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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(13)导数在研究函数中的应用B


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课时作业(十三)B [第 13 讲 导数在研究函数中的应用]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 K13-4 所 示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有

极小值点( )

图 K13-4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. 设 f(x),g(x)是 R 上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为 f(x),g(x)的导函数,且满 足 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( ) A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 3.如图 K13-5,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 匀速旋转(旋转角度不超 过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图象大致是( )

图 K13-5

图 K13-6 4. 满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 x1,x2(x1≠x2).|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立” 的函数叫 Ω 函数,则下面四个函数中,属于 Ω 函数的是( ) 1 A.f(x)= B.f(x)=|x| x C.f(x)=2x D.f(x)=x2 能力提升 5.图 K13-7 中三条曲线给出了三个函数的图象,一条表示汽车位移函数 s(t),一条表 示汽车速度函数 v(t),一条是汽车加速度函数 a(t),则( )

图 K13-7 A.曲线 a 是 s(t)的图象,b 是 v(t)的图象,c 是 a(t)的图象 B.曲线 b 是 s(t)的图象,a 是 v(t)的图象,c 是 a(t)的图象
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C.曲线 a 是 s(t)的图象,c 是 v(t)的图象,b 是 a(t)的图象 D.曲线 c 是 s(t)的图象,b 是 v(t)的图象,a 是 a(t)的图象 - 6.设 a∈R,函数 f(x)=ex+a· e x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x) 3 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为( ) 2 A.ln2 B.-ln2 -ln2 ln2 C. D. 2 2 7.f(x)是定义在 R 上的可导函数,且对任意 x 满足 xf′(x)+f(x)>0,则对任意的实数 a, b 有( ) A.a>b?af(b)>bf(a) B.a>b?af(b)<bf(a) C.a>b?af(a)<bf(b) D.a>b?bf(b)<af(a) 8.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,若 f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则 a2+b2 的取值 范围是( ) 9 ? ? 9? A.? ?4,+∞? B.?0,4? 9 ? ? 9? C.? ?5,+∞? D.?0,5? 2x+1 9.对函数 f(x)= 2 ,下列说法正确的是( ) x +2 1 A.函数有极小值 f(-2)=- ,极大值 f(1)=1 2 1 B.函数有极大值 f(-2)=- ,极小值 f(1)=1 2 1 C.函数有极小值 f(-2)=- ,无极大值 2 D.函数有极大值 f(1)=1,无极小值 10.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大值是________. 4π? ? 5π? 11. 已知函数 f(x)=xsinx, x∈R, f(-4), f? f?- 4 ?的大小关系为____________(用 ? 3 ?, “<”连接). 12.已知函数 f(x)=(x2-3x+3)· ex,设 t>-2,函数 f(x)在[-2,t]上为单调函数时,t 的 取值范围是________. 13.已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值 区间.若 g(x)=x+m-lnx 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为________. 14.(10 分)已知函数 f(x)=ex-x(e 为自然对数的底数). (1)求 f(x)的最小值; ? 1 ? ≤x≤2 ?且 M∩P≠?, (2)不等式 f(x)>ax 的解集为 P, 若 M=?x? 求实数 a 的取值范围; ? ?2 ? ﹡ (3)已知 n∈N ,且 Sn=?n[f(x)+x]dx(t 为常数,t≥0),是否存在等比数列{bn},使得 b1

?t

+b2+?+bn=Sn?若存在,请求出数列{bn}的通项公式;若不存在,请说明理由.

1 15.(13 分) 设 f(x)= x3+mx2+nx. 3 (1)如果 g(x)=f′(x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5,求 f(x)的解析式;
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(2)如果 m+n<10(m, n∈N+), f(x)的单调递减区间的长度是正整数, 试求 m 和 n 的值. (注: 区间(a,b)的长度为 b-a)

难点突破 1 1 16.(12 分) 设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

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课时作业(十三)B 【基础热身】 1.A [解析] 函数在极小值点附近的图象应有先减后增的特点,因此应该在导函数的 图象上找从 x 轴下方变为 x 轴上方的点,这样的点只有 1 个,所以函数 f(x)在开区间(a,b) 内只有 1 个极小值点,故选 A. 2.C [解析] ∵f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′<0,∴f(x)g(x)为减函数,又∵a<x<b, ∴f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b). 3.D [解析] 选项 A 表示面积的增速是常数,与实际不符;选项 B 表示最后时段面积 的增速较快,也与实际不符;选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快, 与实际不符;选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快. ?f?x2?-f?x1??<1,即 Ω 函数是指对于区间(1,2) 4.A [解析] ∵|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,∴? ? ? x2-x1 ? 1? 1 上,曲线上任意两点连线的斜率均在(-1,1)内,对于 A,f′(x)=- 2的值域为? ?-1,-4?, x 对于曲线上任意两点的连线,一定存在曲线的切线与它平行,符合条件,故选 A. 【能力提升】 5.D [解析] 由于 v(t)=s′(t),a(t)=v′(t),注意到所给的三条曲线中,只有曲线 a 上有部分点的纵坐标小于零,因此只有曲线 a 才能作为 a(t)的图象,曲线 b 有升有降,因此 其导函数图象有正有负,这与所给曲线 a 的形状吻合,因此 b 为 v(t)的图象. - 6.A [解析] f′(x)=ex-ae x,这个函数是奇函数,因为函数 f(x)在 0 处有定义,所以 3 - f′(0)=0,故只能是 a=1.此时 f′(x)=ex-e x,设切点的横坐标是 x0,则 ex0-e-x0= , 2 即 2(ex0)2-3ex0-2=0,即(ex0-2)(2ex0+1)=0,只能是 ex0=2,解得 x0=ln2.正确选项为 A. 7.D [解析] 构造函数 g(x)=xf(x),则 g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,故函数 g(x)是 R 上的 单调递增函数,由增函数的定义,对任意实数 a,b 有 a>b?g(a)>g(b),即 a>b?bf(b)<af(a), 选 D. 8.C [解析] 根据三次函数的特点,函数 f(x)在(-1,0)上单调递减等价于函数 f(x)的导 数 f′(x)=3x2+2ax+b 在区间(-1,0)小于或者等于零恒成立,即 3-2a+b≤0 且 b≤0,把 点(a,b)看作点的坐标,则上述不等式表示的区域如图.

根据 a2+b2 的几何意义得,最小值就是坐标原点到直线 3-2a+b=0 的距离的平方, 9 即 . 5 9.A [解析] f′(x)=?

?2x+1?′=-2?x+2??x-1?=0,得 x=-2 或 x=1,当 x<-2 时 ? ?x2+2?2 ? x2+2 ?

f′(x)<0,当-2<x<1 时 f′(x)>0,当 x>1 时 f′(x)<0,故 x=-2 是函数的极小值点且 f(-2) 1 =- ,x=1 是函数的极大值点且 f(1)=1. 2 10.3 [解析] f′(x)=3x2-a 在[1,+∞)上恒大于 0,则 f′(1)=3-a≥0?a≤3. 4π? 5π 4π? ? 5π? 11. f? 当 x∈? sinx<0, cosx<0, ? 3 ?<f(-4)<f?- 4 ? [解析] f′(x)=sinx+xcosx, ? 4 , 3 ?时, 5π 4π? ∴f′(x)=sinx+xcosx<0,则函数 f(x)在? ? 4 , 3 ?上为减函数, 4π? ?5π? ∴f? ? 3 ?<f(4)<f? 4 ?,又函数 f(x)为偶函数,
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4π? ? 5π? ∴f? ? 3 ?<f(-4)<f?- 4 ?. 12.-2<t≤0 [解析] 因为 f′(x)=(x2-3x+3)· ex+(2x-3)· ex=x(x-1)· ex, 由 f′(x)>0?x>1 或 x<0,由 f′(x)<0?0<x<1, 所以 f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, 要使 f(x)在[-2,t]上为单调函数,则-2<t≤0. 1 x-1 13.ln2 [解析] g′(x)=1- = ,当 x≥2 时,函数 g(x)为增函数,因此 g(x)的值域 x x 为[2+m-ln2,+∞),因此 2+m-ln2=2,故 m=ln2. 14.[解答] (1)f′(x)=ex-1, 由 f′(x)=0,得 x=0,当 x>0 时,f′(x)>0,当 x<0 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,+∞)上递增,在(-∞,0)上递减, ∴f(x)min=f(0)=1. 1 ? (2)∵M∩P≠?,∴f(x)>ax 在区间? ?2,2?有解, 由 f(x)>ax,得 ex-x>ax,即 1 ? ex a< -1 在? ?2,2?上有解. x 1 ? ex 令 g(x)= -1,x∈? ?2,2?, x ?x-1?ex ∵g′(x)= , x2 1 ? ∴g(x)在? ?2,1?上递减,在[1,2]上递增. 1? 1? e2 又 g? = 2 e - 1 , g (2) = -1,且 g(2)>g? ?2? ?2?, 2 e2 ∴g(x)max=g(2)= -1, 2 2 e ∴a< -1. 2 (3)设存在等比数列{bn},使 b1+b2+?+bn=Sn, ∵Sn=?n[f(x)+x]dx=en-et,∴b1=e-et, n≥2 时 bn=Sn-Sn-1=(e-1)en 1, - 当 t=0 时,bn=(e-1)en 1,数列{bn}为等比数列, b2 b3 当 t≠0 时, ≠ ,则数列{bn}不是等比数列, b1 b2 - ∴当 t=0 时,存在满足条件的数列 bn=(e-1)en 1 满足题意. 15.[解答] (1)由题意得 g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2, 已知 g(x)在 x=-2 处取得最小值-5, ? ?m-1=2, 所以? 即 m=3,n=2. 2 ??n-3?-?m-1? =-5, ? 1 即得 f(x)= x3+3x2+2x. 3 (2)因为 f′(x)=x2+2mx+n,且 f(x)的单调递减区间的长度为正整数,故 f′(x)=0 一 定有两个不同的根, 从而 Δ=4m2-4n>0,即 m2>n. 不妨设两根为 x1,x2,则|x2-x1|=2 m2-n为正整数. 又 m+n<10(m,n∈N+), 故 m≥2 时才可能有符合条件的 m,n, 当 m=2 时,只有 n=3 符合要求; 当 m=3 时,只有 n=5 符合要求;


?t

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当 m≥4 时,没有符合要求的 n. 综上所述,只有 m=2,n=3 或 m=3,n=5 满足上述要求. 【难点突破】 1?2 1 16.[解答] (1)f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a, 2 2 2 2 1 ,+∞?时,f′(x)的最大值为 f′? ?= +2a;令 +2a>0,得 a>- , 当 x∈? ?3 ? ?3? 9 9 9 2 1 ? 所以,当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间. 9 1- 1+8a 1+ 1+8a (2)令 f′(x)=0,得 x1= ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2). 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1), 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- , 3 3 10 得 a=1,x2=2,从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3

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