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《正比例函数与一次函数》知识点归纳


《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数》知识点 一、 二、 表达式:y=kx (k≠0 的常数 )

图像:正比例函数 y=kx 的图像是:一条经过(0,0)和(1,k)的直线; 说明:正比例函数 y=kx 的图像也叫做“直线 y=kx” ;

三、 性质特征: 1、 图像经过的象限: k>0 时,直线过原点,在一、三象限; k<0 时,直线过原点,在二、四象限;

2、 增减性及图像走向: k>0 时,y 随 x 增大而增大 ,直线从左往右由高降低; k<0 时,y 随 x 增大而减小 ,直线从左往右由低升高; 四、 成正比例关系的几种表达形式:

1、 y 与 x 成正比例:y=kx (k≠0); 2、 y 与 x+a 成正比例:y=k(x+a) (k≠0); 3、 y+a 与 x 成正比例:y+a=kx (k≠0); 4、 y+a 与 x+b 成正比例:y+a= k(x+b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式:y=kx+b (k≠0, k, b 为常数) 注意:(1)k≠0,自变量 x 的最高次项的系数为 1; (2)当 b=0 时,y=kx,y 叫 x 的正比例函数。

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二、图像: 一次函数 y=kx+b (k≠0, (0,b)的直线。 说明: (1) 一次函数 y=kx+b (k≠0, b≠0) 的图像也叫做 “直线 y=kx+b” ; b≠0)的图像是:一条经过(- ,0)和

(2)直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标是:(- ,0); 直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标是:(0,b). 三、性质特征: 1、图像经过的象限: (1)、k>0,b>0 时,直线经过一、二、三象限; (2)、k>0,b﹤0 时,直线经过一、三、四象限; (3)、k﹤0,b>0 时,直线经过一、二、四象限; (4) 、k﹤0, b﹤0 时,直线经过二、三、四象限;

2、增减性及图像走向: k>0 时,y 随 x 增大而增大 ,直线从左往右由高降低; k<0 时,y 随 x 增大而减小 ,直线从左往右由低升高; 3、 一次函数 y=kx+b (k≠0, b≠0)中“k 和 b 的作用”:

(1) k 的作用:k 决定函数的增减性和图像的走向 k>0 时,y 随 x 增大而增大 ,直线从左往右由高降低; k<0 时,y 随 x 增大而减小 ,直线从左往右由低升高; (2) ∣k∣的作用:∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大,直线越陡,直线越靠近 y 轴,与 x 轴的夹角越大;
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∣k∣越小,直线越平缓,直线越远离 y 轴,与 x 轴的夹角越小; (3) b 的作用:b 决定直线与 y 轴的交点位置 b>0 时,直线与 y 轴正半轴相交(或与 y 轴的交点在 x 轴的上方); b﹤0 时,直线与 y 轴负半轴相交(或与 y 轴的交点在 x 轴的下方); (4)k 和 b 的共同作用:k 和 b 共同决定直线所经过的象限 四、直线的平移规律:直线 y=kx+b 可以由直线 y=kx 平移得到 当 b>0 时,将直线 y=kx:向上平移 b 个单位得到直线 y=kx+b; 当 b﹤0 时,将直线 y=kx:向下平移∣b∣个单位得到直线 y=kx+b; 五、两条直线平行和垂直: 直线 m:y=ax+b; 直线 n: y=cx+d

(1)当 a=c,b≠d 时,直线 m∥直线 n,反之也成立; 例如:直线 y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x 平行。 (2)当 ac=-1 时,直线 m⊥直线 n。反之也成立; 例如:直线 y= x+2 与直线 y=-2x+3 互相垂直

六、直线 y=kx+b 与坐标轴围成的三角形的面积公式:

S=

∣∣

七、求一次函数解析式的方法 :求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 ; (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写 出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系; (3)用待定系数法求函数解析式: “待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学 问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式 中含有几个等待确定的系数, 一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构 造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义 构造方程组。

②利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标,即 由 b 来定点;直线 y=kx+b 平行于 y=kx,即由 k 来定方向 。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程 。
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八、例题举例: 例 1.已知 y= ,其中 = (k≠0 的常数), 与 成正比例,

求证:y 与 x 也成正比例。 证明:∵ 设 ∵y= ∴y= 与 =a 成正比例, (a≠0 的常数), , ·a = (k≠0 的常数),

=akx,

其中 ak≠0 的常数, ∴y 与 x 也成正比例。 例 2.直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行,且与直线 y=-3(x-6)相交,交点在 y 轴 上,求此直线解析式。 分析:直线 y=kx+b 的位置由系数 k、b 来决定:由 k 来定方向,由 b 来定与 y 轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数 k 相等。例 y=2x,y=2x+3 的图象平行。 解:∵y=kx+b 与 y=5-4x 平行, ∴k=-4, ∵y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18 相交于 y 轴, ∴b=18, ∴y=-4x+18。 说明:一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定:由 k 来定方向,由 b 来定点,即函数图象平行于直线 y=kx,经过(0, b)点,反之亦成立,即由函数 图象方向定 k,由与 y 轴交点定 b。

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