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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(19)


加试模拟训练题(19) (附详细答案) 1、给定一个半圆周,其直径为 AB ,圆心为 O ,一直线与半圆周相交于点 C , D ,且 与 AB 的延长线交于点 M ,其中 MB ? MA, MD ? MC 。设 ?AOC , ?BOD 的外接圆 O1 , O2 的第二个交点为 K ,证明 ?MKO 是直角。 2、 设 a ? 0, n ? N , 求证 1 ? a 2 ?

a 4 ? ? ? a 2n n ? 1 ? n a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 (5) 3、 一个国际社团的成员来自六个国家,共有成员 1978 人.用 1,2,3,…,1977, 1978 编号,请证明,该社团至少有一个成员的编号数,与他的两个同胞的编号数之和相等, 或是一个同胞的编号数的二倍. 4、设 a、b、c 为满足不等式 1<a<b<c 的整数,且(ab-1)(bc-1)(ca-1)能被 abc 整除,求所有可能数组(a,b,c). 加试模拟训练题(19) 1、给定一个半圆周,其直径为 AB ,圆心为 O ,一直线与半圆周相交于点 C , D ,且 与 AB 的延长线交于点 M ,其中 MB ? MA, MD ? MC 。设 ?AOC , ?BOD 的外接圆 O1 , O2 的第二个交点为 K ,证明 ?MKO 是直角。 证明 法一 连 OO1 交 O1 于点 P , OO2 交 O2 于点 Q ,因为 O1O2 ? OK , PQ ∥ 因此 PA 与 O1O2 ,且 K 在 PQ 上,所以只要证 P, Q, M 三点共线。由于 OP 是 O1 的直径, O 相切。同理 PC , QB, QD 也均与 O 相切。过 P 作 QD 的平行线,与 DC 的延长线交 于点 E ,则 ?CEP ? ?MDQ ? ?ECP ,所以 PE ? PC ? PA ,即 ?PAE 与 ?QBD 均是 等腰三角形,且对应边平行,因此对应顶点的连线交于一点,即 P, Q, M 三点共线。 法二 设 AC , BD 交于点 N , AD, BC 交于点 H ,则 H 为 ?NAB 的垂心。连 MH , 分别交 AC , BD 于点 X , Y ,则 N , C , X , A 及 N , D, Y , B 为调和点列,所以 MH 是 N 关于 O 的极线, 于是 ON ? MH 。 同理 OM ? NH , 且 O 是 ?HMN 的垂心。 由蒙日定理得 OK 过点 N ,于是有 MH ? OK 。设 NH 与 AB 交于点 T ,则 NH NT ? NC NA ? NK NO , 所以 K , O, T , H 四点共圆, ?HKO ? ?HTO ? 90? ,于是有 M , K , H 三点共线。 法三 延长 OK 至 S ,则 ?MKO ? 90? ? ?SKD ? ?DKM ? 90? ? ?DBO ? ?DKM ? 90? ? ?DKM ? ?DAM ? K , A, M , D 四 对 称 点 , 所 共 以 圆 有 ? ?KAB ? ?CDK 。 因 为 C, A 关 于 PO ?CDK ? ?CDB ? ? KDB ? ?180 ? ? ?CAB ? ?? 180 ? ? ?KOB ? ? ?KOB ? ? CAB ? ?KCA ? ?CAB ? ?OCA ? ?OCK ? ?CAB ? ?OAC ? ?KAO ? ?CAB ? ?KAB 。 2、 设 a ? 0, n ? N , 求证 1

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