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高中数学必修2第四章圆与方程课件


4.1.1

我们在前面学过,在平面直角坐标系中, 两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定 一条直线.在平面直角坐标系中,如何确定 一个圆呢?
y M

r
A

O

x

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确 定了. 因此一个圆最基

本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位 置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意 点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离. y
r O

M(x, y)

(a,b) A

x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用 描述法来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合:
p ? ?M || MA | ? r ?

y r (a,b) A O

M(x, y)

x

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距 离能用什么公式表示? 2 2 根据两点间距离公 P1 P2 ? ? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y 1 ? . 式: 2 2 MA ? ? x ? a ? ? ? y ? b ? . 则点M、A间的距离 为: p ? ?M | MA |? r ? 即:
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

圆的标准方程
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适 合这个方程的坐标的点都在圆上? 点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M 的坐标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适 合方程,这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即 点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上. 把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation of circle).

注意以下三点: 1.已知圆心C(a,b),半径为r,则圆

的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
2.当圆心在坐标原点时,圆的标准 方程为x2+y2=r2.

3.圆的标准方程的优点在于明确地
指出了圆心和半径.

练 习 : 1、 写 出 下 列 各 圆 的 方 程 : (1 )圆 心 在 点 C (3 , 4 ), 半 径 是
5

(x -3 ) 2 + (y -4 ) 2 = 5

(2 ) 经 过 点 P (5 ,1 ),圆 心 在 点 C (8 ,-3 )
(x -8 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 2 5

补充练习: 写出圆的圆心坐标和半径: (1 ) (x + 1 ) 2 + (y -2 ) 2 = 9 (2 )(x + a ) 2 + y 2 = a 2
(-1 ,2 ) 3

(-a ,0 )

|a |

点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、 内、外的条件是什么?通过比较点到圆心的
距离和半径r的大小关系

(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2

点M0在圆上

点M0在圆 内 点M0在圆外

典型例题
例1. 写出圆心为 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆 的方程,并判断点 M 1 ( 5 , ? 7 ) , 2 ( ? 5 , ? 1) 是否 M 在这个圆上. 解:圆心是 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆 的标准方程是: x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 25 (
把 左右两边相等,点 M 的坐标适合圆的方程,所 以点 M 在这个圆上; M
M 1 (5,? 7 )
2 2

的坐标代入方程 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25
1

1

1

把点 M 2 ( ? 5 , ? 1) 的坐标代入此方程,左右两边不相等, 点 M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2 不在这个 圆上.

典型例题
例1 写出圆心为 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的 M 圆的方程,并判断点 M ( 5 , ? 7 ) , ( ? 5 , ? 1) 是否在这个圆上. 解:圆心是 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆 的标准方程是:x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 (
1
2
2 2

y

M
2

o
A M
1

x

典型例题
的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

例2

? ABC

分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个 圆,三角形有唯一的外接圆. 解:设所求圆的方程是 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r (1)因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它 们的坐标都满足方程(1).于是
2 2 2

? ( 5 ? a ) ? (1 ? b ) ? r ? 2 2 2 (7 ? a ) ? (? 3 ? b ) ? r ? 2 2 2 ? (2 ? a ) ? (?8 ? b) ? r ?
2 2 2

典型例题
的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

例2

? ABC

分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个 圆,三角形有唯一的外接圆. 解此方程组,得: 解:
? a ? 2, ? ? b ? ? 3, ? 2 ? 25. ?r
? 所以, ABC 的外接圆的方( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 程 .
2 2

小结: 1.圆的标准方程中含有三个参变数, 必须具备三个独立的条件;才能定出 一个圆的方程,当已知曲线为圆时, 一般采用待定系数法求圆的方程。 2.求圆的标准方程的一般步骤为: (1)根据题意,设所求的圆的标准方 程为 (x-a)2+(y-b)2=r2;

(2)根据已知条件,建立关于a、b、 r的方程组;

(3)解此方程组,求出a、b、r的值;
(4)将所得的a、b、r的值代回所设

的圆的方程中,就得到所求的圆的标
准方程.

例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2) 圆心 C在直线l: x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

l

y
O C

A
x

B

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准 方程. 分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置 与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), l 由于圆心C与A, B两点的距离相等,所以圆心C在线段 l AB的垂直平分线 上.又圆心C在直线l 上,因此圆心 C是直线l与直线 的交点,半径长等于|CA|或|CB|. 解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D 的坐标 ( 3 , ? 1 ), 直线AB的斜率:
' '

2

2

k AB ?

? 2 ?1 2 ?1

? ?3

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准 方程. ' l 解: 因此线段AB的垂直平分线 的方程是
y ? 1 2 ? 1 3 (x ? 3 2 )

即x ? 3 y ? 3 ? 0 圆心C的坐标是方程组
?x ? 3y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0

的解.

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准 方程. ? x ? ? 3, 解:解此方程组,得?
? y ? ?2.

所以圆心C的坐标是 ( ? 3 , ? 2 )
圆心为C的圆的半径长
r ? | AC | ? (1 ? 3 ) ? (1 ? 2 )
2 2

?5

所以,圆心为C的圆的标准方 程是 2 2

( x ? 3 ) ? ( y ? 2 ) ? 25

练习: (1)圆心在点C(-2,1)并过点A(2,-2); (2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 . (3).已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为 直径的圆的方程, 并判断M(6,9)和N(5,3)是在圆上、圆外,还是 在圆内?

(1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2);

? 解:(1)所求圆的半径r=|CA|=5,因为圆心在 点C(-2,1),所以所求圆的方程为(x+2)2+(y- 1)2=25.

(2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 .
解:(2)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x- a)2+(y-b)2=5. 已知圆过点(0,1)和点(2,1),代入圆的方程得
? a ? (1 ? b ) ? 5 ? 2 2 ( 2 ? a ) ? (1 ? b ) ? 5 ?
2 2

解得

? a1 ? 1 ? ? b1 ? ? 1



? a2 ? 1 ? ? b2 ? 3

因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y- 3)2=5。

(3).已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的 圆的方程,并判断M(6,9)和N(5,3)是在圆上、圆外, 还是在圆内? 解:由已知得圆心坐标为C(5,6),半径r的平方为 r2=10

所以圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10, 将M,N点的坐标代入方程得 (6-5)2+(9-6)2=10,(5-5)2+(3-6)2<10,
所以点M在圆上,点N在圆内.

例4.求过点A(6,0),B(1,5),且圆 心在直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程。 解法1. 直线AB的斜率k=-1,所以AB 的垂直平分线m的斜率为1, AB的中点的横坐标和纵坐标分别 7 5 为x= 2 ,y= 2 . 因此直线m的方程为y- 2
7

=x- 2

5



即x-y-1=0.

又圆心在直线l上,所以圆心是直线l 与直线m的交点,解联立方程组
? x ? y ?1 ? 0 ? ?2x ? 7 y ? 8 ? 0



?x ? 3 ? ?y ? 2

所以圆心的坐标是C(3,2),半径 r=|CA|= 13 ,

所以圆的方程是(x-3)2+(y- 2)2=13.

解法2. 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y -b)2=r2,由题意得
? (6 ? a ) ? (0 ? b ) ? r ? 2 2 2 ? (1 ? a ) ? (5 ? b ) ? r ? 2a ? 7b ? 8 ? 0 ?
2 2 2

? a ? 2 ? 解得 ? b ? 3 ?r 2 ? 13 ?

所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.

练习题: 1.圆(x-1)2+(y+1)2=2的周长是 ( C )

(A) 2π (C)2


(B)2π (D)4π

2.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆 的方程是( C ) (A)x2+y2=25 (B)x2+y2=5

(C)(x-3)2+(y-4)2=25,
(D)(x+3)2+(y+4)2=25,

3.已知圆心在P(-2,3)并且与y轴

相切,则该圆的方程是( B (A)(x-2)2+(y+3)2=4 (B)(x+2)2+(y-3)2=4
(C)(x-2)2+(y+3)2=9



(D)(x+2)2+(y-3)2=9

4.过点A(1,-1),B(5,6)且圆心在 直线x+y-2=0上的圆的方程为( C )

(A)(x-3)2+(y+1)2=4
(B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4

(D)(x+1)2+(y+1)2=4

5.以(A(-1,2),B(5,6)为直径端点的圆的

(x-2)2+(y-4)2=13 。 方程 是 6圆心在 3x-y=0 上与x轴相切并且被

直线 y=x 截得的弦长为 2 的圆的方 (x-1)2+(y-3)2=9或 程 (x+1)2+(y+3)2=9 是

7

知识小结
圆的基本要 素

圆的标准方 程
圆心在原点 的圆的标准 方程 判断点与圆 的位置关系


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