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浙江省学军中学2015届高三第五次月考数学(理)试题


2014 学年杭州学军中学第五次月考数学(理)试题卷
命题人:刘武林 庞顺兴 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh
1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

锥体的体积公式 V=

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

>台体的体积公式 V ?

1 3

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高

球的表面积公式 S=4πR2
4 3

球的体积公式 V=

πR3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1、
x y

>1 的一个充分不必要条件是

A.

x? y

B.

x? y?0

C. x ? y

D. y ? x ? 0

2、已知点 P 是函数 f ( x) ? sin(? x ? 值为
? ,则 f ( x ) 的最小正周期是 4

?
6

) 的图像 C 的一个对称中心,若点 P 到图像 C 的对称轴距离的最小

A.

2?
?

B.

?

C.

? 2

D.

? 4

3、已知 M ? ?? x, y ?

?

y ?3 ? ? 3? , N ? ?? x, y ? ax ? 2 y ? a ? 0? ,若满足 M ? N ? ? ,则实数 a 的值为 x?2 ?
B.-6 C.2 或-6 D.2

A.-6 或-2

4、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 [来源:学科网 ZXXK] A.

1 3

B.

2 3

C. 1

D. 2

x y 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上 的射影恰 2 a b 好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为
5、设斜率为

2

2

A.

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

2 2

6、函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,则函数 y ? f (| x ? 1 |) ? 1 的图象可能是

7、设等差数列{ a n }满足:

a11 ? ?1 ,且其前 n 项的和 S n 有最大值,则当数列{ S n }的前 n 项的和取得最 a12
C.23 D.22

大值时,此时正整数 n 的值是 A.12 B.11

2 2 8、若直线 x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 与圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? 1) ?

1 相切,且 ? 为锐角,则这条直线的斜 16

率是 A. ? 3 B. ?

3 3

C.

3 3

D. 3

9、已知圆 O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 16 和圆 O2 : x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) ,动圆 M 与圆 O1 和圆 O 2 都相切,动 圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为 e1 和 e2 ( e1 ? e2 ),则 e1 ? 2e2 的最小值 为

A.

3? 2 2 4

B.

3 2

C. 2

D.

3 8
D1 A1

10、如图:正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , E , F 分别是棱 A1 B1 , CD 的中点, 点 M 是 EF 的动点, FM ? x ,过点 M 、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部 分,记下面那部分的体积为 V ( x) ,则函数 V ( x) 的大致图像是
y y

C1

E M D

B1

1
1 2

1
1 2

y

y

1
1 2

1
1 2

F B

C

A
x

x

x

x

O

2 2

2

O

2 2

2

O

2 2

2

O

2 2

2

A

B

C

D

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11、设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 210 S30 + S10 = (210 ? 1)S20 ,则数列 ?an ? 的公比为_▲__. 12、一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转 动,则正方体棱长的最大值为_____▲____. 13、如图,线段 AB ? 2 ,点 A, B 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上运动.以 AB 为一 边,在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 .设 O 为原点,则 OC ? OD 的取值范围是

_____▲____.
14、定义域为 R 的奇函数 f ( x) ? x x ? m ,若对任意的 x1, x2 ? ?1,1 ? a ? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,则实数

a 的取值范围是_____▲____.
? x ≥ 0, ? 15、若 a ≥ 0,b ≥ 0 ,且当 ? y ≥ 0, 时,恒有 ax ? by ≤1 ,则以 a, b 为坐标的点 P(a,b) 所形成的 ? x ? y ≤1 ?
平面区域的面积等于_____▲____. 16、已知 ?ABC 的三个顶点 A( ?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为圆 H .对于线段 BH 上的任意一点
P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使得点 M 是线段 PN 的中点,则圆 C 的半径 r 的取

值范围是_____▲____. 17、设函数 f ( x), g ( x) 满足下列条件:(1) f (?1) ? ?1, f (0) ? 0, f (1) ? 1. (2)对任意实数 x1 , x 2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ? x2 ) 则当 n ? 2, n ? N 时, ? f ( x)? ? ?g ( x)? 的最大值为_____▲ ____.
*
n n

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且 sin A sin C ? (1) 求角 B 的大小; (2) 若 x ? [0,? ) ,求函数 f ( x ) ? sin( x ? B ) ? sin x 的值域.
3 . 4

19.如图, DC 垂直平面 ABC , ?BAC ? 90 , AC ? BC ? kCD ,点 E 在 BD 上,且 BE ? 3ED . (1)求证: AE ? BC ; (2)若二面角 B ? AE ? C 的大小为 120 ,求 k 的值.
B C D E

1 2

A

20. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an ? (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 令 bn ?

n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N * ) . n ?1

3n ?1 (n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,试比较 S2n 与 n 的大小,并证明. an

x2 y 2 21.设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的 a b
倾斜角为 60 , AF ? 2 FB .
o

(1)求椭圆 C 的离心率;

(2)如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

22.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? bx (1)当 a ? 2 ,且 f ( x) 是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围;; (2)当 b ? ?2 ,且对任意 a ? (?2,4) ,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 总 有三个不相等的实数根,求实数 t 的 取值范围.

2014 学年杭州学军中学第五次月考 数学(理)答题卷
一、选择题( 答案请填入答题卡中)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(14 分)

19.(14 分)

D E

B

C

A

20.(14 分)

21.(15 分)

22.(15 分)

2014 学年杭州学军中学第五次月考 数学(理)参考答案
BBACD 11、 BDAAC 12、

1 2

2
15、1

13、 [1,3]

14、 0 ? a ? 3 ? 1

16、

10 4 ?r? 10 3 5

17、

1

18.(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C . 又 sin A sin C ? ,所以 sin 2 B ? .因为 sinB>0,则 sin B ? 因为 B∈(0,π),所以 B=
? 2? 或 . 3 3
π 3

3 4

3 4

3 . 2

又 b2 ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是△ ABC 的最大边,故 B ? . (Ⅱ)因为 B ? , 则 f ( x) ? s i n x (?
3 3 ? ? sin x ? cos x ? 3sin( x ? ) . 2 2 6
x ? [0,? ) ,则 ?

π 3

?
3

? ) s ix n?

sx i n c o? s 3

?

x cos s ?i n x s i n 3

?

?
6

? x?

?
6

?

5? ? 1 ,所以 sin( x ? ) ?[ ? ,1] . 6 6 2

故函数 f ( x ) 的值域是 [ ?

3 , 3] . 2

19.(Ⅰ)由题 an ?

n a a an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 知, n ? n?1 ? 2 ? 3n?2 , n ?1 n n ?1

由累加法,当 n ? 2 时,

an a1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? n 1

? 2 ? 3n?2

an 2(1 ? 3n?1 ) ? 1? ? 3n?1 代入 a1 ? 1 得, n ? 2 时, n 1? 3
又 a1 ? 1 ,故 an ? n ? 3n?1 (n ? N * ) . (II) n ? N 时, bn ?
*

1 1 3n?1 1 ? ,则 S2n ? 1 ? ? ? 2 3 an n

?

1 2n

记函数 f (n) ? S 2n ? n ? (1 ? 所以 f (n ? 1) ? (1 ?

1 1 ? ? 2 3 ?

?

1 )?n 2n

1 1 ? ? 2 3

1 ) ? (n ? 1) 2n ?1

则 f (n ? 1) ? f (n) ? (

1 1 ? n ? n 2 ?1 2 ? 2

?

1 2n ) ? 1 ? ?1 ? 0 2n?1 2n ? 1

所以 f (n ? 1) ? f (n) . 由于 f (1) ? S 21 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 0 ,此时 S 21 ? 1 ;

1 2

1 1 1 f (2) ? S22 ? 2 ? (1 ? ? ? ) ? 2 ? 0 ,此时 S22 ? 2 ; 2 3 4
f (3) ? S23 ? 3 ? (1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ) ? 3 ? 0 ,此时 S23 ? 3 ; 2 3 4 5 6 7 8

由于, f (n ? 1) ? f (n) ,故 n ? 3 时, f (n) ? f (3) ? 0 ,此时 S2n ? n . 综上所述:当 n ? 1, 2 时, S2n ? n ;当 n ? 3(n ? N * ) 时, S2n ? n . 20.(Ⅰ)过 E 点作 EF ? BC 与点 F,连 AF,于是 EF // DC 所以 EF ? 平面ABC ,又 BC ? 平面ABC ,所以 EF ? BC ; 又 ?BAC ? 90 , AC ? BC ,所以 ?ABF ? 30 ,所以 AB ?
3 BE BF 3 ? ? , BF ? BC ,所以 4 BD BC 4

1 2

3 BC , 2

BF AB 3 ,所以 ?BAF 与 ?BCA 相似,所以 ?BFA ? 90 ,即 AF ? BC ;又 AF ? EF ? F ,于是 ? ? AB BC 2
BC ? 平面AEF ,又 AE ? 平面AEF ,

所以 BC ? AE . (2)解法一(空间向量法)

…………………6′

如右图,以 F 为原点,FA 为 x 轴,FC 为 y 轴,FE 为 z 轴,建立 空间直角坐标系,则 A(
E (0,0,
3 1 3 ,0,0) , B(0, ? ,0) , C (0, ,0) , 2 2 2

3 3 1 3 3 ) ,于是 AE ? (? , ,0) , ,0, ) , AC ? ( ? 4k 2 2 2 4k

? ?? ? 3 3 ? ? AB ? n1 ? 0 ,于是 ? AB ? ( ? , ? ,0) ,设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ? 2 2 ? ?? ? AE ? n2 ? 0 ? ?
z1 ? 1 ,得 x1 ?

3 3 x1 ? y1 ? 0 2 2 ,令 3 3 x1 ? z1 ? 0 2 4k

3 1 3 1 , y1 ? ? ,得 n1 ? ( , ? ,1) . 2k 2k 2k 2k

设平面 ACE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,
? ?? ? AC ? n ? 0 ? ? 1 ,于是 ? ? ? ?? ? AE ? n2 ? 0 ? ? 3 1 x2 ? y2 ? 0 3 3 3 3 2 2 ,令 z2 ? 1 ,得 x2 ? , y2 ? ,得 n1 ? ( , ,1) . 2 k 2 k 2 k 2k 3 3 x2 ? z2 ? 0 2 4k

| cos120 |?

| n1 ? n2 | ? | n1 | ? | n2 |

1 3 1 ?1 ? 2 ?1 k2 k

,解得: k ?

2 ? 13 . 3

解法二:(综合几何法) 过 F 作 FG ? AE 于 G 点,连 GC,GB,由 AE ? BC ,可得
AE ? 平面BCG ,所以 AE ? CG, AE ? BG ,所以 ?BGC 为 B-AE-C 的平

面角,设 AC=1,则 AF ?

3 3 3 ,所以 GF ? ,于是 , EF ? 2 4k 2 3 ? 4k 2

GB ? 3

1 ? k2 3 ? k2 , GC ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 ? 13 BG2 ? CG2 ? BC 2 ,得到 k ? .′ 3 2BG ? CG

于是由 cos120 ?

21.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y 2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为

y ? 3( x ? c) ,其中 c ? a2 ? b2 .

? y ? 3( x ? c), ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3a2 ? b2 ) y2 ? 2 3b2cy ? 3b4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
解得 y1 ?

? 3b2 (c ? 2a) ? 3b2 (c ? 2a) , y ? 2 3a 2 ? b2 3a 2 ? b2

因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 .



3b2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2 ? 3a 2 ? b2 3a 2 ? b 2
c 2 ? . a 3

得离心率 e ?

(Ⅱ)因为 AB ? 1 ?

1 2 4 3ab2 15 y2 ? y1 ,所以 ? 2 2? . 3 4 3 3a ? b



5 c 2 5 15 a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . ? 得b ? 3 a 3 4 4
x2 y2 ? ? 1. 9 5

椭圆 C 的方程为

22.(1) f ( x) ? x x ? 2 ? bx ? ?

? x 2 ? (b ? 2) x, x ? 2 2 ?? x ? (b ? 2) x, x ? 2

因为 f ( x) 连续,所以 f ( x ) 在 R 上递增,等价于这两段函数分别递增,

?2 ? b ? 2 ?2 所以: ? ,得: b ? 2 2?b ? ?2 ? 2

? x 2 ? (a ? 2) x, x ? a (2) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ? 2 , tf (a) ? ?2ta ?? x ? (a ? 2) x, x ? a a?2 a?2 a?2 a?2 , a ) 上递减, )上递增 ,在 ( ? ? a , f ( x )在(?? , 当 2 ? a ? 4时, 2 2 2 2
在 (a,??) 上递增,所以 f 极大 ( x) ? f (

a?2 a2 )? ? a ? 1, f 极小 ( x) ? f (a) ? ?2a , 2 4

所以 ? a

? 2a ? ?2ta ? ? 2 对 2 ? a ? 4 恒成立,解得: 0 ? t ? 1 ? a ? 1 ? ?2ta ? ?4
a?2 a?2 a?2 a?2 a?2 , ) 上递减, )上递增 ,在 ( ?a? , f ( x )在( ?? , 2 2 2 2 2

当 ? 2 ? a ? 2时,

在(

a?2 a?2 a2 ,?? ) 上递增,所以 f 极大 ( x) ? f ( )? ? a ? 1, , 2 2 4

a?2 a2 a2 a2 ) ? ? ? a ? 1, 所以 ? ? a ? 1 ? ?2ta ? ? a ? 1, 对 ? 2 ? a ? 2 恒成立, 2 4 4 4 解得: 0 ? t ? 1 综上: 0 ? t ? 1 f 极小 ( x) ? f (


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