? 3 3 3 81 P( B ? C ) 1 所以 P(C | B) ? ----------------------------12 分 ? P( B) 4
0 1 则 P( B) ? 1 ? [C5 ( )5 ? C5

(式子列对,计算错误,酌情扣 1 分) 20.解:(1)“一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件 A1、A2、A3,

由题意知,A1、A2、A3 互相独立,且 P(A1)

,P(A2)

,P(A3)

, ?3 分

P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2) P(A3)

×

×

?6 分

(2)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是 0,1,2,3,相应的 小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为 3,2,1,0,所以ξ可能的取值为 1,3, 则 ?8 分

P(ξ=3)= P(A1 A2 A3)+ P(

)=P(A1) P(A2) P(A3)+ P(

) P(

)P(

)

×

×

+

×

×



? 10 分

P(ξ=1)=1-

=



?11 分

所以分布列为 ξ 1 3

P

数学期望 Eξ=1×

+3×

=



?13 分

21.解: (1)?直线l过点(0,1)且斜率为k , ?直线l的方程为y ? kx ? 1 ????????2 分 2k ? 3 ? 1 ? 1, 得 由 k 2 ?1 4? 7 4? 7 ?k? ????????6 分 3 3 (2)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得

(1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 ????????11 分 4(1+k 2 ) 7 ? x1 +x2 = , x1 x2 ? ????????12 2 1? k 1? k 2 ???? ???? ? 4k(1+k ) ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 1? k 2 4k(1+k ) ? ? 4, 解得k ? 1 又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 ????????14 分 1? k 2


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