当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2005第十六届北京市大学生数学竞赛甲、乙组试题解答


第十六届北京市大学生数学竞赛甲、乙组试题解答
(2005 年 10 月 16 日 上午 9:00 ~ 11:30) 注意:本考卷共九题. 甲组九题全做,乙组只做前七题 一. 填空题(每小题 2 分,共 20 分) 1、
解 应填 1. 由题设 y ??(0) ? y ?(0) ? 1, 于是 y ??(0) ? 2. y ( x) ? x y ?( x) ?

1 1 所以 a ? lim ? lim ? y ??(0) ? 1. 2 x ?0 x ?0 2x 2 x

2、
解 应填 e. 由题意知必有 a ? 1, b ? e 或 a ? e, b ? 1. e , lim f ( x ) ? ?, 符合题意; e ? 1 x ?e 当 a ? e, b ? 1 时, lim f ( x) ? lim f ( x) ? ?, 与题意不符. 当 a ? 1, b ? e 时, lim f ( x) ?
x ?1 x ?1 x ?e

3、
1 解 应填 ( x 2 y ? x y 2 ) ? x 2 ? y. 2 x ?z y2 1 1 由题设有 ? xy ? ? C1 ( x) ? z ? x 2 y ? xy 2 ? ? C1 ( x)dx ? C2 ( y ), 0 ?x 2 2 2 f ( x,0) ? x 2 ? ? C1 ( x)dx ? C2 (0) ? x 2 , f (0, y ) ? y ? C2 ( y ) ? y, C2 (0) ? 0.
0 x

4、
1 3 ( x ? y 3 ? z 3 ) ? 2 xyz ? C. 3 由题设知 du ? ( x 2 dx ? y 2 dy ? z 2 dz) ? 2( yzdx ? xzdy ? xydz). 解 应填

5、
解 应填 3x ? 3 1 ? x 2 或 3x ?
1

3 1? x2 . 2

令 A ? ? 0 f 2 ( x) d x, 则 f ( x) ? 3x ? A 1 ? x 2 , 于是 f 2 ( x) ? 9 x 2 ? 6 Ax 1 ? x 2 ? A 2 (1 ? x 2 ), 方程两端积分得 2 3 A ? 3 ? 2 A ? A2 . ? A ? 3 或 A ? . 3 2

6、
解 应填 π. 由积分中值定理, 存在 (? ,? ) ? Dr , 使

?? e
Dr

x2 ? y2

cos(x ? y) d x d y ? e?

2

?? 2

cos(? ? ? ) ? π r 2 , 原式 ? lim? e?
r ?0

2

?? 2

cos(? ? ? ) ? π ? π.

7、
解 lim
x ?0

应填 2ln2. 1 f ( x) f ( x) ln [1 ? ] ? lim x ? lim x ?0 2x ?1 1 ? cos x (2 ? 1)(1 ? cos x) x?0 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ? lim ? 4 ? lim 3 ? 2 ln 2. x ?0 x 2 ln 2 x?0 x 3 x x ln 2 ? 2

8、

解 应填 2a. f ( x) f ?( x) 1 f ?( x) ? ? ? ? ln f ( x) ? ln x ? ln C ? f ( x) ? C x, x f ( x) x 由 f (1) ? a 得C ? a, 所以 f (2) ? 2a.

9、
解 应填 4l. 原式 ? ? L ( x 2 ? 4 y 2 ) ds ? ? L 4 x y ds ? ? L 4ds ? 4l.

10、
解 应填 ln 2. ? [1 ? (n ? 1) x](1 ? 2nx) ? 1 ? (n ? 1) x 1 ? nx 1 ? nx ? ?{ln ? ln } ? ? lim ln ? ln 2. ? ln n ?? (1 ? nx)[1 ? 2(n ? 1) x] n?1 1 ? 2(n ? 1) x 1 ? 2nx 1 ? 2nx n ?1

二、
解 x 3 f ?( x) ? 2 sin x ? 2 x cos x ? x 2 sin x, 2 sin x 2 cos x sin x f ?( x) ? ? ? , x x3 x2 2 sin x 2 cos x sin x sin x cos x sin x f ( x) ? ? dx ? ? dx ? ? dx ? ? 2 ? ? 2 dx ? ? dx 3 2 x x x x x x sin x cos x ?? 2 ? ?C x x

三、 解 单增区间 单减区间 最大值 最小值 极大值 极小值 拐点 四、

(??, 0), (1,2) (0, 1), (2, ? ?)
4 3

4 3

y

O

1

2

x

1 无



令x ? t ? u,则? f ( x ? t )dt ? ? f (u )du,
0 0 x 0

x

x

记F ( x) ? ? f (u )du , 则F ?( x) ? F ( x) ? sin 4 x, 两端积分得
π 1 2 3 3 π F ( x) |0 ? ? sin 4 x dx ? π, 故F 2 ( π ) ? π,即F ( π ) ? 0 2 8 4 1 π 3π 从而 f ( x)在区间[0, π]上的平均值为 ? f ( x) dx ? . 0 π 2π

3π , 2

五、

解 grad f (1,2,?1) ? {4a ? 3c,4a ? b,2b ? 2c}. 由题意有 grad f (1,2,?1) //{0,0,1} 且 | grad f (1,2,?1) |? 64, ?4a ? 3c ? 0 ? 故有? 4a ? b ? 0 且 ?2b ? 2c ? 0 ? ( 2b ? 2c) 2 ? 64, 解得 a ? 6, b ? 24, c ? ?8.

六、
x y z 解 切平面的方程为: 2 X ? 2 Y ? 2 Z ? 1 ? 0, 故 ? ? a b c 设Σ1为?中 z ? 0 的部分, Dxy为?1在 xoy面上的投影,则
2 2 2

1 x y2 z2 ? 4 ? 4 4 a b c
2

.

?? ? d S ? 2?? ? ?
1

1

y x z ? 4 ? 4 d S ? 2c ?? 4 a b c D
xy

y2 y2 x2 1 x2 ? 4 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ) a4 b c a b dxdy y2 x2 1? 2 ? 2 a b



??
D xy

x2 dxdy 1 ab 2 ? r3 2b? a4 ? 2 ? cos 2 θdθ ? dr ? ; 0 0 2 2 2 3a a y 1? r x 1? 2 ? 2 a b
y2 dxdy 1 ab 2? r3 2a? b4 ? 2 ? sin 2 θdθ ? dr ? ; 0 2 2 2 3b b 0 y 1? r x 1? 2 ? 2 a b

??
D xy

1 x2 y2 (1 ? 2 ? 2 ) dxdy 2 1 1 2? 2ab? c a b ? 2? dθ ? r 1 ? r 2 dr ? ; ?? 2 2 0 0 c 3c 2 x y D 1? 2 ? 2 a b 1 2b? 2a? 2ab? 4? 1 1 1 所以?? d S ? 2c ( ? ? )? abc( 2 ? 2 ? 2 ). ? 3a 3b 3c 2 3 a b c ?
xy

七、
证明 在 [0, 1] 上有 ( x ? y )[ f ( x) ? f ( y )] ? 0. 记 D : 0 ? x, y ? 1, 则?? ( x ? y )[ f ( x) ? f ( y )]dxdy ? 0.
D



?? ( x ? y )[ f ( x) ? f ( y )]dxdy
D

? ?? [ xf ( x) ? yf ( y ) ? xf ( y ) ? yf ( x)]dxdy
D

? 2? x f ( x) d x ? ?
0

1

1 0

f ( x) d x.
1

所以

? 0 f ( x) d x ? 2? 0 x f ( x) d x.

1

八、
证明 令 f ( x) ? 2 x ? x 2 ? 1, 显然f (0) ? f (1) ? 0. 又f (2) ? ?1 ? 0, f (5) ? 6 ? 0, 且 f ( x)连续,由连续函数的零点定理知 f ( x)在(2, 5)内 至少存在一个零点,从而 f ( x)至少有三个零点. 若 f ( x)有四个或四个以上的零点,则由罗尔定理知 f ???( x) ? 2 x ln 3 2至少有一个 零点,这是不可能的,故 f ( x)至多有三个零点. 综上可知 f ( x)有且仅有三个零点, 即方程 2 x ? x 2 ? 1有且仅有三个实根.

九、
解 (1) ?
n?2 ? ? (?1) n (?1) n n 1 ? ?[ ? ], n n ?1 n ?1 n ? ( ?1) n?2

? ? ( ?1) n n 1 ( ?1) n n 1 收敛, ? 发散, 所以? [ ? ]发散. n ?1 n ?1 n ?1 n?2 n ? 1 n?2 1 1 (2) 定义 a n : 当n是整数的平方时, a n ? ;当n不是整数的平方时, a n ? 2 . n n ? n ? 1 1 所以a n ? o( ), 而 ? a n的部分和S n ? 2? 2 , 所以 ? a n 收敛. n n ?1 k ?1 k n ?1

? n?2

?


相关文章:
2005第十六届北京市大学生数学竞赛甲、乙组试题解答
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题解答(2005 年 10 月 16 日 上午 9:00 ~ 11:30) 注意:本考卷共九题. 甲组九题全做,乙组只做前七题 一. 填...
第十六届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题
第十六届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第十六届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题_专业资料。...
第16届竞赛甲乙组试题与解答
第16届竞赛甲乙组试题与解答第16届竞赛甲乙组试题与解答隐藏>> 第十六届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答(2005 年 10 月 16 日 填空题( 一、 填空...
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答_生物学_自然科学_专业资料。数学竞赛第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲,乙组试题解答一,填空题(每小题 3 ...
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答_教育学_高等教育_教育专区。第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题(每小题 3 分,共 ...
2006第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题
第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答(2006 年 10 月 14 日 下午 2:30 - 5:00) 备注:甲、乙、丙组分别对应重点院校、一般院校、经济类院校的...
第十六届北京大学生数学竞赛试题及答案(非理科)
第十六届北京市大学生数学竞赛甲,乙组试题解答 (2005 年 10 月 16 日 上午 9:00 ~ 11:30) 注意:本考卷共九题 甲组九题全做, 注意:本考卷共九题. 甲组...
第十六届北京市大学生数学甲乙组试题
第十六届北京市大学生数学乙组试题 高等数学竞赛试题高等数学竞赛试题隐藏>> 第十六届北京市数学竞赛试题(甲、乙组) 一、 填空(20 分) 1. y ′′ + ( x...
第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
数学竞赛试题数学竞赛试题隐藏>> 第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答(2007 年 10 月 14 日 ...
更多相关标签:
北京市大学生数学竞赛 | 北京市大学生生物竞赛 | 北京市大学生物理竞赛 | 北京市竞赛管理中心 | 北京市人文知识竞赛 | 北京市自然知识竞赛 | 北京市物理实验竞赛 | 2016北京市单片机竞赛 |