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数学:1.3《三角函数的诱导公式》教案(新人教A版必修4)


1.3 三角函数的诱导公式
一、教材分析 (一)教材的地位与作用: 1、本节课教学内容“诱导公式(二) 、 (三) 、 (四) ”是人教版数学 4,第一章 1、3 节 内容,是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式(一)等知识 的延续和拓展,又是推导诱导公式(五)的理论依据。 2、 求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。 诱导公式是求三角函数值的

基本方法。 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~90°角的三角函数值 问题。诱导公式的推导过程,体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到 一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思 想方法具有重大的意义。 (二)教学重点与难点: 1、教学重点:诱导公式的推导及应用。 2、教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 二、目标分析
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根据教学内容的结构特征, 依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求, 结合学生的 实际水平,本节课的教学目标为: 1、知识目标: (1)识记诱 导公式。 (2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角 函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明。 2、 能力目标: (1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数 学的归纳转化思想方法。 (2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解 从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。 (3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和 解决问题的实践能力。 3、情感目标: (1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神, 培养学生 的创新意识和创新精神。 (2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯, 渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。 三、过程分析

(一)创设问题情景,引导学生观察、联想,导入课题 I 重现已有相关知识,为学习新知识作铺垫。 1、提问:试叙述三角函数定义 2、提问:试写出诱导公式(一) 3、提问:试说出诱导公式的结构特征 4、板书诱导公式(一)及结构特征: 诱导公式(一) sin(k·2π + ? )=sin ? tg(k·2π + ? )=tg ? (k∈Z) 结构特征:①终边相同的角的同一三角函数值相等 ②把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~360°角的三角函数值问 题。 5、问题:试求下列三角函数的值 (1)sin1110° (2)sin1290° cos(k·2π + ? )=cos ?

学生: (1)sin1110°=sin(3×2π °+30°)=sin30°= (2)sin1290°=sin(3×π °+210°)=sin210°

1 2

(至此,大多数学生无法再运算,从已有知识导出新问题) 6 、引导学生观察演示(一) ,并思考下列问题一: 2100

300

х

演示(一) (1)210° 能否用(180°+ ? )的形式表达? (0°< ? <90°=(210°=180°+30°) (2)210°角的终边与 30°的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) (3) 设 210°、 30°角的终边分别交单位圆于点 p、 p' , 则点 p 与 p' 的位置关系如何? (关于原点对称) (4)设点 p(x,y) ,则点 p’怎样表示? (5)sin210°与 sin30°的值关系如何? [p' (-x,-y)]

7、师生共同分析: 在求 sin210°的过程中,我们把 210°表示成(180°+30°)后,利用 210°与 30°角 的 终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称,借助三角函数定义,把 180°~270°角 的三角函数值转化为求 0°~90°角的三角函数值。 8、导 入课题:对于任意角 ? ,sin ? 与 sin(180+ ? )的关系如何呢?试说出你的猜想。 (二)运用迁移规律 ,引导学生联想类比、归纳、推导公式 (I)1、引导学生观察演示(二) ,并思考下列问题二:

1800

300

1800
χ χ χ

180

0

1800

χ

设 ? 为任意角

演示(二)

(1)角 ? 与(180°+ ? )的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) (2)设 ? 与(180°+ ? )的终边分别交单位圆于 p, p′,则点 p 与 p′具有什么关系? (关于原点对称)

(3)设点 p(x,y) ,那么点 p′坐标怎样表示? [p′(-x,-y)] (4)sin ? 与 sin(180°+ ? ) 、cos ? 与 cos(180°+ ? )关系如何? (5)tg ? 与 tg(180°+ ? ) (6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何? 2、教师针对学生思考中存在的问题,适时点拨、引导,师生共同归纳推导公式。 (1) 板书诱导公式(二) sin(180°+ ? )=-sin ? tg(180°+ ? )=tg ? (2)结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) ②把求(180°+ ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值。 3、基础训练题组一:求下列各三角函数值(可查表) ①cos225° ②tg-π ③sin
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cos(180°+ ? )=-cos ?

11 π 10

4、用相同的方法归纳出公式: sin(π - ? )=sin ? cos(π - ? )=-cos ?

tg(π - ? )=-tg ? 5、引导学生观察演示(三) ,并思考下列问题三:

3000 30

演示(三) (1)30°与(-30°)角的终边关系如何? (关于 x 轴对称)

(2)设 30°与(-30°)的终边分别交单位圆于点 p、p′,则点 p 与 p′的关系如何? (3)设点 p(x,y) ,则点 p′的坐标怎样表示? (4)sin(-30°)与 sin30°的值关系如何? 6、师生共同分析:在求 sin(-30°)值的过程中,我们利用(-30°)与 30°角的 终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称的关系,借助三角函数定义求 sin(-30°) 的值。 (Ⅱ)导入新问题:对于任意角 ? sin ? 与 sin(- ? )的关系如何呢?试说出你的猜 想? 1、引导学生观察演示(四) ,并思考下列问题四: [p′(x,-y)]

O

χ

χ

χ

χ

设 ? 为任意角

演示(四) (关于 x 轴对称)

(1) ? 与(- ? )角的终边位置关系如何?

(2) 设? 与 (- ? ) 角的终边分别交单位圆于点 p、 p′, 则点 p 与 p′位置关系如何? (关于 x 轴对称) (3)设点 p(x,y),那么点 p′的坐标怎样表示? [p′(x,-y)]

(4)sin ? 与 sin(- ? ) 、 cos ? 与 cos(- ? )关系如何? (5)tg ? 与 tg(- ? ) (6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式结构特征如何? 2、学生分组讨论,尝试推导公式,教师巡视及时反馈、矫正、讲评

3、板书诱导公式(三) sin(- ? )=-sin ? tg(- ? )=-tg ? 结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角) ②把求(- ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值 4、基础训练题组二:求下列各三角函数值(可查表) ① sin(- cos(- ? )=cos ?

? ) ②tg(-210°) ③cos(-240°12′) 3

(三)构建知识系统、掌握方法、强化能力 I、课堂小结: (以填空形式让学生自己完成) 1、诱导公式(一) 、 (二) 、 (三) sin(k·2π + ? )=sin ? tg(k·2π + ? )=tg ? (k∈Z)
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cos(k·2π + ? )=cos ?

sin(π + ? )=-sin ? tg(π + ? )=tg ? sin(- ? )=-sin ? tg(- ? )=-tg ? 用相同的方法,归纳出公式 Sin(π -α )=Sin ? Cos(π -α )=-cosα Ten(π -α )=-tanα
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cos(π + ? )=-cos ? cos(- ? )=cos ?

2、公式的结构特征:函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) (Ⅱ)能力训练题组: (检测学生综合运用知识能力) 1、已知 sin(π + ? )=

4 ( ? 为第四象限角) ,求 cos(π + ? )+tg(- ? )的值。 5

2、求下列各三角函数值 53 11 (1)tg(- 6 π ) (2)sin(=- 3 π ) 17 (3)cos(-5100151) (4)sin(- 3 )

(III)方法及步骤: 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00~3600 间角 的三角函数 00~900 间角 的三角函数 查表 求值

(IV)作业与课外思考题 通过上述两题的探索,你能推导出新的公式吗? 四、教法分析 根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律,本节课彩了“问题、类比、发现、归 纳”探究式思维训练教学方法。 (1)利用已有知识导出新的问题,创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发学生的求 知欲,达到以旧拓新的目的。 π π (2)由(1800+300)与 300、 (-300)与 300 终π - 6 与 6 )边对称关系的特殊例子, 利多媒体动态演示。学生对“α 为任意角”的认识更具完备性,通过联想、引导学生进行 导,问题类比、方法迁移,发现任意角α 与(1800+α ) 、-α 终边的对称关系,进行寅, 从特殊到一般的归 纳推理训练,学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性,培养学生 的创新能力。 (3)采用问题设疑,观察演示,步步深入,层层引发,引导联想、类比,进而发现、 归纳的探究式思维训练教学方法。 旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。 在教 师适时的启发点拨下,学生在类比 、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公 式) ,培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。
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(4)通过能力训练题组和课外思考题,把诱导公式(一) 、 (二) 、 (三) 、四的应用进 一步拓广,把归纳推理和演绎推理有机结合起来,发展学生的思维能力。


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