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高中数学竞赛辅导课件(三)——函数


竞赛辅导( 函数( 竞赛辅导(三)函数(上)
函数的定义域、 值域、 函数的定义域 、 值域 、 图象与性质是 历届高中数学联赛中的重点和热点内容, 历届高中数学联赛中的重点和热点内容, 通常出现在一试的题目中, 通常出现在一试的题目中 , 并以二次函数 问题为最, 作为代数解决问题的工具, 问题为最 , 作为代数解决问题的工具 ,也 时常需运用函数思想来解决一些更有挑

战 的竞赛试题. 的竞赛试题.

1

函数 1.函数的值域(最值)及其求法 1.函数的值域(最值) 函数的值域 主要方法有单调性法、换元法、判别式法、 主要方法有单调性法、换元法、判别式法、不 等式法、配方法. 等式法、配方法. 函数的性质与图象 2.函数的性质与图象 主要指单调性 奇偶性、周期性、对称性等, 指单调性、 主要指单调性、奇偶性、周期性、对称性等, 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时, 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧 妙地利用函数及其图象的相关性质, 妙地利用函数及其图象的相关性质,可以使问题得到 简化,从而达到解决问题的目的. 简化,从而达到解决问题的目的. 3.二次函数问题(热点问题) 3.二次函数问题(热点问题) 二次函数问题 在高考和高中联赛中都占有重要的地位. 在高考和高中联赛中都占有重要的地位. 注意解析式与函数的图象的关系. 注意解析式与函数的图象的关系. 函数方程与迭代 了解一下) 方程与迭代( 4.函数方程与迭代(了解一下) 含有未知函数的等式的方程叫做函数方程. 含有未知函数的等式的方程叫做函数方程. 2

函数的值域(最值) 一.函数的值域(最值)及其求法 1.求下列函数的值域 求下列函数的值域: 思考 1.求下列函数的值域: ⑴y=

[ ?1,1]

x ? 1? x
2

x ⑵y= 2 (教程 P38 ) x ? x +1
? 1 ? ? ? 3 ,1? ? ?

⑶y = x + x ? 3 x + 2 (教程 P38 )
? 3? ?1, 2 ? U [ 2, +∞ ) ? ?

思考 2.若函数 y = log 3 ( x 2 + ax ? a ) 的值域为 R , 2.若函数 的取值范围是______. ______.( 则实数 a 的取值范围是______.(94 年第 5 届“希 望杯”全国数学邀请赛) 望杯”全国数学邀请赛)a ≤ ? 4 或 a ≥ 0
3

1答案 答案

2答案 答案

⑶解:∵ y = x + x 2 ? 3x + 2 的定义域为 ( ?∞ ,1] U [ 2, +∞ ) ∴当 x ∈ [ 2, +∞ ) 时, y ∈ [ 2, +∞ ) ;
2

上是增函数, ⑴易知 y = x + x 2 ? 3 x + 2 在 [ 2, +∞ ) 上是增函数,

3 32 1 3 ⑵当 x ≤1 时∵ y = x + x ? 3x + 2 = x ? + (x ? ) ? + 2 2 4 2 1 ? 3 4 = + 在 ( ?∞ ,1] 上是减函数 2 3 2 1 3 (x ? ) ? + ? x 2 4 2 3 ∴当 x ≤ 1 时, > y ≥ 1 2 ? 3? 2 综上所述, 综上所述,函数 y = x + x ?3x + 2 的值域为 ?1, ? U [ 2, +∞ ) ? 2?
4

[法一]: 法一] 根据函数值域定义, 法一 根据函数值域定义, 对于任意实数 y , 关于 x 的 2 2 y 方 程 log 3 ( x + ax ? a ) = y 即 x + ax ? a ? 3 = 0 恒 有 解, 因此 ? = a 2 + 4(a + 3 y ) = a 2 + 4a + 4 ? 3 y ≥ 0 —— *) ( 恒 成 立 , Q4? 3y > 0 ∴ ( * ) 式 成 立 的 充 要 条 件 是 a 2 + 4a ≥ 0 ,解得 a ≤ ? 4 或 a ≥ 0 . [法二]:根据对数函数和二次函数的性质, 2 u( x ) = x + ax ? a( x ∈ R ) 的 最 小 值 不 大 于 0 , 即
a2 ? a ? ≤ 0 解得 a ≤ ? 4 或 a ≥ 0 . 4 评注] [评注 ]:解法一运用转化思想把对数函数转化为指数 形式( 的二次方程)获得解答; 形式(关于 x 的二次方程)获得解答;解法二运用对数 函数和二次函数的性质获得思路. 函数和二次函数的性质获得思路.
5

练习一: 函数的值域(最值) 练习一: 函数的值域(最值)及其求法 1.(教程 9)函数 的值域是( 1.(教程 P44 9)函数 y = x + 2 x ? 1 的值域是( A ) ? ? 1? 1? (A) ? y y ≥ ? (B) ? y y ≤ ?(C) { y y≥0} (D) { y y ≤0} 2? 2? ? ? 2.(教程 5)函数 2.(教程 P85 5)函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在 [-3,3]上的最小值是 4 . ] 3.( 教程 P86 14)求函数 f (x) = x4 ?3x2 ?6x+13 ? x4 ? x2 +1 14)求函数 的最大值. 的最大值. 1 0 4.( 教程 P86 17)设 f ( x ) = ? x 2 + 2tx ? t , x ∈ [ ?1,1] 17)设 求 ? f ( x )max ?min . ? ?

1 ? 4

6

2答案 答案

3,4答案 答案

2.[分析]这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题, [分析] 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题, 是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难 表面上看起来很难.但借助于配方 是一个四次函数的最值问题 表面上看起来很难 但借助于配方 换元法及二次函数极( 值性质,可得结果 可得结果. 法、换元法及二次函数极(最)值性质 可得结果 解:∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5 =(x2+5x+5)2+4 5 2 5 2 2 2 设 t=x +5x+5, 则 y=t +4, 对 t=x +5x+5=(x+ ) ? , x∈[-3,3], 易知 , , , 2 4 5 tmin= ? ,tmax=29 4 5 5 2 抛物线开口向上,对称轴 ∴y=t +4,t∈[ ? ,29]抛物线开口向上 对称轴 t=0∈[ ? ,29], 抛物线开口向上 , 4 4 ∴ymin=4 故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在[-3,3]上的最小值是 4. ]
7

3.∵ 练习 3.∵ f ( x) = ( x ? 3)2 + ( x 2 ? 2)2 ? x 2 + ( x 2 ? 1)2 的几何意义是抛物线 ∴可知函数 y = f ( x ) 的几何意义是抛物线 y = x 上的点 2 的距离之差. P( x, x ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差.
2

∴ PA ? PB ≤ AB = 10
练习 4.∵ f ( x ) = ?( x ? t )2 + t 2 ? t , ? 1 ≤ x ≤ 1 . 当 t ≤ ?1 时, f ( x )max = f ( ?1) ; 当 ?1 < t < ?1 时, f ( x )max = f ( t ) ; 当 t ≥ 1 时, f ( x )max = f (1) ;

??3t ? 1(t ≤?1) 1 ?2 ∴ f ( x)max = ?t ? t (?1 < t < 1) 不难得到 ? f ( x)max ?min = ? ? ? 4 ?t ? 1 (t ≥1) ?
8

二.函数的性质与图象 思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x,总有 (1)f (a-x) = f ( b + x ),这里 a,b 是常数, 问函数的图像有什么性质,证明你的结论; (2)f (a-x) =-f ( b + x ),这里 a,b 是常数, 问函数的图像有什么性质,证明你的结论. 已知(3x+ 思考 2. (1)已知 +y) 已知 +x +4x+y=0, + = , 求 4x+y 的值 + 的值. (2)解方程 +8)2007+x2007+2x+8=0 解方程:(x+ 解方程 + = 思考 3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 定义在实数集上的函数 , f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个不同的实 成立, + = - 成立 = 数根,那么所有实数根的和为( ) 数根,那么所有实数根的和为 (A)150 (B)
303 2

2007

2007

(C)152
2答案 答案

(D)

305 2

9

1答案 答案

3答案 答案

1.解:(1)设y = f (a-x) = f ( b+ x )则点P (a-x,y), 1.解:(1)设 则点P Q ( b + x, y) 都在函数y = f (x)的图像上. 都在函数y 的图像上.



,且被其平分, 且被其平分, 2 +b a ∴ P、Q 两点关于直线x = 对称 而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点 又是曲线y

∴ PQ 垂直直线 x =

(a ? x) + (b + x) a + b 且P、Q 两点纵坐标相等, 两点纵坐标相等, = 2 a+b 2

∴ 函数y = f (x)的图像关于直线 x = a + b 对称. 函数y 对称.
2

2

(2)设 y= f (a-x)=-f (b + x ),则点R (a-x,y),S ( b+x, )=- ),则点 则点R 都在函数y 的图像上. -y)都在函数y = f (x) 的图像上.
?b + x + a ? x a + b = ? ? 2 2 ∴? ?? y + y = 0 ? 2 ?

a+b ,0 线段RS的中点是定点 的中点是定点M( ). ∴线段 的中点是定点 2

即R、S两点关于定点M 对称,而R、S是曲线y = f (x)上的动点. 两点关于定点M 对称, 是曲线y 上的动点.

a+b ,0 对称. 函数y ∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M( )对称. 2

10

2.(1)解:构造函数f(x)=x2007+x,则 解 构造函数 = , f(3x+y)+f(x)=0 + + = 注意到f(x)是奇函数且为 上的增函数, 是奇函数且为R上的增函数 注意到 是奇函数且为 上的增函数, =-x 所以 3x+y=- ∴4x+y=0 + =- + =
(2)解:原方程化为(x+8)2007+(x+8)+x2007+x=0 解 原方程化为 + + + = 即(x+8)2007+(x+8)=(-x)2007+(-x) + + =- - 构造函数f(x)=x2001+x 构造函数 = 原方程等价于f(x+ = - 原方程等价于 +8)=f(-x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 而由函数的单调性可知 是 上的单调递增函数 于是有x+ =- =-x 于是有 +8=- =-4为原方程的解 ∴ x=- 为原方程的解 =-

11

3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 定义在实数集上的函数 , f(x+1)=f(2-x)成立, f(x)=0 仅有 101 个不同的实数 成立, + = - 成立 若 = 那么所有实数根的和为( ) 根,那么所有实数根的和为 (A)150
303 (B) 2

(C)152

305 (D) 2

3 提示:由已知, 提示:由已知,函数 f(x)的图象有对称轴 x= 的图象有对称轴 = 2 于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
3 即有一个根就是 ,其余 100 个根可分为 50 对,每一对 2 3 的两根关于 x= 对称 = 2 3 利用中点坐标公式, 利用中点坐标公式,这 100 个根的和等于 ×100=150, 2 3 303 .选 B 所有 101 个根的和为 ×101= 2 2 12

练习二: 练习二: 1.( 教 程 P55 5) 设 函 数 f ( x ) 对 一 切 实 数 x 满 足: f (3 + x ) = f (3 ? x ) ,且方程 f ( x ) = 0 恰有 6 个不同 实根, 个实根之和为( ) 实根,则这 6 个实根之和为( (A)18 (B)12 (C)9 (D)0 (A)18 (B)12 (C)9 (D)0 2.( 教 程 P55 5) 对 任 意 整 数 x , 函 数 f ( x ) 满 足

A

1 + f ( x) 1 f ( x + 1) = ,若 f (1) = 2 ,则 f (2007) = ____. ? 1 ? f ( x) 2 3.(教程 P70 8) f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 当 x ∈ [ 0,1) 3.(教程 的奇函数,
的值是( 时, f ( x ) = 2 x ? 1 ,则 f (log 1 24) 的值是(
2

D)
1 (D) ? 2
13

23 (A) ? 24

5 (B) ? 6

5 (C ) ? 2


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