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浙江省永嘉县楠江中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题


一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. 设全集 U ? R, 且 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? {x | x2 ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 (CU A) ? B =( ) A. [?1, 4) B. (2,3) C. (2,3] D. (?1, 4)

2.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) A. y

? x ? 1 B. y ? ? x2 C. y ?

1 x

D. y ? x | x |
2 2

3.下列命题中的真命题是( ) A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd
2 2 C.若 a ? b 则 a ? b

B.若 | a |? b 则 a ? b D.若 a ?| b | 则 a ? b
2

2

4. 已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( ) A.只有一条,不在平面 α 内 C. 只有一条,且在平面 α 内 5.已知正数 x 、 y 满足 A.1 B.有无数条,不一定在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内
?x

x y ?0 {2??y ?5?0 ,则 z ? 4 x 3

1 ? ( ) y 的最小值为( ) 2
D.

B.

1 4

C.

1 16

1 32

6. “ a ? ?1 ”是“函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ?1 只有一个零点”的( ) A.充分必要条件 7.已知 a1 , ( ) B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.非充分必要条件

a a2 a3 , ,..., n ,... 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列{ an}的第 100 项等于 a1 a2 an?1
O

A.25050 B.24950

C.2100

D. 299 中 , 设

P

8 . 如 图 , 在 等 腰 直 角 ?ABO

??? ? ??? ? ? ? OA ? a, OB ? b , OA ? OB ? 1, C 为 AB 上靠近点 A 的四等分

??? ? ? 点,过 C 作 AB 的垂线 L ,设 P 为垂线上任一点, OP ? p,
则 p ? (b ? a) ? ( ) A. ?

A

C

B

?

? ?
1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D .

3 2

9.巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0, 2? )) 有两个不同的零点 x1、x2 ,方程 f ( x) ? m 有两个不同 的实根 x3、x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 ( )

A. ?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D .?

3 2

? 1 ?x ? , x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f (2x2 ? x) ? a ( a ? 2 )的根的个数不可能为 x ? x3 ? 3, x ? 0 ?
( ) A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.已知

2 ? 3i ? a ? bi (a, b ? R, i 为虚数单位) ab = ,则 i

▲ .

12.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等 可能的,则甲、乙两位同学不参加同一个兴趣小组的概率为 13.已知向量 a ? (2,1), a? ? 10,| a ? b |? 5 2, 则b|= b | ▲ .

?

??

? ?

? ?

▲ .
2

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F 的抛物线 y =2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离 为 15,则线段 PF 的长为 ▲ .

15.数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则
0 1 2 3 99 100 a1C100 ? a2C100 ? a3C100 ? a4C100 ? ........ ? a100C100 ? a101C100 ?

▲ .

16.已 知直线 x ? a (0 ? a ?

?
2

) 与函数 f ( x) ? sin x 和 函数 g ( x) ? cos x 的 图象分别交 于
▲ .

M , N 两点,若 | MN |?

1 ,则线段 MN 的中点纵坐标为 5

17.我们把具有以下性质的函数 f ( x) 称为“好函数”:对于在 f ( x) 定义域内的任意三个数

a, b, c ,若这三个数能作为三角形的三边长,则 f (a ), f (b), f (c) 也能作为三角形的三边
长.现有如下一些函数: ① f ( x) ?
x

其中是“好函数”的序号有



x

② f ( x) ? 1 ? x, x ? (0, ) ④ f ( x) ? sin x , x ? (0, ? ) .

1 2

③ f ( x) ? e , x ? (0,1)

数学参考答案(理科)
一、选择题 1 C 二、填空题 11、____-6_____ 2 D 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 A

2 12、_____ 3 _____

13、____5______

14、_____

7 _____ 2

15、______1______

16、____

7 _____ 10

17、___①②③___

2 2 a 2 ? c 2 ? b2 得 a ? c ? ac ? 4 ? 0 …… 9 分 (2)? B ? , b ? 2,由余弦定理 cos B ? 3 2ac

?

2 2 又? a ? c ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立. )

S ?ABC ?

1 3 ac s i n ? B ac ? 3 2 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立. )

…… 14 分

?2a1 ? a2 ? 3 ? 19.解:(1)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3

…………4 分

(3)由(2)知 bn ? 3n ,即 an ? 2n ? 3n 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
n n

…………11 分

an ?2? 4 ?2? 1 ? 1 ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,所以 n ? 4 ,所以 n 的最小正整数为 4. ………15 分 n 3 ?3? 5 ?3? 5
20. 解:(1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC.又因为 DE ? 平面 A1CB,所以 DE∥平 A1CB. …………4 分 (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD.所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F ? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE.所以 A1F⊥BE …………9 分

2 (3) 过 F 做 FG 垂直 BE 交 BE 于点 G,设 DF=x,则 A1 F ? 1 ? x , FG ?

1? x 2

因为 A1F ? FG ,? 1 ? x ?
2

1 2 1? x ,解得 x ? ,所以 AC 上存在点 F,点 F 在距离点 C 3 3 2
…………14 分



注:向量法酌情给分

22 .解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ( x) ?
'

1 1? a ?a? 2 x x
? x , 1 f (1) ? ?2, f ' ( x) ? ?

…………2 分

( 1 ) 当 a ?1 时 ,

f ( x? )

l n x ?

1 ? 1,? f ' (1) ? 0 x
…………5 分

∴ f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 (2) f ( x) ? ?
'

x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ?? 2 3x 3x 2

…………6 分

' ' ∴当 0 ? x ? 1 ,或 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0

故当 a ?

1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (1, 2) ; 3
…………8 分

单调递减区间为 (0,1) , (2, ??) . (3)当 a ?

1 时,由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 (1, 2) 上为增函数,∴函数 f ( x ) 在[1,2]上 3 2 的最小值为 f (1) ? ? …………9 分 3
若 对 于 ?x1 ?[1, 2], ?x2 ?[0,1] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立 ? g ( x) 在 [0,1] 上 的 最 小 值 不 大 于

f ( x) 在[1,2]上的最小值 ?

2 (*) 3

…………10 分


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