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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试19 三角函数的图象和性质 新人教A版


高效测试 19:三角函数的图象和性质
一、选择题 1.函数 f(x)=lg(sin2x+ 3cos2x-1)的定义域是( ? ? π π A.?x|kπ - <x<kπ + ,k∈Z? 12 4 ? ?
? ? π π B.?x|kπ - <x<kπ + ,k∈Z? 6 2 ? ? ? ? π 11π ,k∈Z? C.?x|kπ - <x<kπ + 4 12 ? ? ? ? π D.?x|kπ <x<kπ + ,k∈Z? 3 ? ?

)

解析:由 sin 2x+ 3cos2x-1>0,得 π? 1 ? sin?2x+ ?> . 3? 2 ? π π 5π 即 2kπ + <2x+ <2kπ + (k∈Z), 6 3 6 π π ∴kπ - <x<kπ + (k∈Z). 12 4 答案:A π? π? ? ? 2.函数 y=sin?2x+ ?+cos?2x+ ?的最小正周期和最大值分别为( 6? 3? ? ? A.π ,1 B.π , 2 C.2π ,1 D.2π , 2 π? π? ? ? 解析:y=sin?2x+ ?+cos?2x+ ?=cos2x 6? 3? ? ? 2π ∴最小正周期 T= =π ,最大值为 1.故选 A. 2 答案:A )

? π π? 3.已知函数 y=t anω x 在?- , ?内是减函数,则( ? 2 2?
A.0<ω ≤1 B.-1≤ω <0 C.ω ≥1 D.ω ≤-1 解析:由已知条件 ω <0,又 答案:B π ≥π ,∴-1≤ω <0. |ω |

)

π π ?π ? 4.函数 f(x)=tanω x(ω >0)的图象的相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f? ? 4 4 ?4? 的值是( ) A.0 B.1 π C.-1 D. 4 π π π π 解析:由于相邻的两支 截直线 y= 所得的线段长为 ,所以该函数的周期 T= = ,因 4 4 4 ω

1

?π ? ? π? 此 ω =4,函数解析式为 f(x)=tan4x,所以 f? ?= t an?4× ?=ta nπ =0. 4? ?4? ?
答案:A

?π ? 5.函数 y=2sin? -2x?(x∈[0,π ])为增函数的区间是( ?6 ? ? π? A.?0, ? 3? ?
C.?

)

?π 7π ? B.? , ? ?12 12 ?

?π ,5π ? D.?5π ,π ? ? 6 ? 6 ? ?3 ? ? ?

π? ?π ? ? 解析:∵y=2sin? -2x?=-2sin?2x- ?, 6? ?6 ? ?

?π ? ∴y=2sin? -2x?的递 增区间实际上是 ?6 ?
π? ? u=2sin?2x- ?的递减区间, 6? ? π π 3π 即 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + (k∈ Z), 2 6 2 π 5π 解上式得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 3 6 π 5π 令 k=0,得 ≤x≤ . 3 6 π 5 又∵x∈[0,π ],∴ ≤x≤ π . 3 6 即函数 y=2sin?

?π -2x?(x∈[0,π ])的增区间为?π ,5π ?. ? ?3 6 ? ?6 ? ? ?

答案:C 6.以下三个命题: ①任意 α ∈ R,在[α ,α +π ]上函数 y=sinx 都能取到最大值 1; ②若存在 α ∈R 且 α ≠0,f(x+α )=-f(x)对任意 x∈R 成立,则 f(x)为周期函数; 3π ? ? 7π ③存在 x∈?- ,- ?,使 sinx<cosx. 4 ? ? 4 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D. 3 解析:对于①:∵[α ,α +π ]该区间长度为 y=sinx 的半个周期. ∴y=sinx 在[α ,α +π ]上不一定取到最大值 1. 故①错. 对于②:是正确的. 对于③:画图观察易得③是错误的. 综上可知应选 B. 答案:B 二、填空题 7.若 f(x)=x|sinx+a|+b(x∈R)是奇函数,则 a2+b2=__________. 解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,

2

∴-x|-sinx+a|+b+x|sinx+a|+b=0, ∵x∈R,∴a=0,b=0,a2+b2=0. 答案:0 1 1 8.已知函数 f(x)= (sinx+cosx)- |sinx-cosx|,则 f(x)的值域是__________. 2 2 解析:当 sinx≥cosx 时,f(x)=cosx, 当 sinx<cosx 时,f(x)=sinx,
? ?cosx? sinx≥cosx? , ∴f(x)=? ?sinx? sinx<cosx? . ?

图象如图实线表示,所以值域为?-1,

? ?

2? ?. 2?

答案:?-1,

? ?

2? ? 2?

9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面 三个式子:

? 1? ? 1? ①f?sin ?<f?cos ? ? 2? ? 2? ? π? ? π? ②f?sin ?<f?cos ?; 3? 3? ? ?
③f(sin1)<f(cos1) 其中一定成立的是__________. 解析:由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期, 设 x∈[-1,0]知 x+4∈[3,4], f(x)=f (x+4)=x+4-2=x+2. 图象如图:

1 1 ? 1? ? 1? 对于①:sin <cos ? f?sin ?>f?cos ?. 2 2 ? 2? ? 2? π π ? π? ? π? 对于②:sin >cos ? f?sin ?<f?cos ?. 3? 3? 3 3 ? ? 对于③:sin1>cos1? f(sin1)<f(cos1). 故应填②③. 答案:②③ 三、解答题 10.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 x

3

? π? ∈?0, ?时,f(x)=sinx. 2? ?
(1)求当 x∈[-π ,0]时,f(x)的解析式; (2)画出函数 f(x)在[-π ,π ]上的函数简图; 1 (3)求当 f(x)≥ 时,x 的取值范围. 2 解析:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).

? π? 而当 x∈?0, ?时,f(x)=sinx. 2? ? ? π ? ? π? ∴当 x∈?- ,0?时,-x∈?0, ?. 2? ? 2 ? ?
∴f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx. π? ? ? π? 又当 x∈?-π ,- ?时,x+π ∈?0, ?, 2? 2? ? ? ∵f(x)的周期为 π , ∴f(x)=f(π +x)=sin(π +x)=-sinx. ∴当 x∈[-π ,0]时,f(x)=-sinx. (2)如图.

(3)由于 f(x)的最小正周期为 π , 1 因此先在[-π ,0]上来研究 f(x)≥ , 2 1 1 5π π 即-sinx≥ ,∴sinx≤- ,∴- ≤x≤- . 2 2 6 6 由周期性知,[中。教。网 z。z。s。tep] 5 π? 1 ? 当 x∈?kπ - π ,kπ - ?,k∈Z 时,f(x)≥ . 6 6? 2 ?

?π ? ?π π ? 11.已知函数 f(x)=2sin2? +x?- 3cos2x,x∈? , ?. ?4 ? ?4 2?
(1)求 f(x)的最大值和最小值;

?π π ? (2)若不等式|f(x)-m|<2 在 x∈? , ?上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2? ? ?π ?? 解析:(1)∵f(x)=?1-cos? +2x??- 3cos2x ? ?2 ??
=1+sin2x- 3cos2x π? ? =1+2sin?2x- ?. 3? ?

?π π ? 又∵x∈? , ?, ?4 2?
π? π π 2π ? ∴ ≤2x- ≤ ,即 2≤1+2sin?2x- ?≤3, 3? 6 3 3 ?

4

∴f(x)max=3,f(x)min=2. (2)∵|f(x)-m|<2?f(x)-2<m<f(x)+2,

?π π ? x∈? , ?, ?4 2?
∴m>f(x)max-2 且 m<f(x)min+2, ∴1<m<4,即 m 的取值范围是(1,4). π? ? ? π? 12.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 6 2? ? ? ? (1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg[g(x)]>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ?π 7 ? ? π? 解析:(1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , π ?. 2? 6 ?6 6 ? ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a +b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)知 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ? 7π ? ? π? ? g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 2? 6 ? ? ? π? ? =4sin?2x+ ?-1. 6? ? 又由 lg[g(x)]>0 得 g(x)>1, π? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1, 6? ? π? 1 ? ∴sin?2x+ ?> , 6? 2 ? π π 5 ∴2kπ + <2x+ <2kπ + π ,k∈Z. 6 6 6 π π π 由 2kπ + <2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 6 6 2 π? ? 得 g(x)的单调增区间为:?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 6? ? π π 5π 由 2kπ + ≤2x+ <2kπ + , 2 6 6 π π? ? 得 g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ?

5


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