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河北省唐山市2015届高三第三次模拟考试数学(文)试题(扫描版)


唐山市 2014—2015 学年度高三年级第三次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷:BDCAC BCBCB B 卷:ADCBC BCACB 二、填空题: (13)24; AD BD (15)4; (16)2.

2 2 (14)± ; 3

三、解答题: (17) (Ⅰ) 证明:因为 2

c2-2a2=b2,

b2+c2-a2 a2+b2-c2 -2a· 2bc 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +b -c 2c -2a = - = =b. b b b (Ⅱ)解: 由(Ⅰ)和正弦定理以及 sin B=sin(A+C)得 2sin Ccos A-2sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C, 即 sin Ccos A=3sin Acos C, 又 cos Acos C≠0,所以 tan C=3tan A=1,故 C=45° . 所以 2ccos A-2acos C=2c·

…5 分

…12 分

(18)解: 55+67+64+66+75+73+78+79+81+85+87+88+92+90 (Ⅰ)- x= =77.…5 分 15 (Ⅱ) 从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件: {75, 77}, {75, 73}, {75,78},{75,79},{77,73},{77,78},{77,79},{73,78},{73,79},{78, 79}共 10 个;其中满足|- x -- y |≤1 的事件:{75,77},{75,78},{75,79},{77,78}, 6 3 {77,79},{73,79}共 6 个.所以满足|- x -- y |≤1 的概率 P= = . 10 5 (19)解: (Ⅰ)证明: 取 BC 中点 O,连 OA,OA1. 因为侧面 BCC1B1 是矩形,所以 BC⊥BB1,BC⊥AA1, 因为截面 A1BC 是等边三角形,所以 BC⊥OA1, 所以 BC⊥平面 A1OA,BC⊥OA,因此,AB=AC. (Ⅱ)设点 A 到截面 A1BC 的距离为 d, 由 VA-A BC=VA -ABC 得 S△A BC×d=S△ABC×1, OA A1 得 BC×OA1×d=BC×OA×1,得 d= . OA1 1 B1 由 AB⊥AC,AB=AC 得 OA= BC, 2 3 3 又 OA1= BC,故 d= . A 2 3 O 因为点 A 与点 C1 到截面 A1BC 的距离相等, B 3 所以点 C1 到截面 A1BC 的距离为 .…12 分 3
1 1 1

…12 分

…5 分

C1

C

(20)解: 3 1 (Ⅰ)由题意可得: 2+ 2=1, a 4b 将 3x+2y-4=0 代入椭圆 C: (3a2+4b2)x2-8 3a2x+16a2-4a2b2=0 由 Δ=0 得 3a2+4b2=16, 联立解得:a2=4,b2=1. x2 于是椭圆 C 的方程为: +y2=1. 4 (II)设直线 l:y=kx+m,M(x0,y0). 将直线 l 的方程代入椭圆 C 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 令 Δ=0,得 m2=4k2+1,且 x2 0= 1+4k m2 又|OH|2= = , 1+k2 1+k2 4 ① ②与|OH|= |OM|联立整理得:16k4-8k2+1=0, 5 1 解得:k=± . 2 …12 分
2

…1 分

…3 分

…5 分

…6 分
2

4m -4 1+16k .所以|OM|2= . ① 1+4k2 1+4k2 ② …10 分

2

(21)解: (Ⅰ)f ?(x)=ex(x-a)-x+a=(x-a)(ex-1), 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0, f (x)单增; 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单减; 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单增. 所以,f (x)在(-∞,0)和(a,+∞)分别单调递增;在(0,a)单调递减. …6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 当 a≥1 时,f (x)在(0,1)单调递减,f (x)<f (0)=-a-1. …8 分 当 0<a<1 时,f (x)在(0,a)单调递减;在(a,1)单调递增, 1 则 f (x)<-a-1 当且仅当 f (1)=-ae+a- ≤-a-1, 2 1 解得: ≤a<1. 2(e-2) 1 综上:a 的取值范围是 ,+∞ . …12 分 2(e-2) (22)解: (Ⅰ)证明: A T 延长 DC 与圆 O 交于点 M,因为 CD⊥AB, 2 所以 CD =CD·CM=AC·BC, M D C E G AC CG 因为 Rt△ACE∽Rt△GBC,所以 = , CE BC O 2 即 AC·BC=CE·CG,故 CD =CE·CG. …5 分 F (Ⅱ) B 因为 AC=CO=1,所以 CD2=AC·BC=3, 又 CD=3CE,由(Ⅰ)得 CG=3CD, GT2=GM·GD=(CG+CM)·(CG-CD)=(CG+CD)·(CG-CD) =CG2-CD2=8CD2=24,故 GT=2 6. …10 分

[

)

(23)解: (Ⅰ)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入已知,分别得 C 和 l 的极坐标方程为 ? C:ρ=4cos θ(0≤θ≤ ),l:ρcos θ-2ρsin θ-2=0. …4 分 2 (Ⅱ)依题意,l 经过半圆 C 的圆心 C (2,0). 1 2 5 设点 B 的极角为 α,则 tan α= ,进而求得 cos α= …6 分 2 5 8 5 由 C 的极坐标方程得|OB|=4cos α= . …10 分 5 (24)解: ? ?-2x-1,x<-2, -2≤x≤1, (Ⅰ)若 a=1,f (x)=?3, ? ?2x+1, x>1. 由 f (x)的单调性及 f (-3)=f (2)=5,得 f (x)≤5 的解集为{x|-3≤x≤2}.…5 分 -(a+1)x-1,x≤-2, 1 (1-a)x+3, -2<x< , a (Ⅱ)f (x)= 1 (a+1)x+1, x≥ . a 1 当 x∈(-∞,-2]时,f (x)单调递减;当 x∈ ,+∞ 时,f (x)单调递增, a 1 1 又 f (x)的图象连续不断, 所以 f (x)≥2 当且仅当 f (-1)=2a+1≥2, 且f = +2≥2, a a 1 1 得 a≥ , 故 a 的最小值为 . …10 分 2 2

? ? ? ? ?

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