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2015届高考数学(理科)一轮总复习课件:10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(人教A版)


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第九节

离散型随机变量的均值与方 差、正态分布

[最新考纲展示]
1 .理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,会 求简单离散型随机变量的均值、方差,并

能解决一些实际问题. 义. 2.

利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意

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均值 1.一般地,若离散型随机变量X的分布列为

则称E(X)=

x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

为随机变量

X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
2.若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+ b)= aE(X)+b .

3.(1)若X服从两点分布,则E(X)= p ;
(2)若X~B(n,p),则E(X)= np .
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3.(1)若X服从两点分布,则E(X)= p ; (2)若X~B(n,p),则E(X)= np .

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方差
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1.设离散型随机变量X的分布列为
则 (xi-E(X))2 描述了 xi(i= 1,2 , …, n) 相对于均值 E(X) 的偏离程 度,而D(X)=ni=1 (xi-E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了

随机变量X与其均值E(X)的 平均偏离程度 .称D(X)为随机变量X的方
差,其算术平方根为随机变量X的标准差. 2.D(aX+b)= a2D(X) . 3.若X服从两点分布,则D(X)= p(1-p) . 4.若X~B(n,p),则D(X)= np(1-p) .

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____________________[通关方略]____________________ 随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系 随机变量的均值、方差是常数,它们不依赖于样本的抽取,而样

本的平均值、方差是随机变量,它们随着样本的不同而变化.

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1.已知 X 的分布列 1 则在下列式子中①E(X)=-3; 23 1 ②D(X)=27;③P(X=0)=3, 正确的个数是( A.0 )

C.2 D.3 1 1 1 1 解析:由 E(X)=(-1)×2+0×3+1×6=-3,故①正确.

B.1

1? 1? 1? 1 ? 1 ? 1 5 ?2 ? ?2 ? 2 由 D(X)= -1+3? ×2+?0+3? ×3+?1+3? × ? 6=9,知②不正确. ? ? ? ? ? 由分布列知③正确.
答案:C
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? ? ? ?

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2 . (2014 年芜湖一模 ) 若 X ~ B(n , p) ,且 E(X) = 6 , D(X) = 3 ,则 P(X=1)的值为( )

A.3·2-2 B.2-4 C.3·2-10

D.2-8

1 解析:E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=2,n=12,则 P(X
-10 1 1 ?1?11 =1)=C12·· 2 . ? ? =3· 2

? ? ?

2?

答案:C

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3 .有10 件产品,其中 3件是次品,从中任取两件.若 X表示取到 次品的个数,则E(X)=________.
1 C2 21 C1 21 7 7C3 解析:X=0 时,P=C2 =45,X=1 时,P= C2 =45, 10 10

C2 3 3 X=2 时,P=C2 =45. 10 21 21 3 3 ∴E(X)=0×45+1×45+2×45=5.
3 答案:5

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正态分布
1.正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴 上方 ,与 x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 1 ; σ 2π

(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“ 矮胖 ”,表示总体的分布 越 分散 .

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2.正态分布的三个常用数据

(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=
(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=

0.682 6 ;

0.954 ; 4 0.997 4 .

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____________________[通关方略]____________________ 标准正态分布 在正态分布中,若 μ=0,σ=1,则正态分布称为标准正态分布, 1 x2 相应的分布密度函数为 f(x)= e- ,x∈R,相应的曲线称为标准正 2 2π 态曲线. 标准正态分布 N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位,因为任 何正态分布的概率问题都可以转化成标准正态分布的概率问题来求解.

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4.设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X≥a-2),则实数a的值
为( ) A.4 B.6

C.8

D.10

解析:依题意知P(X≤0)=P(X≥2) ∴a-2=2,∴a=4. 答案:A

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5 . 某 班 有 50 名 学 生 , 一 次 考 试 的 数 学 成 绩 ξ 服 从 正 态 分 布 N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以 上的人数为________.

解析:由题意知,P(ξ>110)=

1-2P?90≤ξ≤100? =0.2,∴该班学 2

生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.

答案:10

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离散型随机变量的均值
【例1】 (2013年高考辽宁卷)现有10道题,其中6道甲类题,4道 乙类题,张同学从中任取3道题解答. (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率; (2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每 3 4 道甲类题的概率都是 5 ,答对每道乙类题的概率都是 5 ,且各题答对与 否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期 望.

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[解析] (1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”, 则有 A =“张同学所取的3道题都是甲类题”. C3 1 6 因为P( A )=C3 =6,所以 10 5 P(A)=1-P( A )=6. (2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
?3?0 ?2?2 1 P(X=0)=C0 · ? ? ·= 2 ?5? · 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4 5 125;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?3?1 ?2?1 1 0 ?3?0 ?2?2 4 P(X=1)=C1 · · · + C ? ? · 2 ?5? ?5? 2· 5 ?5? ·=

5 5 5

5 5

28 125; 57 125;

?3?2 ?2?0 1 1 ?3?1 ?2?1 4 P(X=2)=C2 · · · + C ? ? · 2 ?5? ?5? 2· 5 ?5? ·= ?3?2 ?2?0 4 P(X=3)=C2 · ? ? ·= 2 ?5? · 5

36 125.

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所以X的分布列为

4 28 57 所以E(X)=0× 125 +1× 125 +2× 125 + 36 3×125=2.

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解析:E(2X+4)=2E(X)+4=2×2+4=8.

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反思总结 1.随机变量的均值(数学期望)等于该随机变量的每一个取值与取

该值时对应的概率乘积的和.
2.均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画 的是随机变量取值的平均水平,均值(数学期望 )是算术平均值概念的

推广,是概率意义下的平均.
3.E(X)是一个实数,则X作为随机变量是可变的,而E(X)是不变 的.

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离散型随机变量的方差
【例2】 某投资公司在2012年年初准备将1 碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可 7 2 能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为9和9; 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能 获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率 3 1 1 分别为5、3和15. (1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项 目,并说明理由; 000万元投资到“低

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[解析] (1)若按“项目一”投资,设获利ξ1 万元,则ξ1的分布列为

7 2 ∴E(ξ1)=300×9+(-150)×9=200(万元). 若按“项目二”投资,设获利ξ2万元, 则ξ2的分布列为:

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3 1 1 ∴E(ξ2)=500×5+(-300)×3+0×15=200(万元). 7 2 D(ξ1)=(300-200)2×9+(-150-200)2×9 =35 000, 3 1 1 2 2 D(ξ2)=(500-200) × 5 +(-300-200) × 3 +(0-200) × 15 =140
2

000, ∴E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.

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(2)假设n年后总资产可以翻一番,依题意: 200 ? n n 1 000× 1+1 000? ? =2 000,即1.2 =2, ? lg 2 两边取对数得:n= 2lg 2+lg 3-1 0.301 0 = ≈3.805 3. 2×0.301 0+0.477 1-1 ∴大约4年后,即在2015年年底总资产可以翻一番.
? ? ? ?

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反思总结 1.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平 均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X的取值越 集中在E(X)附近,统计中常用 D?X?来描述X的分散程度. 2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了 随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量, 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若 均值相同,再用方差来决定.

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变式训练 1 .有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重 点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品 检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选
择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分 析该用哪个厂的材料.

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解析:E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+ (9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4; E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9;

D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.
由此可知, E(X) = E(Y) = 9 , D(X)<D(Y) ,从而两厂材料的抗拉强 度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.

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正态分布

【例3】

已知某县农民的月均收入ξ服从正态分布N(1 000,402),

且P(920<ξ≤1 080)=0.954 4,则此县农民月均收入在1 000元到1 080元 之间的人数的百分比为________.

1 1 [解析] P(1 000<ξ≤1 080)= 2 P(1 000-80<ξ≤1 000+80)= 2 1 P(920<ξ≤1 080)=2×0.954 4=0.477 2.
[答案] 47.72%

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反思总结 求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意

(1)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概 率相等. ②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).

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变式训练

2.(2014年潍坊一模)设随机变量X~N(3,1),若P(X>4)=p,则 P(2<X<4)=( 1 A.2+p ) B.1-p C.1-2p 1 D.2-p

解 析 : 根 据 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 对 称 性 , 得 P(X<2) = p , 故 P(2<X<4)=1-2p.

答案:C

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——求离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一 大热点,每年均有解答题,属中档题,弄清随机变量的所有取值是正 确列随机变量分布列和求期望与方差的关键,对概型的确定与转化是 解题的基础,准确计算是解题的核心.

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【典例】

(2013年高考陕西卷)(本题满分12分)在一场娱乐晚会上,

有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢 迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3名歌手,其中观众甲是1

号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众
乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列
及数学期望.

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[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息

2.审结论,明解题方向

3.建联系,找解题突破口

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1.审条件,挖解题信息

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[教你准确规范解答] (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选 中3号歌手”,
1 C2 2 C2 3 4 则P(A)=C2=3,P(B)=C3=5 3 5



∵事件A与B相互独立, ∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 2 2 4 C1 C3 2· 4 P(A B )=P(A)· P( B )=P(A)· [1-P(B)]= 3 × 5 = 15 .(或P(A B )= C2· 3 3 C5 4 =15 分

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C2 3 4 (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=C3=5, 5 ∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=P( A P(X=1)=P(A B B 1 2 2 4 C )=3×5×5=75, 分 B C) 分

C )+P( A B C )+P( A

2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 4 =3×5×5+3×5×5+3×5×5=75=15

2 3 2 2 2 3 1 P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= 3 × 5 × 5 + 3 × 5 × 5 + 3 3 3 33 11 ×5×5=75=25, 分 分

2 3 3 18 6 P(X=3)=P(ABC)=3×5×5=75=25 ∴X的分布列为
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4 4 11 6 28 ∴X的数学期望E(X)=0×75+1×15+2×25+3×25=15

分,

[常见失分探因]

易忽视各位观众为彼此独立选票
易忽视X=1,X=2时事件的分析,分类不全 计算E(X)时易出错

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[教你一个万能模板]

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