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江苏省江浦高级中学2007—2008学年度第一学期期中高二数学复习试题(二)


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江苏省江浦高级中学 2007—2008 学年度第一学期期中高二数学复习试题(二)
一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分;共 40 分. 1.若命题 p 的逆命题是 q,命题 p 的否命题是 r,则 q 与 r 的关系是( ) A.互为逆命题 B.互为否命题

C.互为逆否命题 D.不能确定 2.已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为 x-2y=0,则该双曲线的离心率为 A.

5 或 5 2

B.

3 或 3 2

C.

5 5 或 2 5

5 D. 或 5 4 )

3.若椭圆

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 值 ( 5 m 5
25 3
C. 15 D. 15 或

A.3

B.3 或

5 15 3

4.某市教育局在中学开展 “创新素质实践行”小论文的评比。 各校交论文的时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把各校交的论 文的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如 图).已知从左至右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1, 第二组的频数为 18.那么本次活动收到论文的篇数是 A.20 篇 B.100 篇 C.120 篇 D.180 篇 5.要实现将 a,b 两数互换位置,以下算法流程图中正确的是

开始

开始

开始

开始

输入 a,b b← a c← b a← c 输出 a,b

输入 a,b a← b c← a b← c 输出 a,b

输入 a,b c← a a← b b← c 输出 a,b

输入 a,b b← a

a← b 输出 a,b

结束 A

结束 B

结束 C

结束 D

6.从 1 到 100 这 100 个正整数中任意取两个数,给出下列各组事件 ①“恰有一个偶数”与“恰有一个奇数” ;②“至多有一个奇数”与“至多有一个偶数” ; ③“至少有一个奇数”与“两个都是偶数” ;④“至少有一个奇数”与“至少有一个偶数” . 其中互为对立事件的共有

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A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 7.按照下列伪代码: P←1 For K From 1 To 10 P←P+2× K-1 End For Print P 输出结果是 A.82 B.99 C.100 D.101 8、已知椭圆 ( )

x2 y2 x2 y2 和双曲线 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2 15 y 2
B.y=±

A.x=±

15 3 x C.x=± y 2 4

D.y=±

3 x 4
5 6 7 8 9 乙 8 47 45669 02

二、填空题:本大题共 6 题,每小题 5 分共 40 分, 9.甲、乙两个学习小组各有 10 名同学,他们在一次 数学测验中成绩的茎叶图如右 甲 图所示,则在这次测验中成绩情况不好的是_____ 组. 3 10.某班级共有学生 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量 94 为 4 的样本.已知 2 号,28 号,41 号同学在样本中,那么还有一个同学的学号 866431 0 是 . 11.已知命题 p 的否定是“ ? x∈N,使 x2≤x”,那么命题 p 是 . 12.以下伪代码: Read x If x≤2 Then y←2x-3 Else y←log2x End If Print y 表示的函数表达式是 . 13.已知 F1,F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,点 P 在双曲线右支上,O a2 b2 为坐标原点,若△POF2 是面积为 1 的正三角形,则 b 的值是 ▲ .
?

14.如图所示, 底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30 的平面所截, 其截口是一个椭圆,离心率为 .

15 直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于两个不同的点, 则实数 k 的取值范围是 。

16、在区间[2,6]和[1,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 上的椭圆的概率是 。

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴 m2 n2

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三、解答题:本大题共 6 小题;共 80 分.

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 有相同的焦点,与双曲线 ? ? 1 有相同渐 17. (本小题满分 12 分)若双曲线与 64 16 2 6
近线,求双曲线方程。

18.(本小题满分 12 分)在集合{(x,y)|0≤x≤5,且 0≤y≤4}内任取 1 个元素,能使

代数式 y ? x ? 19 ? 0 的概率是多少?
3 4 12

19、 (本小题满分 12 分)求抛物线 x 2 ? 2 y 一点 P 到点 A(0, a ) 的最小值。

20、(本小题满分 14 分)箱子中装有 6 张卡片,分别写有 1 到 6 这 6 个整数. 从箱子中任意取出 一张卡片,记下它的读数 x ,然后放回箱子,第二次再从箱子中取出一张卡片,记下它的读数 y ,试求: (Ⅰ) x ? y 是 5 的倍数的概率; (Ⅱ) x ? y 是 3 的倍数的概率; (Ⅲ) x , y 中至少有一个 5 或 6 的概率.

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(21)(本小题满分 14 分) 某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规 划 成 一 个 矩 形 高 科 技 工 业 园 区 . 已 知 AB ? BC , OA // BC 且

C

AB ? BC ? 2 AO ? 4km ,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的
抛物线的一段. (1) 建立适当的坐标系,求曲线段的方程; (2)如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上,且一个顶点落 在 DC 上,问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最 大的用地面积(精确到 0.1km2).

O

A

B

(22)(本小题满分 16 分,第一小问满分 6 分,第二小问①满分 5 分,②满分 6 分) x2 y 2 如图,A 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一个动点,弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2,当 AC a b 垂直于 x 轴时,恰好有 AF1:AF2=3:1. (Ⅰ) 求椭圆的离心率; (Ⅱ) 设 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C . ①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时, 求 ?1 ? ?2 的值; ②当 A 点为该椭圆上的一个动点时,试判断是 B C F1 F2 x y A

????

???? ???? ?

???? ?

?1 ? ?2 否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.

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参考答案
一、选择题 1.C 2.B 3.B 二、填空题 9.乙 10.15 4.C 5.C 6.A 7.D. 8.D

?2 x ? 3 11. ?x ? N , x 2 ? x 12. y ? ? ?log 2 x

x?2 x?2

13. 2

14.

1 2

15、 ( ? 三、解答题 17.

1 15 ,?1) 16、 3 6

x2 y 2 ? ?1 36 12
3 10

18.

19、 d min ? ?

? | a | (a ? 1) ? 2a ? 1(a ? 1)

20、解 基本事件共有 6×6=36 个. ―――――――――――――――――3 分 (Ⅰ) x ? y 是 5 的倍数包含以下基本事件: 6 6 12 18 24 30 36 (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2) (4, 6) (6, 4) (5, 5)共 7 个. 5 5 10 15 20 25 30 7 所以, x ? y 是 5 的倍数的概率是 .―――――6 分 4 4 8 12 16 20 24 36 (Ⅱ) x ? y 是 3 的倍数包含的基本事件(如图) 3 3 6 9 12 15 18 20 5 2 2 4 6 8 10 12 共 20 个,所以, x ? y 是 3 的倍数的概率是 ? .――10 分 36 9 1 1 2 3 4 5 6 (Ⅲ)此事件的对立事件是 x , y 都不是 5 或 6,其 4 5 6 积 1 2 3 基本事件有 4 ? 4 ? 16 个,所以, x , y 中至少有一个 5 或 6 的概率是 1 ?

16 5 ? .―――――――――――――13 分 36 9
2

21、解 (Ⅰ)以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系如图, 依题意可设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,且 C(4,2).

? 22 ? 2 p ? 4 ? p ?

1 . 2
2

故曲线段 DC 的方程为 y ? x(0 ? x ? 4,y ? 0) . ----―4 分 (Ⅱ) 设 P( y ,y)(0 ? y ? 2) 是曲线段 OC 上的任意一点, 则在
2

O

矩形 PQBN 中, | PQ| ? 2 ? y,| PN | ? 4 ? y .
2

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?工业区面积 S ?| PQ | ?PN |? (2 ? y)(4 ? y 2 ) ? ? y3 ? 2 y 2 ? 4 y ? 8 .---------8 分
又 S ? ? ?3 y 2 ? 4 y ? 4 ,令 S' ? 0 得 y1 ? ,y1 ? ?2 .

2 3

?0 ? y ? 2, ?y ? 2 3

2 . 3

当 y ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,S 是 y 的增函数;当 y ? ( , 2) 时, S' ? 0 ,S 是 y 的减函数.

2 3

?y ?

2 8 时,S 取到极大值,此时 | PQ| ? 2 ? y ? .――――――――――11 分 3 3 32 8 32 256 | PN | ? 4 ? y 2 ? ,故 S ? ? ? ? 9.5 . 9 3 9 27
―――――――――――――13 分

? y ? 0 时 S ? 8 ,? Smax ? 9.5( km2 ) .
答:当矩形的长为

32 8 km ,宽为 km 时,园区面积最大,约为 9.5km 2 . -14 分 9 3

22、解(Ⅰ)设 | AF2 |? m ,则 | AF2 |? 3m .由题设及椭圆定义得

? 2 ?(3m)2 ? m2 ? (2c)2 ,消去 m 得 a2 ? 2c2 ,所以离心率 e ? .―――――――5 分 ? 2 ? ?3m ? m ? 2a
(Ⅱ) 由(1)知, b2 ? c2 ? a2 ,所以椭圆方程可化为

1 2

x2 ? 2 y 2 ? 2c2 .

①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时, ?1 ? ?2 ,直线 AF1 的方程为 y ? x ? c . 由?

? ?y ? x ? c 得 2 2 2 x ? 2 y ? a ? ?

4 3x2 ? 4cx ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ? c , 3
4 3

1 3 2 c , | AF 又 F1 (?c,0) ,所以 | F1B |? 1 |? 2c ,所以 ?1 ? 3 , ?1 ? ?2 ? 6 .―――10 分 3
∴ 点 B 的坐标为 (? c, ? a) . ②当 A 点为该椭圆上的一个动点时, ?1 ? ?2 为定值 6. 证明 设 A( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则 x02 ? 2 y02 ? a2 . 若 A 为椭圆的长轴端点,则 ?1 ? 所以 ?1 ? ?2 ?

a?c a ?c a?c a?c , , ?2 ? , 或 ?1 ? , ?2 ? a ?c a?c a?c a ?c

2(a 2 ? c 2 ) ? 6 .――――――――――――――――――――――12 分 a2 ? c2

若 A 为 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 意 一 点 , 则 由 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C 得 ,

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?1 ? ?

y0 y 1 1 , ?2 ? ? 0 ,所以 ?1 ? ?2 ? ? y0 ( ? ) . y1 y2 y1 y2

x0 ? c ? x0 ? c ?x ? c ? y y y ,所以由 ? 又直线 AF1 的方程为 x ? c ? 得 0 y0 ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2c
[2 y02 ? ( x0 ? c)] y 2 ? 2cy0 ( x0 ? c) y ? c2 y02 ? 0 . ? x02 ? 2 y02 ? 2c2 ,
∴ (3c ? 2x0 ) y 2 ? 2 y0 ( x0 ? c) y ? cy02 ? 0 . 由韦达定理得

y0 y1 ? ?

cy0 cy0 2 ,所以 y1 ? ? . 同理 3c ? 2 x0 3c ? 2 x0

y1 ?

cy0 . ?3c ? 2 x0

∴ ?1 ? ?2 ? ? y0 (

3c ? 2 x0 ?3c ? 2 x0 1 1 ? ) ? ? y0 (? ? )?6. y1 y2 cy0 cy0

综上证得,当 A 点为该椭圆上的一个动点时, ?1 ? ?2 为定值 6.―――――――16 分

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