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江苏省扬州中学2013届高三3月月考 数学(附答案)


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江苏省扬州中学数学阶段练习试卷
2013.3.9
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)

, 1.已知集合 M ? ??11 ? , N ? ?x
2.如果复数

? 1 ? ? 2 x ?

1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? __ ? 2 ?



2 ? bi . (b ? R) 的实部与虚部互为相反数,则 b = 3?i 3.一组数据 8 , 9 , x , 11 , 12 的平均数是 10 ,则这组数据的方差是_________. ? ?
. ? log 2 cos 的值为 12 12 5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,抽 取容量为 1000 的样本,其频率分布直方图 如图所示,根据此图可知这批样本中电子元 件的寿命在 300~500 小时的数量是_____个. 4. log 2 sin
频率 1 组距 250 1 400 3 2000 1 2000 100 200 300 400 500 600 寿命(h)

6.已知 p : ?4 ? x ? a ? 4, q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的充分条件,则实数 a 的取值 范围是 . 7. 正四面体 ABCD 中,AO⊥平面 BCD,垂足为 O ,设 M 是线段 AO 上一点,且 ?BMC 是直 角,则

AM 的值为 MO


.
2

8.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概 率为

9. 若数列 {an } 的通项公式 an ?

1 ,记 f (n) ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ,试通过计算 (n ? 1) 2


f (1) 、 f (2) 、 f (3) 的值,推测出 f (n) ?

10.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ?

1 2 c .则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 2

x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为


2 2

11.若正数 a,b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? ab 的最大值为 12.如图,已知椭圆

.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右准线分 a2 b2

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别为 l1 , l 2 , 且分别交 x 轴于 C , D 两点, 从 l1 上一点 A 发出一条光线经过椭圆的左焦点 F 被 x 轴反射后与 l 2 交于点 B ,若 AF ? BF ,且 ?ABD ? 75? ,则椭圆的离心率等于 13.已知函数 f ( x) ? ① f ( x) 是奇函数; ③当 x ? .

sin x ,下列命题正确的是 x

。 (写出所有正确命题的序号)

②对定义域内任意 x, f ( x) <1 恒成立;

3 ? 时, f ( x) 取得极小值; ④ f (2) ? f (3) ; ⑤当 x>0 时,若方程| f ( x) |=k 有 2

且仅有两个不同的实数解 ? , ? (? ? ? )则? · cos ? =-sin ? 。 14. 已知连续 2n ? 1(n ? N ) 个正整数总和为 a ,且这些数中后 n 个数的平方和与前 n 个数的
*

平方和之差为 b .若

a 11 ,则 n 的值为 ? b 60



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? b,sin A ? 3 cos A ? 2sin B. (1)求角 C 的大小; (2)求

a?b 的最大值. c

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ DC , DC ? 2 AB , AP ? AD , PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , E 为 PD 的中点. 求证: (1) AE ∥平面 PBC ; D (2) PD ⊥平面 ACE .

P E C

A

B

(第 16 题图) 17. (本小题满分 15 分) 目 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳 池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块 分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,若池 边 AE 满足函数 y ? ? x ? 2(0 ? x ?
2

2 )的图象,且点 M

到边

2 4 ?t ? ). 3 3 2 (1)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面
OA 距离为 t (
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积取

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到最大,最大值是多少?

18. (本小题满分 15 分) 给定椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a 2 ? b 2 的圆为椭圆 C 的 a 2 b2

“准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 .

(1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2) 若点 A 是椭圆 C 的 “准圆” 与 x 轴正半轴的交点,B, D 是椭圆 C 上的两相异点, 且 BD ? x ??? ? ???? 轴,求 AB ? AD 的取值范围; (3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个 交点,试判断 l1 , l2 是否垂直?并说明理由.

19. (本题满分 16 分) 已知有穷数列 {an } 共有 2k 项(整数 k ? 2 ) ,首项 a1 ? 2 ,设该数列的前 n 项和为 S n ,且

Sn ?

2 an?1 ? 2 其中常数 a ? 1. ⑴求 {an } 的通项公式;⑵若 a ? 2 2 k ?1 ,数 ( n ? 1, 2, 3,? , 2k ? 1). a ?1

列 {bn } 满足 bn ?

1 log 2 (a1a2 ? an ), (n ? 1, 2,3,?, 2k ), n

求证: 1 ? bn ? 2 ; ⑶若⑵中数列 {bn } 满足不等式: b1 ? 值.

3 3 3 3 ? b2 ? ? ? ? b2 k ?1 ? ? b2 k ? ? 4 ,求 k 的最大 2 2 2 2

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20. (本小题满分 16 分) 已知 f ( x) ? x ? 切. (1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数)内 的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立; (3)求证:

a (a ? 0) , g ( x) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 相 x

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

?????内?????不?????要?????答?????题??????

附加题
3? ?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,属于特征值 1 d? ?1? ? 3 ? 的一个特征向量为 α2=? ?.求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2? 1.已知矩阵 A=?

? 3 ? c

_____ 班级___________

姓名_____________

?? ? 2.已知圆的极坐标方程为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?
⑴将极坐标方程化为普通方程;
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⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 的坐标为(1,0) 。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设 M、N 是抛物线 C 的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为 ? 4 ,直线 MO、NO 与抛物线的交点分别为点 A、B,求证:动直线 AB 恒过一个定点。

4.已知集合 A ? ?a1 , a 2 , a3 ,? ? ?, a n ?,其中 ai ? R?1 ? i ? n, n ? 2? , l ? A? 表示

ai ? a j ?1 ? i ? j ? n ? 的所有不同值的个数.
(1)已知集合 P ? ?2,4,6,8?, Q ? ?2,4,8,16? ,分别求 l ?P ? , l ?Q? ; (3)求 l ? A? 的最小值.

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江苏省扬州中学数学阶段练习试卷答案
1. {?1} 2.1 3.2 4. ? 2 5.650 6. [?1,6] 7. 1

3.9
8.

19 36

9.

n?2 n ?1

10. 2 7

11.

17 16

12.

6? 2 2

13.②④⑤ 14.5

? ? 15.解: (1)sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+ 3 =2sin B,则 sin A+ 3 =sin B.

(

)

(

)

因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ 3 =?-B,故 A+B= 3 ,C= 3 . (2)由正弦定理及(Ⅰ)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? c = sin C = 3 sin A+sin A+ 3 = 3sin A+cos A=2sin A+ 6 . a+b ? 当 A= 3 时, c 取最大值 2. 16.证明: (1)取 PC 中点 F ,连结 EF , BF ,∵ E 为 PD 中 P 点,∴ EF ∥ DC 且 EF = 1 DC .∵ AB ∥ DC 且 AB ? 1 DC ,∴ EF

[

(

)]

(

)

2

2

∥ AB 且 EF = AB .∴四边形 ABFE 为平行四边形. ∴ AE ∥ BF . ∵ AE ? 平面 PBC , BF ? 平面 PBC , ∴ AE ∥平面 PBC . (2) ∵ PB ⊥ AC , ∴ AC ? 平面 PBD . ∵ BD ⊥ AC , PB ? BD ? B , ∵ AP ? AD , E 为 PD 的中点, ∴ PD ? AE .∵ AE ? AC ? A ,∴ PD ⊥平面 ACE . 17.(1) M ( ,
2

E D

F C

PD ? 平面 PBD ,∴ AC ? PD .

A

B

2 14 ), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0 3 9
2

(第 16 题图)

(2) M (t ,?t ? 2) ,过切点 M 的切线 l : y ? (?t ? 2) ? ?2t ( x ? t )

t t ,故切线 l 与 AB 交于点 ( ,2) ; 2 2 t 1 t 1 t 1 17 11 2 4 令 y ? 0 ,得 x ? ? ,又 x ? ? 在 [ , ] 递减,所以 x ? ? ? [ , ] 2 t 2 t 2 t 12 6 3 3 t 1 故切线 l 与 OC 交于点 ( ? ,0) 。 2 t ?地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形, 1 t 1 t 1 1 面积 S ? (2 ? ? ? 2 ? ) ? 2 ? 4 ? t ? ? 4 ? (t ? ) ? 2 ,等号 t ? 1 , S max ? 2 。 2 2 t 2 t t
即 y ? ?2tx ? t ? 2 ,令 y ? 2 得 x ?
2

18.解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b 2 ? c 2 ? 3 ,可得 b ? 1,

x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 3 m2 (2)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 ? n2 ? 1, 3
故椭圆 C 的方程为

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??? ? ???? 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) , ??? ? ???? m2 故 AB ? AD ? (m ? 2)2 ? n2 ? m2 ? 4m ? 4 ? (1 ? ) 3 4 4 3 ? m 2 ? 4m ? 3 ? ( m ? ) 2 , 3 3 2 4 3 2 又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? ) ?[0,7 ? 4 3) , 3 2 ??? ? ???? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .
(3)设 P(s, t ) ,则 s 2 ? t 2 ? 4 . 当 s ? ? 3 时, t ? ?1 ,则 l1 , l2 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1 ? l2 . 当 s ? ? 3 时,设过 P(s, t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? t ? k ( x ? s) ,代入椭圆 C 方程可得

x2 ? 3[kx ? (t ? ks)2 ] ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6k (t ? ks) x ? 3(t ? ks)2 ? 3 ? 0 ,
由 ? ? 36k 2 (t ? ks)2 ? 4(3k 2 ? 1)[3(t ? ks)2 ? 3] ? 0 , 可得 (3 ? s 2 )k 2 ? 2stk ? 1 ? t 2 ? 0 ,其中 3 ? s 2 ? 0 , 设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是上述方程的两个根, 1 ? t 2 1 ? (4 ? s 2 ) 故 k1k2 ? ? ? ?1 ,即 l1 ? l2 . 3 ? s2 3 ? s2 综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1 ? l2 .

19 . 解 : ⑴

?n ? 2时 ? ? a ?2 a ? 2, S n ? n ?1 ,S n ?1 ? n ? a ?1 a ?1 ?

两 式 相 减 得

S n ? S n ?1 ?

an ?1 ? an a ?a , an ? n ?1 n ,? an ?1 ? a ? an a ?1 a ?1

? an ? a2 a n ? 2
当 n ? 1 时 a1 ? S1 ?

a2 ? 2 ? 2,? a2 ? 2a, 则,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? a n ?1. a ?1

⑵把数列 {an } 的通项公式代入数列 {bn } 的通项公式,可得

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bn ? ?

1 log 2 ( a1a2 ? an ) n

1 (log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ) n 1? 2 4 2k ? 2 ? ? ?1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) n? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1? n( n ? 1) 2 ? ? ?n ? n? 2 2k ? 1 ? ? n ?1 ? 1? . 2k ? 1
?1 ? n ? 2k ,?1 ? bn ? 2.
⑶数列 {bn } 单调递增,且 bk ? 则原不等式左边即为

3 k ?1 1 3 k 1 ? ? ? 0, bk ?1 ? ? ? ? 0, 2 2k ? 1 2 2 2k ? 1 2

3? ? 3? 3? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ? ? ? ? b1 ? ? ? ? b2 ? ? ? ? ? ? bk ? ? ? bk ?1 ? ? ? ? bk ? 2 ? ? ? ? ? ? b2 k ? ? 2? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ? 2 k ? (bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b2 k ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bk ) ? . 2k ? 1


k2 ?4 2k ? 1

可得 k ? 8k ? 4 ? 0, 4 ? 2 3 ? k ? 4 ? 2 3, 因此整数 k 的最大值为 7。
2

20.解: (1)设点 ( x 0 , y 0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 的切点,则有

2 ln x0 ? bx0 ? 2 x0 ? 2 . (*) 2 2 ? g ?( x) ? ? b ,? ? b ? 2 . (**) x0 x 由(*) 、 (**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . a 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得 ? x ? 2 ln x , x ? x ? 1 ,?要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立. 1 2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h??( x) ? 2 ? ,?当 x ? 1时, h??( x) ? 0 ,则 h?( x) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1 , a ? 1.
因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

1 8 ? 0 ,? f ( x) 在 [e,3] 上是增函数, f ( x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 2 3 x
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要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

?当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 . 3

(3)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ,得 ln (x ? ) . 令 x ? ? ( ? ), 2 x 2k ? 1 2k ? 1 2 2 k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ? , 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

附加题答案 ?1? ? 3 1.解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得,? ?1? ? c
3? ?1? ?1? ? ? ?=6? ?, d ? ?1? ?1? 3? ? 3 ? ? ? ?= d ? ?-2? 1

? 3 ? ? 3 即 c+d=6;由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? ?,可得? ? c ?-2?
2
?c=2, ? 3 ? ? 3 ? ?,即 3c-2d=-2,解得?d=4.即 A=? ? ? 2 ?-2?

? 3 -2? 3? . ?, A 的逆矩阵是? 4? 1 1? ? -3 2 ?

2.⑴ x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ⑵圆的参数方程为 ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

?? ? 所以 x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? ,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2. 4? ?
3.(1)设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,则
2

p ? 1, p ? 2 , 2

所以抛物线方程为 y ? 4 x
2

(2)抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,设 M (?1, y1 ), N (?1, y 2 ) ,其中 y1 y 2 ? ?4 , 直线 MO 的方程: y ? ? y1 x ,将 y ? ? y1 x 与 y ? 4 x 联立解得 A 点坐标 (
2

4 y1
2

,?

4 )。 y1

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同理可得 B 点坐标 (

4 y2
2

,?

4 ) ,则直线 AB 的方程为: y2

y? ?

4 y1

x? ? 4 y2
2

4 y1
2

4 4 ? y 2 y1

?

4 y1
2

整理得 ( y1 ? y 2 ) y ? 4 x ? 4 ? 0 ,故直线 AB 恒过定点(1,0) 。 4. 解: (1)由 2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14, 得 l(P)=5 由 2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24, 得 l(Q)=6 (3)不妨设 a1<a2<a3<?<an,可得 a1+a2<a1+a3<?<a1+an<a2+an<a3+an<?<an-1+an, 故 ai+aj (1≤i<j≤n)中至少有 2n-3 个不同的数,即 l(A)≥2n-3. 事实上,设 a1,a2,a3,?,an 成等差数列,考虑 ai+aj (1≤i<j≤n),根据等差数列的性质, 当 i+j≤n 时, ai+aj=a1+ai+j-1;当 i+j>n 时, ai+aj=ai+j-n+an; 因此每个和 ai+aj(1≤i<j≤n)等于 a1+ak(2≤k≤n)中的一个, 或者等于 al+an(2≤l≤n-1)中的 一个.故对这样的集合 A,l(A)=2n-3,所以 l(A)的最小值为 2n-3.

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