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必修1.1.2.1函数的概念


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§必修 1.1.2.1
教学目标

函数的概念

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.会使用区间表示某些特定的集合. 3.理解函数的定义.

学习内容

知识梳理
1.回顾初中 形如 y=kx+b(k≠0)的函数

叫一次函数, 其中 x 叫自变量, 与 x 对应的 y 的值叫函数值, 它的图象为一条倾斜直线. 形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数,它的图象为抛物线. 2.函数的概念 一般地,设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中 都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么 f:A→B 就称为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫 做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 的值域. 例如:正方形边长为 x,与 x 的值相对应的面积为 y,把 y 表示为 x 的函数:y=x2;该函数的定义域为{x|x>0}; 值域为{y|y>0};当边长为 4 的时候,面积为 16;当面积为 4 的时候,相应的边长为 2 . 3.区间 设 a,b∈R,且 a<b. (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b). (3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b)或(a,b]. (4)实数集 R 用区间表示为(-∞,+∞). (5)把满足 x≥a,x>a,x≤a,x<a 的全体实数 x 的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,a],(-∞,a).

4.函数的三要素(部分教材为二要素)

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中国教育培训领军品牌 函数的定义含有三个要素,它们分别是:定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法 则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义 域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数. 5.常见问题 1)怎样检验两个变量之间是否具有函数关系? 解析:由函数近代定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:①定义域和对应关系是否给 出且定义域为非空数集;②根据给出的对应关系,自变量在其定义域内任一个值,是否都能确定唯一的函数值. 2)函数 f(x)与 f(a)(a 是常数)有什么区别与联系? 解析:由 f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量,而 f(x)是自变量 x 的函数,在一般情况下,它是一个变量, f(a)是 f(x)的一个特殊值。 3)如何认识集合{x|a≤x≤b}与区间[a,b]的区别? 解析:区间[a,b]一定是无限集,且隐含 a<b,集合{x|a≤x≤b}中对实数,a,b 大小关系无限制条件. 当 a=b 时,{x|a≤x≤b}={a}是单元素集:当 a>b 时,{x|a≤x≤b}=?,这两种情况均不能用区间[a,b]表示.

例题讲解

题型一
例1

函数概念的理解

下列对应关系是否为 A 到 B 的函数? (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=R,B=Z,f:x→y=; (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0.

解析:(1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素,故不是 A 到 B 的函数; (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x, 按照对应关系 f: x→y=x2, 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应, 故是集合 A 到集合 B 的函数; (3)A 中元素负数没有平方根,故在 B 中没有对应的元素且不一定为整数,故此对应关系不是 A 到 B 的函数; (4)对于集合 A 中任意一个实数 x,按照对应关系 f:x→y=0,在集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应,故 是集合 A 到集合 B 的函数. 点评:判断所给对应是否是函数,首先观察两个集合 A,B 是否是非空集合(数集),其次验证对应关系下,集合 A 中数 x 的任意性,集合 B 中数 y 的唯一性. 全力以赴赢在环雅

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巩固

若集合 A={x|0≤x≤2}, B={y|0≤y≤3}, 则下列图形给出的对应中能构成从 A 到 B 的函数 f: A→B 的是(

)

解析:A 中的对应不满足函数的存在性,即存在 x∈A,但 B 中无与之对应的 y;B、C 均不满足函数的唯一性,只 有 D 正确. 答案:D

题型二
例2

“f”的含义及函数值的问题

已知 f(x)=x2-6x. (1)求 f(2),f(a+1)的值; (2)若 f(x)=-5,求 x 的值.

解析:(1)f(2)=22-6× 2=-8,

f(a+1)=(a+1)2-6(a+1)=a2-4a-5. (2)f(x)=x2-6x=-5?x=1 或 x=5.
点评:(1)在函数 y=f(x)中,x 为自变量,f 为对应关系,f(x)是对应关系 f 下 x 对应的函数值,所以求函数值时,只 需将 f(x)的 x 用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可; (2)求 f[f(x)]时,一般应遵循由里到外的原则.

巩固

已知 f(x)=(x∈R 且 x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).求:

(1)f(2)、g(2)的值;
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(2)f[g(2)]的值; (3)f[g(x)]的解析式.

分析:依函数的定义可知,该题是给定自变量和对应关系求函数值,分别将自变量的值代入解析式中的 x 即可求 解. 解析:

题型三
例3

求函数的定义域

求下列函数的定义域: 1 (1)y=3- x; 2 -x (3)y= 2 ; 2x -3x-2 3 (2)y= ; 1- 1-x (4)y= 2x+3- 1 1 + . 2-x x

1 解析:(1)函数 y=3- x 的定义域为 R; 2
?x≤1 ?1-x≥0, (2)要使函数有意义,需? ?? ?x≤1 且 x≠0, ?x≠0 ?1- 1-x≠0

3 所以函数 y= 的定义域为{x|x≤1 且 x≠0}=(-∞,0)∪(0,1]; 1- 1-x
? ?-x≥0, (3)要使函数有意义,需? 2 ?2x -3x-2≠0 ?

x≤0, ? ? 1 ?? 1 ?x≤0 且 x≠-2. ? ?x≠2且x≠-2 -x 故函数 y= 2 的定义域为 2x -3x-2 1? 1 1 ? ?x|x≤0且x≠- ?=?-∞,- ?∪?- ,0?; 2? ? 2? ? 2 ? ?

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中国教育培训领军品牌 2x+3≥0, ? ? (4)要使函数有意义,需?2-x>0, ? ?x≠0. 3 解得- ≤x<2 且 x≠0, 2 所以函数 y= 2x+3- 1 1 + 的定义域为 2-x x

3 3 ? ? ?x|- ≤x<2且x≠0?=?- ,0?∪(0,2). 2 ? ? ? ? 2 点评:求函数定义域的原则:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;(3)零指数幂的底 数不等于零等.

巩固

求下列函数的定义域: ?x+1?0 6 (1)f(x)= 2 ; (2)f(x)= 3x-1+ 1-2x+4;(3)f(x)= . x -3x+2 |x|-x 解析:(1)由 x2-3x+2≠0, 得:x≠1,x≠2 6 ∴f(x)= 2 的定义域是{x∈R|x≠1 且 x≠2}. x -3x+2
? ?3x-1≥0 1 1 (2)由? ,得 ≤x≤ . 3 2 ?1-2x≥0 ?

1 1? ∴f(x)= 3x-1+ 1-2x+4 的定义域是? ?3,2?.
? ? ?x+1≠0 ?x≠-1 (3)由? ,得? ∴x<0 且 x≠-1, ?|x|-x≠0 ?|x|≠x, ? ?

∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠-1}.

题型四
例4

两函数相同的判定
x2-4 3 (2)f(t)=t,g(x)= x3;(3)f(x)= ,g(x)=x+2. x-2

下列各题中两个函数是否表示同一函数:

(1)f(x)=x,g(x)=( x)2;

解析:(1)f(x)的定义域为 R, g(x)的定义域为{x|x≥0}, 两个函数的定义域不同,故不是同一函数. (2)g(x)=x,两者的定义域和对应法则相同,故是同一函数. (3)f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞), g(x)的定义域为 R,故不是同一函数. 全力以赴赢在环雅

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中国教育培训领军品牌 点评:只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,这就是说: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应法则不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确 定函数的对应法则; (4)两个函数是否相同,与自变量是什么字母无关.

巩固

试判断下列函数是否为同一函数:

(1)f(x)= x· x+1与 g(x)= x?x+1?; (2)f(x)=x2-2x 与 g(t)=t2-2t; (3)f(x)=1 与 g(x)=x0(x≠0).

解析: (2)是,(1)、(3)不是. 对于(1),f(x)的定义域为[0,+∞), 而 g(x)定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞). (3)也是定义域不同.

综合题库

A组 1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( )

答案:D 全力以赴赢在环雅

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2.下列各组函数表示同一函数的是( x2-9 A.y= 与 y=x+3 x-3 B.y= x2-1 与 y=x-1 C.y=x0(x≠0)与 y=1(x≠0) D.y=2x+1,x∈Z 与 y=2x-1,x∈Z

)

答案:C

3.给出四个命题: ①函数就是定义域到值域的对应关系;②若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个元素;③因为 f(x) =5(x∈R), 这个函数值不随 x 的变化而变化, 所以 f(0)=5 也成立; ④定义域和对应关系确定后, 函数值域也就确定了. 以上命题正确的有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

答案:D B组 1 的定义域为( x+1

1.函数 y=

)

A.(-∞,-1]

B.(-∞,-1)

C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)

答案:D

2.设函数 f(x)=x2-3x+1,则 f(a)-f(-a)=( A.0 B.-6a C.2a2+2 D.2a2-6a+2

)

答案:B

3.下列用表给出的函数关系中,当 x=6 时,对应的函数值 y 等于(

)

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中国教育培训领军品牌 x y A.2 B.3 C.4 D.无法确定 0<x≤1 1 1<x≤5 2 5<x≤10 3 x>10 4

答案:B

4.函数 y=-3x+1,x∈[-1,1]的值域为________.

答案:[-2,4]

5.函数 y=

x+1 的定义域为________. x

解析:利用解不等式组的方法求解.
?x+1≥0, ?x≥-1, ? ? 要使函数有意义,需? 解得? ? ? ?x≠0. ?x≠0.

∴原函数的定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. 答案:{x|x≥-1 且 x≠0}

?x+4?x<0?, ? 6.已知 f(x)=? 则 f[f(-3)]的值为________. ? ?x-4?x>0?,

解析:f(-3)=-3+4=1,f(f(-3))=f(1)=1-4=-3. 答案:-3 C组 1.已知集合 P={x|-4≤x≤4},Q={y|-2≤y≤2},下列函数不表示从 P 到 Q 的函数的是( 1 A.2y=xB.y2= (x+4) 2 1 C.y= x2-2 D.x2=-8y 4 )

答案:B 2. 已知函数 f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2-6x+2, 其中 x∈R, a, b 为常数, 则方程 f(ax+b)=0 的解集为____________.

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中国教育培训领军品牌 b =9, ? ? 2 2 解析:f(bx)=(bx) +2bx+a=9x -6x+2??2b=-6, ? ?a=2,
2

? ?a=2, ?? ?b=-3. ?

∴f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2, f(ax+b)=0,即为 4x2-8x+5=0,而 Δ<0,故方程 f(ax+b)=0 的解集为?. 答案:?

3.求下列函数的值域: (1)y=x+1,x∈{2,3,4,5,6}; (2)y= x+1; (3)y=x2-4x+6.

解析:(1){3,4,5,6,7}. (2)∵ x≥0,∴y≥1,故值域为{y|y≥1}. (3)∵y=x2-4x+6=(x-2)2+2, 而(x-2)2≥0,∴y≥2,故值域为{y|y≥2}. x2 4.已知函数 f(x)= . 1+x2 1? ?1? (1)求 f(2)+f? ?2?,f(3)+f?3?的值; 1? (2)求证 f(x)+f? ?x?是定值; 1? ?1? ? 1 ? (3)求 f(2)+f? ?2?+f(3)+f?3?+?+f(2 012)+f?2 012?的值. x2 解析:(1)∵f(x)= , 1+x2

?1?2 2 ?2? 1 2 ? ∴f(2)+f? ?2?=1+22+ ?1?2=1, 1+?2? ?1?2 2 1 ?= 3 2+ ?3? =1. f(3)+f? ?3? 1+3 1?2 1+? ?3? ?1?2 2 ? x? 1 x x2 ?= (2)证明:f(x)+f? = + 2+ ?x? 1+x 1?2 1+x2 1+? ?x ?
x2+1 1 = 2 =1. x +1 x +1
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中国教育培训领军品牌 1? (3)由(2)知,f(x)+f? ?x?=1, 1? ∴f(2)+f? ?2?=1, 1? f(3)+f? ?3?=1, 1? f(4)+f? ?4?=1, ? 1 ? f(2 012)+f? ?2 012?=1, 1? ?1? ? 1 ? ∴f(2)+f? ?2?+f(3)+f?3?+?+f(2 012)+f?2 012?=2 011.

5.已知 f(x)的定义域为(0,1],求 g(x)=f(x+a)· f(x-a) (a≤0)的定义域.
?0<x+a≤1, ? 解析:由已知得? ?0<x-a≤1, ?

即?

?-a<x≤1-a, ? ? ?a<x≤1+a,

(a≤0)

用数轴法,讨论(1)当 a=0 时,x∈(0,1]; 1 (2)当 a≤- 时,x∈?,即函数不存在; 2 1 (3)当- <a<0 时,x∈(-a,1+a]. 2

归纳总结
1.“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”. 2.函数符合“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,f(x)是一个数,而不是 f 乘 x. 3.构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域. 4.函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值,包括变成其他字母,这是函数抽象的重要原因. 5.函数的定义域包含三种形式: (1)自然型.指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数 为非负数,等等). (2)限制型.指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比 较隐蔽,容易犯错误. (3)实际型.解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考查自变量 x 的实际意义.

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