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特级数学名师珍藏题第22讲 选修4系列部分知识经典精讲 课后练习


第 22 讲 选修 4 系列部分知识经典精讲
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学特级教师 题一:在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ? x ? t ? 1, π 已知射线 ? ? 与曲线 ? (t 为参数)相交于 A,B 两点, 2 4 ? y ? (t ? 1) 则线段 AB 中点的直角坐标为__________.


题二:在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 点,求圆 C 的极坐标方程。

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交 3? 2 4 ?

?

题三:直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为___________.

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? (t ? R ) ,它 题四:已知两曲线参数方程分别为 ? (0 ? ? ? ? ) 和 ? 4 y ? sin ? ? ? ? ?y ? t
们的交点坐标为___________. 题五:如图,在极坐标系中,过点 M (2, 0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ? _________ .

?
6

.

题六:已知平面直角坐标系 xOy 内,直线 l 的参数方程式为 ?

?x ? t (t 为参数) , ?y ? t ? 2

以 Ox 为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位) ,圆 C 的极坐标方程 为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是

.

题七:在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, (t 为参数) ? y ? 1 ? 2t
.

与曲线 C2 : ?

? x ? a sin ? , ( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 x 轴上,则 a ? ? y ? 3cos ?

题八:若直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k = ? y ? 2 ? 3t

.

题九:如图,PA 切圆 O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1, OA 绕点 O 逆时针旋转 600 到 OD,则 PD ? .

题十:已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2 , AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为______.

题十一:如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , AC 是圆 O 的直径,

PC 与圆 O 交于点 B , PA ? 4 ,圆 O 的半径是 2 3 ,那么 PB ? __________ .

题十二:如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A, B ,且 PB ? 7 ,

C 是圆上一点使得 BC ? 5 , ?BAC ? ?APB ,则 AB ? ___________.

题十三:若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是___________.

题十四:已知 f ( x) ?| ax ? 1| (a ? R) ,不等式 f ( x)? 3 的解集为 {x | ?2剎 x? 1 },则 a ?

.

题十五:对于任意实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | (| x ? 1| ? | x ? 2 |) 恒成立,求 实数 x 的取值范围. 1 题十六:已知 f ( x) ? x2 ? px ? q ,求证: | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 . 2 题十七:如图矩形 OABC 在变换 T 的作用下变成了平行四边形 OA?B?C ? ,求变换 T 所对应 的矩阵 M .

?1? 题十八:已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? , 并且矩阵 M 对应 ?1? 的变换将点 (?1, 2) 变换成 (?2, 4) .
(1)求矩阵 M ; (2)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系; (3)求直线 l : x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ' 的方程.

第 22 讲
题一: P( , ) 详解: ? ?

选修 4 系列部分知识经典精讲

5 5 2 2

π 在直角坐标系下的一般方程为 y ? x( x ? R) , 4
? x ? t ? 1, ? y ? (t ? 1)
2

将参数方程 ?

(t 为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为

y ? (t ? 1) 2 ? ( x ? 1 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 表示一条抛物线,
联立上面两个方程消去 设

y 有 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,

A、B 两点及其中点 P 的横坐标分别为 x A、xB、x0 ,

则有韦达定理 x 0

?

x A ? xB 5 ? ,又由于点 P 点在直线 y ? x 上, 2 2
5 5 2 2

因此

AB 的中点 P( , ) .

题二: ? =2cos?

详解:∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ?

?? 3 ? ? ??? 与极轴的交点, 3 2 ? ?

∴在 ? sin ? ?

?? 3 ? ? ??? 中令? =0 ,得 ? ? 1 . 3? 2 ?

∴圆 C 的圆心坐标为(1,0). ∵圆 C 经过点 P

?

2,

? ,∴圆 C 的半径为 PC ? 4

?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1 ? 2 cos

?
4

=1 .

∴圆 C 经过极点.∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? .

题三:

3
1 2
与x
2

详解:将极坐标方程化为普通方程为 x =

+ y 2 = 2x ,联立方程组成方程组求出两交点的坐标

1 3 1 3 ) ,故弦长等于 3 . ( , ) 和 ( ,2 2 2 2

题四: (1,

2 5 ) 5

详解: ?

? x ? 5 cos ? x2 ? ? y 2 ? 1 (? 5 ? x ? 5且0 ? y ? 1) , 表示椭圆 5 ? ? y ? sin ?

5 2 ? 4 ?x ? t 2 4 表示抛物线 y ? x , ? 5 ? ?y ? t
? x2 ? y 2 ? 1(? 5 ? x ? 5且0 ? y ? 1) ? ?5 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x ? 1 或 x ? ?5 (舍去) ,又因 ? ? y2 ? 4 x ? 5 ?
为0 ?

y ? 1 ,所以它们的交点坐标为 (1,

2 5 ). 5

题五:

f (? ) ?

sin( ? ? ) 6

?

1

.(或

f (? ) ?

1

cos(? ? ) 3
? 1 , 3

?

)

详解: M (2, 0) 的直角坐标也是(2,0),斜率 k

所以其直角坐标方程为 x ?

3y ? 2 ,
1 3 sin ? ) ? 1 , ? ? 3 sin ? ? 2 , ? ( cos ? ? 2 2

化为极坐标方程为: ? cos?

? ? sin( ? ? ) ? 1 , ? ?
6

sin( ? ? ) 6
.(或

?

1

,



f (? ) ?

sin( ? ? ) 6

?

1

f (? ) ?

1

cos(? ? ) 3

?

).

题六:相切 详解:直线 l 的方程式为 x ?
2 2 y ? 2 ? 0 ,圆 C 的方程为 (x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ? 2,

( 1,1 ) 所以圆心 到直线 l 的距离 d

?

|1 ?1 ? 2 | 12 ? (?1)2

? 2?r,

因此直线 l 与圆 C 的位置关系是相切.

题七:

3 2

详解:曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, 3 直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0) ; 2 ? y ? 1 ? 2t

曲线 C2 : ?

? x ? a sin ? , x2 y 2 ? 1 ,其与 x 轴交点为 (?a,0),(a,0) , 直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3cos ?
3 . 2

由a

? 0 ,曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,知 a ?

题八: ?6 详解:将 ?

? x ? 1 ? 2t 3 7 3 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t
4 ? 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? ?6 ; k ? 2? ? k ?

当k

? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k 2 ? ?

3 7 ? 0 时,直线 y ? ? x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直. 2 2 综上可知, k ? ?6 .
当k 题九: 7 详解:如图,作 DE⊥CB 于 E.

∵OB=PB=1,∴OA=1.又∵PA 切⊙O 于点 A,则 OA⊥AP,∴∠AOP=60° . 又∵OA 绕点 O 逆时针方向旋转 60° ,∴∠DOC=60° . ∴DE=1× sin60°?

3 1 2 3 2 1 ) ? 7. , EO ? ,∴ PD ? (1 ? 1 ? ) ? ( 2 2 2 2

题十:

7 2
? CF ? 2 ,所以 F
是 CD 的中点.连结

详解:因为 DF

AC 取 AC 的中点 O ,

则 O 为圆心.设 BE 由 DF

? x ,则 AF ? 4 x, FB ? 2 x .

FC ? AF BF ,得 2 ? 2 ? 4 x 2 x ? 8x2 ,即 x ?
2

1 , 2

所以根据切线长定理可得 CE

? BE AE ? x(4x ? 2x ? x) ? 7 x2 .

所以 CE

? 7x ?

7 2

.

题十一: 2 详解:由题意知 PC 所以 PC
2

? PA2 ? AC 2 ? 42 ? (4 3)2 ? 64 ,

? 8 ,根据切线长定理可得 PA2 ? PB PC ,

PA2 42 ? ? 2. 即 PB ? PC 8

题十二:

35

详解:由弦切角定理得 ?PAB

? ?ACB ,又 ?BAC ? ?APB , PB AB ? 则△ PAB ∽△ ACB ,则 , AB BC

AB2 ? PB ? BC ? 35 ,即 AB ? 35 .
题十三: 详解:

?2 ? a ? 4

a ?1 ?| x ? a | ? | x ?1|? 3 ,解得: ?2 ? a ? 4 .
2.

题十四:

详解:由 | ax ? 1|? 3 得 ?4 ? ax ? 2 ,又不等式 所以当 a ? 0 时,不合题意;当 a ? 0 时, ?

f ( x)? 3 的解集为 {x | ?2剎 x? 1 },

4 2 ? x ? ,得 a ? 2 . a a

题十五:

1 5 ≤x≤ 2 2 |a-b|+|a+b| 恒成立, |a|

详解:由题知,|x-1|+|x-2|≤ 故|x-1|+|x-2|不大于

|a-b|+|a+b| 的最小值. |a| ∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|, 当且仅当(a+b)(a-b)≥0 时取等号, |a-b|+|a+b| ∴ 的最小值等于 2. |a| ∴x 的取值范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤ 2 的解. 1 5 解不等式得 ≤ x ≤ . 2 2 题十六: 证明略。

1 详解:证明:假设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 都小于 , 2 则 | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) |? 2 . 而 | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) | ? | f (1) ? f (3) ? 2 f (2) | =|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2, 与 | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) |? 2 矛盾, 1 ∴ | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 . 2

题十七:

-1? ?0  M ?? 1? ?1   ?

详解:法一:由矩形 OABC 变换成平行四边形 OA?B?C ? 可以看成先将矩形 OABC 绕着 O 点旋转 90 , 得到矩形 OA??B??C ?? ,然后再将矩形 OA??B??C ?? 作切变变换得到平行四边形 OA?B?C ? . 故旋转变换矩阵为: ?

?cos 90   - sin 90 ? ?0   -1? ??? ? cos 90 ? ?1 0 ? ?sin 90  

切变变换: ?

0? ?x ? ? x ? ? x? ? ?  x ? ?1   ?? ??? ?? ? ? ?? ?, ? y ? ? y?? ? ? x ? y ? ?-1 1? ? y ?

?1 0 ? ? 切变变换矩阵为 ? ? ?-1 1?

2 0 0 -1? ?0  -1? ?1 0? ?0  ?? 9 ?, ? 矩阵 M ? ? ? ? ? 1 ?-1 1? ?1 0 ? ?1   0 ? 3 ?a b ? 法二:设矩阵 M ? ? 1 A? 2,0? ? A? ? 0,2? , B ? 2,1? ? ? ?1,3? , ? ,则点 c   d ? ? 8
故: ?

? a b ? ? 2? ? 2a ? ?0? ?a b ? ? 2? ? 2a ? b ? ?-1? ?? ? ? ? ?=? ?,? ?? ? ? ? ??? ?, ?c d ? ?0 ? ? 2c ? ?2? ?c d ? ?1 ? ?2c ? d ? ?3 ?

? 2a ? 0 ? 2c ? 2 ? 即: ? ? 2 a ? b ? ?1 ? ? 2c ? d ? 3 ?a ? 0 ?b ? ?1 -1? ?0  ? 解得: ? , ?M ? ? ?. 1    1 c ? 1 ? ? ? ? ?d ? 1

题十八: (1) M

?6 2? (2 ) ? ? 2 , 2 x ? y ? 0 ; (3) x ? y ? 2 ? 0 . =? ?; ? 4 4? ?a ? b ? 8, ?1? ?1? ?8 ? ?1? =8 ?1? = ?8 ? ,故 ?c ? d ? 8. ? ? ? ? ? ? ?

详解: (1)设 M

?a b ? ?a b ? ,则 ? ?? ? ? ?c d ? ?c d ?

?a b ? ?c d ? ? ?

??a ? 2b ? ?2, ? ?1? ? ?2 ? ? 2 ? = ? 4 ? ,故 ??c ? 2d ? 4. ? ? ? ? ?

联立以上两方程组解得 a

? 6, b ? 2, c ? 4, d ? 4 ,故 M = ? ?. ? 4 4?
f (? ) ? (? ? 6)(? ? 4) ? 8 ? ? 2 ? 10? ? 16 ,

?6 2?

(2)由(1)知,矩阵 M 的特征多项式为

故其另一个特征值为 ? ? 2 . 设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2 解得 2 x ?

?6 x ? 2 y ? ? x? ? x? 则 Me2 ? ? ?? ?, ? 2? ? , ? ? y? ?4 x ? 4 y ? ? y?

y?0.

(3)设点

( x , y ) 是 直 线 l 上 的 任 一 点 , 其 在 矩 阵 M 的 变 换 下 对 应 的 点 的 坐 标 为 ( x' , y ' ) , 则

? 6 2 ? ? x ? ? x' ? ?4 4? ? y ? = ? ' ? , ? ? ? ? ?y ?

1 ' 1 ' 1 3 x ? y , y ? ? x' ? y' ,代入直线 l 的方程后并化简得 x' ? y ' ? 2 ? 0 , 4 8 4 8 x ? y ? 2 ? 0 即 .
即x?


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