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双曲线及标准方程(含答案)


双曲线及其标准方程
教学目标 1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程. 教学重点 1、双曲线的定义 2、双曲线的标准方程 教学过程 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么? ※ 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样? 如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在

按钉上且穿过套管,点 M 移动 时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线;由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的 反思:设常数为 2a ,为什么 2a ? F1 F2 ? ,

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 . ; . .

2a ? F1 F2 时,轨迹是 2a ? F1 F2 时,轨迹

试一试:点 A(1,0) , B(?1,0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 新知 2:双曲线的标准方程的探求: x2 y 2 类比椭圆标准方程的求法: 2 ? 2 ? 1,(a ? 0, b ? 0, c 2 ? a 2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) a b 其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) .

思考:1、若焦点在 y 轴,标准方程又如何? 2、对比椭圆的标准方程,1)形式上的异同,2)a,b,c 之间的关系以及在图形中反映的量

※ 动手试试 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

1

※ 典型例题 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6 ,求 双曲线的标准方程. 拓展:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程: ① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过点 A ? 2, 0 ? ;
2 2

② 与⊙ C1 : x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2 : x ? ? y ? 1? ? 4 都外切;
2 2

2

2

③ 与⊙ C1 : ? x ? 3 ? ? y ? 9 外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3? ? y ? 1 内切.
2 2 2 2

解题剖析: 这表面上看是圆与圆相切的问题, 实际上是双曲线的定义问题. 具体解: 设动圆 M 的半径为 r . ① ∵⊙ C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外,∴ MC ? r ?

2 , MA ? r ,因此有 MA ? MC ? 2 ,
2 y2 ?1 x ? ? 2 ; 7

∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程是 2 x 2 ?

?

?

② ∵⊙ M 与⊙ C1 、⊙ C2 均外切,∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 ,因此有 MC2 ? MC1 ? 1 ,∴
2 点 M 的轨迹是以 C2 、 C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程是 4 y 2 ? 4 x ? 1? y ? 3 ? ; ? ?

3

?

4?



∵ ? M 与 ? C1 外 切 , 且 ? M 与 ? C2 内 切 , ∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1 , 因 此

MC1 ? MC2 ? 4 , ∴ 点 M 的 轨 迹 是 以 C1 、 C2 为 焦 点 的 双 曲 线 的 右 支 , ∴ M 的 轨 迹 方 程 是
x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 4 5
例 2 已知 A, B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为 340m / s ,求炮弹爆炸点 的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差,即可知 A , B 两 地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么? 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时听到了一声巨 响, 正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s . 已知各观察点到该中心的距离都是 1020m . 试 确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 340m / s ;相关点均在同一平面内) . 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比正西晚 4s , 则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立直 角坐标系,设 A 、B 、C 分别是西、东、北观察点,则 A ? ?1020, 0 ? ,B ?1020, 0 ? ,

2

C ? 0,1020 ? .
设 P ? x, y ? 为巨响发生点, A 、C 同时听到巨响, OP 所在直线为 y ? ?x ??①, ∵ ∴ 又因 B 点比 A 点 晚 4s 听到巨响声,∴ PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m ? .由双曲线定义知, a ? 680 , c ? 1020 ,∴

b ? 340 5 ,∴ P 点在双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ? x ? ?680 ? ??②.联立①、②求出 P 点坐标 6802 5 ? 3402

为 P ?680 5, 680 5 .即巨响在正西北方向 680 10m 处. 想一想:你还有什么方法可以确定爆炸的位置吗?

?

?

※ 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. ※ 当堂检测 1.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 2.双曲线 5 x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( ) . A. ?25 B. 25 C. ?1 D. 1 3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) . A. 5 B. 13 C.
5

) .

D.

13

4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程为 . x2 y2 5.已知方程 . ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1 课后作业 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340m / s ,问炮弹爆炸点在怎 样的曲线上,为什么?

3、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距离为 16 9

3


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