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测量误差与精度


5.5.1 测量误差与精度 1. 测量误差的含义及表示方法

测量误差

是测量结果

与被测量的真值

之差。由于测量误差的存

在,被测量的真值是不能准确得到的。实用中,一般是以约定真值或以无系统误差的多次重复测 量值的平均值代替真值。 测量误差有绝对误差和相对误差之分。 上述

定义的误差称为绝对误差。即

=

-

(5-3)

绝对误差

可能是正值或负值。被测尺寸相同的情况下,绝对误差大小能够反映测量精度。被

测尺寸不同时,绝对误差不能反映测量精度。这时,应用相对误差的概念。

相对误差

是指绝对误差的绝对值

与被测量真值之比,即

(5-4) 2. 测量的精确度 测量的精确度是测量的精密度和正确度的综合结果。 测量的精密度是指相同条件下多次测量值的 分布集中程度,测量的正确度是指测量值与真值一致的程度。下面用打靶来说明测量的精确度: 把 相同条件下多次重复测量值看作是同一个人连续发射了若干发子弹,其结果可能是每次的击 中点都偏离靶心且不集中,这相当于测量值与被测量真值相差较大且分 散,即测量的精密度和 正确度都低; 也可能是每次的击中点虽然偏离靶心但比较集中, 这相当于测量值与被测量真值虽 然相差较大,但分布的范围小,即测量的正确 度低但精密度高;还可能是每次的击中点虽然接 近靶心但分散, 这相当于测量值与被测量真值虽然相差不大但不集中, 即测量的正确度高但精密 度低;最后一种可能 是每次的击中点都十分接近靶心且集中,这相当于测量值与被测量真值相 差不大且集中,测量的正确度和精密度都高,即测量的精确度高。 5.5.2 测量误差的来源及减小测量误差的措施 测量误差直接影响测量精度, 测量误差对于任何测量过程都是不可避免的。 正确认识测量误差的 来源和性质,采取适当的措施减小测量误差的影响,是提高测量精度的根本途径。测量误差主要 来源于以下几个方面:

1. 计量器具误差 计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用过程中造成的各项误差。 许多测量仪器为了简化结构,设计时常采用近似机构,例如,杠杆齿轮比较仪中测杆的直线位移 与指针的角位移不成正比,而表盘标尺却采用等分刻度。使用这类仪器时必须注意其示值范围。

另外一项常见的计量器具误差就是阿贝误差。 即由于违背阿贝原则所产生的测量误差。 阿贝原则 是指将测量装置的标尺应位于被测尺寸的延长线上,否则将会产生较大的测量误差。例如,游标 卡尺不满足阿贝原则,如图 5-7 所示。当游标卡尺的活动测爪有偏角 时,产生的测量误差

属于一次误差。 卡尺类计量器具往往精度很低的原因就是因为违背了 阿贝原则。 计量器具零件的制造误差、装配误差以及使用中的变形也会产生测量误差。 采用相对测量方法时使用的量块、线纹尺等基(标)准件都包含测量极限误差,这种误差将直接 影响到测量结果。进行测量时,首先必须选择满足测量精度要求的测量基(标)准件,一般要求 其误差为总的测量误差的 1/5?1/3。 2. 测量方法误差 由测量方法不完善所引起的测量误差称为测量方法误差。主要原因有以下几种: 加工、测量基准不统一。测量实际工件时,一般应按照基面统一原则(设计、加工、测量基面应 一致),选择适当的测量基准,否则将会产生较大的测量误差。如以齿顶圆定位测量齿厚不符合 基面统一原则,如图 5-8 所示。这时,齿顶圆的尺寸误差和形位误差会影响到测量结果。因此, 必须在设计时对齿顶圆提出较高的尺寸(直径)和形位公差(齿顶圆的径向圆跳动公差)要求。

测量时工件安装、定位不正确。图 5-9 是测量径向跳动的示意图,被测工件的轴线应按Ⅰ—Ⅰ状 态定位,由于两个顶尖中心不等高,实际上,被测工件的轴线按Ⅰ?—Ⅰ?定位,与Ⅰ—Ⅰ线之间 存在一个夹角 。显然,由此将引起测量误差。

此外,还包括计算公式不准确、测量方法选择不当、测量力等因素。 为了消除或减小测量方法误差, 应对各种测量方案进行误差分析, 尽可能在最佳条件下进行测量, 并对误差予以修正。 3. 测量环境误差 各种测量环境条件都会对测量仪器的测量精度产生影响。测量环境条件包括温度、湿度、气压、 振动、灰尘等等。其中,温度对测量结果的影响最大。我国规定测量的标准温度为+20℃。当工 件尺寸尺寸较大、 温度偏离标准值较多并且工件与基准尺热膨胀系数相差较大或者工件与基准尺 温差较大时,都会引起较大的测量误差 。其计算式为:

(5-5) 式中,L—被测尺寸;

t1、t2—基准件、被测工件的温度;



—基准件、被测工件的线胀系数。

解决措施:一是从根本上排除温度影响,即在标准温度、恒温条件下进行测量;二是对测量结果 进行修正。

4. 测量人员误差 测量人员主观因素如疲劳、 注意力不集中、 技术不熟练、 思想情绪、 分辨能力等引起的测量误差。 总之,造成测量误差的因素很多。有些误差是可以避免的,有些误差是可以通过修正消除的,还 有一些误差既不可避免也不能消除。测量时,应采取相应的措施避免、消除或减小各类误差对测 量结果的影响,以保证测量精度。 5.5.3 测量误差分类及处理 按性质可以将测量误差分为随机误差、系统误差和粗大误差。 1. 随机误差 误 差的单独出现,其符号和大小没有一定的规律性,但就误差的整体来说,服从统计规律,这 种误差称为随机误差。它是测量中多种独立因素的微量变化的综合作用结 果。例如测量过程中 温度的微量波动、振动、空气的扰动、测量力不稳定、量仪的示值变动、机构间隙和摩擦力的变 化等。随机误差是不可避免的,也不能用实验的 方法加以修正或排除,只能估计和减小它对测 量结果的影响。 如果进行大量、 多次重复测量, 多数情况下, 随机误差的统计规律服从正态分布, 即具有下列特性: 对称性:绝对值相等、符号相反的误差出现的概率相等。 单峰性:误差的绝对值越小,出现的频数越大;误差的绝对值越大,出现的频数越小。绝对值为 零的误差出现的频数最大。 抵偿性:在一定测量条件下,随机误差的代数和趋近于零。 有界性:在一定测量条件下,随机误差的绝对值不会超出一定的范围。 假设测量值中只含有随机误差,且随机误差是相互独立、等精度的,则随机误差正态分布曲线的 数学表达式为

(5-6)

式中,

— 概率密度函数;

— 标准偏差(均方根误差);

— 随机误差。

分析(5-6)式可知: 反之,

越大,y(δ)减少得越慢,即测得值分布越分散,测量的精密度越低; 时,

越小,y(δ)减少得越快,即测得值分布越集中,测量的精密度越高。当 。图 5-10 所示为

概率密度函数有最大值 精度的随机误差的分布曲线。因此,

的三种不同测量

值表征了各测得值系列的精密度指标。

(1)标准偏差和算术平均值的计算

根据误差理论,可计算标准偏差

如下:

(5-7)

其中,

—某次测量值;

— n 次测量值的算术平均值;

n — 测量次数,n 应该足够大。

测量值的算术平均值

按下式计算:

(5-8) (2)剩余误差(残差)及其特性

由于被测量的真值 残差

无法准确得到, 所以在实际应用中常常以算术平均值 代替测量误差 。由概率论与数理统计可知,残差

代替真值, 并以 有两个重要特性:

一组测量值的残差代数和等于零,即

(5-9) 残差的平方和为最小

(5-10)

(3)单次测量的极限误差

由(5-6)式和概率论可知,单次测量值的随机误差 1;落在分布范围(?+

落在整个分布范围(-∞?+∞)的概率为 ?+2 )的概率 为单次测

)的概率为为 68.26%,落在分布范围(-2 ?+3

为为 95.44%,落在分布范围(-3 量结果的极限误差,即 =±3

)的概率为为 99.73%。通常,取±3

。因此,用单次测量值表示测量结果的形式如下:

(4)算数平均值的极限误差

可以证明,对于等精度的 m 组 n 次重复测量,每组测量值的算术平均值 也是服从正态分布的随机变量, 然而其分散性与单次测量值

(i = 1, 2, ……m)

相比明显减小, 并且算术平均值

的标准偏差

与单次测量值

的标准偏差

有如下关系:

(5-11) 则算术平均值的极限误差为:

这时,测量结果可写成如下形式:

(5-11)式表明:增加重复测量次数 n,用算术平均值作为测量结果,可以提高测量精度。不过 当 n 超过一定数值时,比值 / 随 n 的平方根衰减的速度变慢,收效并不明

显,而且如果重复测量的时间过长,反而可能因测量条件不稳定而引入其他一些误差。因此,实 际测量时,一般 n 取 3?5 次,最多也很少超过 20 次。 2. 系统误差 在 相同测量条件下重复测量某一被测量时,误差的大小和符号不变或按一定的规律变化,这样 的测量误差称为系统误差。系统误差又分为已定系统误差和未定系统误 差。数值大小和符号或 变化规律己经或能够被确切获得的系统误差叫做已定系统误差。 已定系统误差可以用加修正值的 方法消除。例如,在大型工具显微镜上测量工 件的长度,由于玻璃刻尺的刻度误差引起的测量 误差是系统误差,对于这种误差,可以通过检定的方法获得,并用加修正值的方法对测量结果加 以修正。不能确切获 得误差的大小和方向,或不必花费过多精力去掌握其规律,而只能或只需 估计出其不致超过的极限范围的系统误差叫做未定系统误差。未定系统误差不能够通过加修 正 值的方法消除。 系统误差对测量结果的影响较大。因此,应认真分析,设法发现系统误差并予以消除或减小其对 测量结果的影响。下面介绍几种常用的方法: 从误差根源消除 这是消除系统误差最根本的方法。例如:在测量前调整好仪器的工作台、调准

零位、测量基准与加工基准一致、使测量器具与被测工件都处于标准温度等等。 加修正值 用更精密的标准件或仪器事先检定出计量器具的系统误差, 将此误差的相反数作为修

正值加到测得值上,这样,可以消除计量器具的系统误差。例如,量块按"等"使用,三坐标测量 机的刻度值先修正再使用等等。

两次读数

有 些情况下,可以人为地使两次测量产生的系统误差大小相等或相近、符号相反。

这时,取两次测量值的平均值作为测量结果,就能够消除系统误差。例如,在工具显 微镜上测 量螺纹的螺距, 如果工件安装后其轴心线与仪器工作台移动方向不平行, 则一侧螺距的测得值会 大于其真值,而另一侧螺距的测得值会小于其真值,这时, 取两侧螺距测得值的平均值作为测 量值,就会从测量结果中消除该项系统误差。 对于某种测量方法, 其系统误差的大小影响测量值的正确度, 随机误差的大小影响测量值的精密 度。系统误差和随机误差都小说明测量值的准确度高。 3. 粗大误差 粗大误差(也称过失误差)的数值远远超出随机误差或系统误差。粗大误差往往是由测量人员的 疏忽或测量环境条件的突然变化引起的。如仪器操作不正确,读错数,记错数,计算错误等。粗 大误差使测量结果严重失真,因此应及时发现,并从测量数据中剔除。

对于服从正态分布的一组等精度测量数据, 通常用 3

准则发现、 剔除粗大误差。 具体做法是:

对于在相同测量条件下多次测量获得的一组测量值, 如果某个测量值的残余误差之绝对值超过 3 ,则认为该数据含有粗大误差,予以剔除;然后,重新进行统计检验,直至所有测量值的残 余误差之绝对值均不超过 3 为止。

例如,现有一组服从正态分布的等精度测量数据:10.007、10.004、9.999、10.015、10.003、 10.005、10.003、10.004、10.000、10.000,经计算得: 用3 准则判断, 有 , ,

, 即第 4 个数据含有粗大误差, 予以剔除; , , 再一次用 3

对剩余的 9 个数据再一次进行统计计算得: 准则判断,剩余 9 个数据残差的绝对值均不超过 3

,则说明这 9 个数据中没有粗大误差。

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