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余弦定理(改)


复习回顾
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C

? 2R

变型: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

a : b : c ? sin A : sin B : sin C
可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和

任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

千岛湖

情景问题

千岛湖
岛屿B

岛屿A

120°

?
岛屿C

情景问题

∠B=120o,求 AC
A岛屿A

千岛湖 在△ABC中,已知AB=6km,BC=3.4km,
岛屿 B B

120°

?
岛屿 C C

用正弦定理能否直接求出 AC?

探 究: 在△ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA 的夹角为∠C, 求边c.

? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c

由向量减法的三角形法则得

c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?b ? b ? 2 a ? b ?2 ?2 ? ? ? a ? b ? 2 a b cos C



? c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

? a ? b ? 2ab cos C
2 2

余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

C b
A c

a
B

对余弦定理还 有其他证明方 法吗?

证明

解析法
y

证明:以CB所在的直线为x轴,过C点 垂直于CB的直线为y轴,建立如图所 示的坐标系,则A、B、C三点的坐标 分别为:

x
2
2 2

C (0, 0) B(a, 0) A(b cos C, b sin C)
AB ? (b cosC ? a) ? (b sin C ? 0)
2 2
2 2 2

? b cos C ? 2ab cosC ? a ? b sin C

? a ? b ? 2abcosC
2 2

∴ c = a + b - 2abcosC

2

2

2

余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

b A
c

a
B

b ?c ?a 推论:cos A ? 2bc
2 2

2

a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac
a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

利用余弦定理可 以解决什么类型 的三角形问题?

解决实际问题
在△ABC中,已知AB=6km,BC=3.4km,

∠B=120o,求 AC
A

B

120° 解:由余弦定理得
AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B
? 6 ? 3.4 ? 2 ? 6 ? 3.4 cos120
2 2 o

C

? 67.96

AC ? 8.24
答:岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.

正弦定理的应用
例题讲解

例1、在△ABC中,已知a= 6 ,b=2,c= 3 ? 1 ,解三角形 解:由余弦定理得
2 2 2 b2 ? c2 ? a 2 1 a ? c ? b 2 cos A ? ? , A ? 60? ; cos B ? ? , B ? 45? ; 2bc 2 2ac 2

C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

那么,已知三角形的三条边,能否判断此三 角形的形状呢?怎么判断?

练习:在△ABC 中,已知 a=12, b=8, c=6,判断△ABC的形状.

2 2 2 a ? b ? c 变式:在△ABC中, ,那么△ABC是( )

A、钝角 C、锐角

B、直角 D、不能确定 那a 2 ? b 2 ? c 2呢?

提炼:设a是最长的边,则 △ABC是钝角三角形 ? a ? b ? c △ABC是锐角三角形 ? a 2 ? b 2 ? c 2
2 2 2
2 2 2 ? a ? b ? c △ABC是直角角三角形

正弦定理的应用
例题讲解
例3:在?ABC中,已知 c2 ? b2 ? 2bc, sin A ? 2 sin B, 求A、B、C

解:由正弦定理

?sin A ? 2 sin B,?a ? 2b;
b2 ? c 2 ? a 2 2 cos A ? ? , A ? 45? ; 2bc 2

由余弦定理得

1 ? ? sin A ? 2 sin B,? sin B ? , B ? 30 ; 2

?C ? 180 ? ( A ? B) ? 105
?

?

正弦定理的应用
例题讲解
cos C 3a ? c 例4:在 ?ABC 中, A、B、C对边分别为 a、b、c且 ? cos B b

(1)求sin B; (2)若b ? 4 2, a ? c, 求S?ABC

正弦定理的应用
例题讲解

例5:在?ABC中,已知b 2 ? bc ? 2c 2 ? 0且a ? 6 , 7 cos A ? , 求S?ABC 8
2010,浙江高考题
3 2 2 2 满足S ? a ?b ?c . 4 ?1?求角C的大小;

在?ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 设S 为?ABC的面积,

?

?

?2?求 sin A ? sin B的最大值.

小结:
2 2 2 b ? c ? a 2 2 2 cos A ? a ? b ? c ? 2bc cos A 2bc 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B cos B ? c 2 ? a 2 ? b2 2 2 2 2ca c ? a ? b ? 2ab cos C a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题:

余弦定理:

推论:

1、已知两边及其夹角,求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角; 3、判断三角形的形状


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