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安徽省宿州市2013届高三第一次质量检测理科数学试题


宿州市 2013 届高三第一次质量检测 数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:如果事件 A、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有 一项是符合题目要求的. 1 若复数 A6 2 函数 B -6 的图像大致是 ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 C5 D -4

3.

m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四命题:
②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ④若 m // n, n ? ? ,则 m // ? .

① 若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? ; ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; 其中真命题的序号是 A.①③ B.①④ ( ) C.②③

D.②④

4. 设函数 f ( x) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? ) 于直线 x ? 0 对称,则 A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0,

(| ? |?

?
2

), 且其 图象关
( )

?

?

2

) 上为增函数 ) 上为减函数

2

第1页

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 ? ? D. y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4
C. y ? f ( x) 的最小正周期为 5.如右图,若程序框图输出的 S 是 126,则判断框①中应为 A. n ? 5 ? B. n ? 6 ? C. n ? 7 ? D. n ? 8 ? ( )

6.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x, 则方 程 f ( x) ? log3 | x | 的解个数是 A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 7.若 {an } 是等差数列,首项公差 d ? 0 , a1 ? 0 ,且 a2013 (a 2012 ? a 2013 ) ? 0 ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是 A.4027 B.4026 C.4025 D.4024 8.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 与
2









该圆的位置关系是 A、相切 B、相交

( C、相离 D、相切或相交



9. 已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2( ? ? ... ? ) 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n
)时

时,若已假设 n ? k (k ? 2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 n ? ( 等式成立 ( ) A. n ? k ? 1 B. n ? k ? 2 C. n ? 2k ? 2 D. n ? 2(k ? 2)

? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 10. 已知向量 ? 、? 、? 满足 | ? |? 1 ,| ? ? ? |?| ? | ,(? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 . 若对每一确定的 ? , | ? |
?? 的最大值和最小值分别为 m 、 n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是





A.

1 2

B.1

C.2

D. 2

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注射 疫苗的所有养鸡场进行了调查, 根据下图表提供的信息, 可以得出这三个月本地区每月注射 了疫苗的鸡的数量平均为 万只.

第2页

? 2 ? 12.二项式 ? x 2 ? ? 展开式中的第________项是常数项. ? ? x? ?
13.一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边 长为 3cm 的矩形,左视图是一个边长为 2cm 的等边三角形,则这 个几何体的体积为________. 3

10

? y ? x, ? 14.已知 z=2x +y,x,y 满足 ? x ? y ? 2, 且 z 的最大值是最小值 ? x ? a, ?

主视图

侧视图

的 4 倍,则 a 的值是 . 俯视图 15.给出如下四个结论: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ② 命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ” ; ③ 若随机变量 ? ~ N (3, 4) ,且 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a ? 3 ; ④ 过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有 2 条. 其中正确结论的序号是______________________________. 三、解答题:本大题共共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3sin x cos x ? cos x ? m (m? R) 的图象过点 M (
2

π , 0) . 12

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c .若 ccosB + bcosC = 2acosB , 求 f ( A) 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? tx (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)当 t ? ?e 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, 2] ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 t 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE;

第3页

(Ⅱ)求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小. 19.(本小题满分 12 分) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案: 考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题, 按 照题目要求独立完成全部实验操作。规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是
2 3

,且每题正确完成与否互不影响。

(Ⅰ)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (Ⅱ) 试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位考生 的实验操作能力. 20.(本小题满分 13 分) 已知 F (1,0) , P 是平面上一动点, P 到直线 l : x ? ?1 上的射影为点 N ,且满足

???? 1 ???? ???? ( PN ? NF ) ? NF ? 0 2 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;
(Ⅱ)过点 M (1, 2) 作曲线 C 的两条弦 MA, MB , 设 MA, MB 所在直线的斜率分别为 k1 ,k2 , 当 k1 ,k2 变化且满足 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点坐标. 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

? ... ?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n (其中常数 ? ? 0, n ? N * ) .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:当 ? ? 4 时,数列 ?an ? 中的任何三项都不可能成等比数列; (Ⅲ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.求证:若任意 n ? N * , (1 ? ? )Sn ? ?an ? 3

第4页

参考答案 一、ACABB CDCB A 二、11,90;12,九;13, 3 3cm3 ;14, 16.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 因为点 M (

1 ;15,②④ 4

3 1 ? 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m ? sin(2 x ? ) ? m ? ……… 3 分 2 2 6 2

?

12 1 ……………………5 分 解得: m ? 2 (Ⅱ)因为 c cos B ? b cos C ? 2a cos B ,所以 sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos B
所以 sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ,即 sin A ? 2sin A cos B 又因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 又因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? 所以 0 ? A ?

, 0) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 sin(2 ?

? 1 ? )?m? ? 0 12 6 2

?

?
3

, A?C ?

2? 3

1 2

…………………… 9 分

? ? 1 ? 2? ? ? 7? , ? ? 2A ? ? ,所以 sin(2 A ? ) ? ? ? ,1? 6 ? 2 ? 3 6 6 6
? 1 ? ,1? ? 2 ?
……………………12 分

所以 f ( A) 的取值范围是 ? ?

17.解: (Ⅰ)当 t ? ?e 时, f ( x) ? e x ? ex , f ?( x) ? e x ? e . 由 f ?( x) ? e x ? e > 0 ,解得 x ? 1 ; f ?( x) ? e x ? e < 0 ,解得 x ? 1 . ∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 (1, ??) ;单调递减区间是 (??,1) . ……………… 5 分 (Ⅱ)依题意:对于任意 x ? (0, 2] ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,

ex 在 x ? (0, 2] 上恒成立. x ex (1 ? x)ex 令 g ( x) ? ? ,∴ g ?( x) ? . x x2
即 e x ? tx ? 0 即 t ? ?

第5页

当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, g ?( x) ? 0 . ∴函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增;在 (1, 2) 上单调递减. 所以函数 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? ?e ,即为在 x ? (0, 2] 上的最大值. …………………… 12 分 18.解: ∴实数 t 的取值范围是 (?e, ??) . (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AC=AD,F 为 CD 中点,∴AF⊥CD, ……………… 4 分 因 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. (Ⅱ)取 CE 的中点 Q,连接 FQ,因为 F 为 CD 的中点,则 FQ∥DE,故 DE⊥平面 ACD,∴ FQ⊥平面 ACD,又由(Ⅰ)可知 FD,FQ,FA 两两垂直,以 O 为坐标原点,建立如图坐标系, ??? ? ??? ? 0, ,(0, 0, 3 ) B 1, 3 ) E 2, .B ,13 02 E 则 F 0, 0) C ?1 , 0) A ( 0, , ( , (0, , (1, 0) C ?,1 ),,( C )( 2 ? ………………6 分
? ??? ? ?n ? CB ? 0, ? ? ? 设面 BCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ??? ?n ? CE ? 0, ?

? x ? y ? 3z ? 0, ? ? 即? 取 n ? (1, ?1,0) . ?2 x ? 2 y ? 0, ?
??? ? 又平面 ACD 的一个法向量为 FQ ? (0,1,0) ,
???? ? ???? ? FQ ? n 0 ?1 ? 0 2 cos ? FQ, n ? ? ???? ? ? ? ∴ . 2 | FQ || n | 2

∴面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45°. 19,解: (Ⅰ)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? ,? ,则 ? 的取值分别为 1、 2、3,? 的取值分别,0、1、2、3,

P(? ? 1) ?

1 2 C4C2 1 C 2C1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? 3 C6 5 C6 5 C6 5

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为: 1 2

?

3

1 3 1 5 5 5 1 3 1 E (? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ………………5 分 5 5 5 2 因为? ~ B(3, ) ,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为: 3 ? 0 1 2 3
P

第6页

1 6 12 8 27 27 27 27 1 6 12 8 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 ………………8 分 27 27 27 27 3 1 4 12 8 20 ? ? (Ⅱ)因为 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 2) ? 5 5 5 27 27 27
P 所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2) ………………10 分

从做对题的数学期望考察,两人水平相当;从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能 ………………10 分 性大,因此可以判断甲的实验操作能力较强。 20 解: (Ⅰ)设曲线 C 上任意一点 P(x,y), 又 F(1,0),N(-1,y),从而 PN ? (?1 ? x,0),

??? ?

???? 1 ???? ???? 1 ???? ???? ??? ? 1 1 2 NF ? (2, ? y) , PN ? NF ? (? x, ? y ) , ( PN ? NF ) ? NF ? 0 ? ?2 x ? y ? 0 2 2 2 2
化简得 y2=4x, 即为所求的 P 点的轨迹 C 的对应的方程. ??????4 分

( ( (Ⅱ)设 A x1 , y1 ) 、 B x2 , y2 ) 、 MB : y ? k2 ( y2 ?
将 MB 与 y 2 ? 4 x 联立,得: k1 y ? 4 y ? 4k1 ? 8 ? 0
2

4 ? 2 x ? 1) 、 MB : y ? k2 ( x ?1) k2

∴ y1 ?

4 ?2 k1 4 ?2 k2



同理 y2 ?



而 AB 直线方程为: y ? y1 ? ??????8 分 由①②:y1+y2= 4

y2 ? y1 yy 4 ( x ? x1 ) ,即 y ? x? 1 2 x2 ? x1 y1 ? y2 y1 ? y2



k1 ? k2 2(k1 ? k2 ) ?4 4 6 ?4 ? ? 4, y1 y2 ? 4( ? ? 1) ? 4( ? 1) k1k2 k1k2 k1k2 k1k2 k1k2

代入③,整理得 k1k2 ( x ? y ? 1) ? 6 ? y ? 0 恒成立??????10 分 则?

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 5 ?? 故直线 AB 经过(5,-6)这个定点.. ??????13 分 ? y?6 ? 0 ? y ? ?6

21.解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=3. a2 a3 an 当 n≥2 时,因为 a1+ λ +λ2+?+λn-1=n2+2n,



第7页

an-1 a2 a3 所以 a1+ λ + λ2+?+λn-2=(n-1)2+2(n-1).



an -②得λn-1=2n+1,所以 an=(2n+1)·λn-1(n≥2,n∈N*) .……………… 3 分 又 a1=3 也适合上式, …………………… 4 分 所以 an=(2n+1)·λn-1 (n∈N*). 4n-1. (Ⅱ)当 λ=4 时,an=(2n+1)· (反证法)假设存在 ar,as,at 成等比数列, 4r-1]·[(2t+1) · 4t-1]=(2s+1)2 ·42s-2. 则[(2r+1) · 整理得(2r+1) (2t+1) 4 r+t -2s=(2s+1)2. 由奇偶性知 r+t-2s=0. 所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0.这与 r≠t 矛盾, ……… 8 分 故不存在这样的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列. (Ⅲ)Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn-1. ………… 10 分 当 λ=1 时,Sn=3+5+7+?+(2n+1)=n2+2n. 当 λ≠1 时,Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn-1, λSn= 3λ+5λ2+?+(2n-1)λn-1+(2n+1)λn. λ(1-λn-1) (1-λ)Sn=3+2(λ+λ2+λ3++?+λn-1)-(2n+1)λn=3+2× -(2n+1)λn. 1-λ ①当 λ=1 时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥3,结论显然成立; λ(1-λn-1) ②当 λ≠1 时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2× -(2n+1)λn+λan 1-λ λ(1-λn-1) =3+2× 1-λ λ(1-λn-1) 而 ? ? 0 , 1 ? ? 和 1 ? ? n ?1 同号,故 1-λ ≥0 ∴ (1 ? ? )Sn ? ?an ? 3 对任意 n ? N * 都成立 ………… 14 分

第8页


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