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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(15)定积分与微积分基本定理


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课时作业(十五) [第 15 讲 定积分与微积分基本定理]

[时间:35 分钟 基础热身 1. 已知 f(x)为偶函数,且 6 6 ? f(x)dx=8,则? -6f(x)dx=(

分值:80 分]

?0

?

)

/>
A.0 B.4 C.8 D.16 x2,x∈[0,1], ? ? 2. 设 f(x)=?1 (其中 e 为自然对数的底数), 则?e f(x)dx 的值为( ?0 , x ∈ ? 1 , e ] ?x ? 4 2 A. B.2 C.1 D. 3 3 3. 若 a=?2x2dx,b=?2x3dx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( )

)

?0

?0

?0

A.a<c<b B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b 4.如图 K15-1,阴影部分的面积是(

)

图 K15-1 A.2 3 B.2- 3 32 C. 3 35 D. 3

能力提升 5.设函数 f(x)=ax2+1,若?1f(x)dx=2,则 a=(

?0

)

A.1 B.2 C.3 D.4 π π 6. 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) 3 3 1 3 A. B.1 C. D. 3 2 2 7.一物体以 v=9.8t+6.5(单位:m/s)的速度自由下落,则下落后第二个 4 s 内经过的路 程是( ) A.260 m B.258 m C.259 m D.261.2 m 8.若?k (2x-3x2)dx=0,则 k 等于( )

?0

A.0 B.1 C.0 或 1 D.以上均不对 9.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6 cm,则力所做的 功为( ) A.0.28 J B.0.12 J C.0.26 J D.0.18 J 10 . 设函数 y = f(x) 的定义域为 R + ,若对于给定的正数 K ,定义函数 fK(x) = ? ?K,f?x?≤K, 1 1 ? 则当函数 f(x)= ,K=1 时,定积分?2 fK(x)dx 的值为________. x 4 ? ?f?x?,f?x?>K, ?
1

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π 11. ∫ 0(sinx+acosx)dx=2,则实数 a=________. 2 12.(13 分)如图 K15-2 所示,已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-x2+2ax(a>1)交于 点 O、A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B,连接 OD、DA、AB. (1)写出曲边四边形 ABOD(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

图 K15-2

难点突破 13.(12 分) 已知二次函数 f(x)=3x2-3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数, 且 0<t<1),直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、l2 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如 图 K15-3,设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式; (2)定义函数 h(x)=S(x), x∈R.若过点 A(1, m)(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈R)的三条切线, 求实数 m 的取值范围.

图 K15-3

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课时作业(十五) 【基础热身】 1.D [解析] ?6-6f(x)dx=2?6f(x)dx=2×8=16. ? ?
1 2 2.A [解析] 根据积分的运算法则,可知∫e 即∫e 0f(x)dx 可以分为两段, 0f(x)dx=? x dx 0 1 e

1 1 3? 4 ? 1 +∫e 1 dx= x ? +lnx? = +1= ,所以选 A. x 3 0 3 3 1 2 2 1 8 1 4?2 2 3 2 ? 3.D [解析] a=?2x2dx= x3? = , b = x d x = x = 4 , c = sin x d x =- cos x ? ? ?0 3 ?0 3 4 ?0 ? ? ?
0 0 0

?0

=1-cos2<2, ∴c<a<b.
1 1 32 3x- x3-x2?? = . 4.C [解析] ?1-3(3-x2-2x)dx=? 3 ? ? ? - 3 3 ? 【能力提升】 1 ax3 a 5.C [解析] ?1f(x)dx=?1(ax2+1)dx= +x? = +1=2,解得 a=3. ? 3 3 0 ? ?

π π 6.D [解析] 根据定积分的相关知识可得到:由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y= 3 3 cosx 所围成的封闭图形的面积为: π π S=∫ - cosx dx=sinx错误!=sin错误!-sin错误!=错误!, 3 3 故选 D. 7.D [解析] ?8(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)? ?4 =4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4= ?
4 3? 2 3 [解析] ?k (2x-3x2)dx=?k 2xdx-?k 3x2dx=x2? ?0-x ?0=k -k =0,∴k=0 或 k ? ? ? 0 0 0 0.06 k k 8

0

0

313.6+52-78.4-26=261.2. 8.C =1.

[解析] 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫0 100xdx=0.18(J). 1 1, ≤1, x 1 11 10.2ln2+1 [解析] 由题设 f1(x)= 于是定积分?2 f1(x)dx=?1 dx+?2 4 4x ? ? 1 1 ?1 , >1, x x 9.D

? ? ?

1dx=lnx

?11+x ?4

?2=2ln2+1. ?1

π 11.1 [解析] ∫ 0(sinx+acosx)dx=(asinx-cosx)错误!=错误!-asin0+cos0=a+1= 2 2,∴a=1. ?y=x2, ?x=0, ?x=a, ? ? ? 12.[解答] (1)由? 解得? 或? 2 2 ? ? ? ?y=-x +2ax, ?y=0 ?y=a . ∴O(0,0),A(a,a2).又由已知得 B(t,-t2+2at),D(t,t2), 1 1 ∴S=?t (-x2+2ax)dx- t×t2+ (-t2+2at-t2)×(a-t) 2 2 ?
t 1 13 2 - x3+ax2?? =? ? 3 ??0 -2t +(-t +at)×(a-t) 1 1 1 =- t3+at2- t3+t3-2at2+a2t= t3-at2+a2t. 3 2 6 1 故 S=f(t)= t3-at2+a2t(0<t≤1). 6 0

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1 (2)f′(t)= t2-2at+a2, 2 1 令 f′(t)=0,即 t2-2at+a2=0, 2 解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a. ∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+ 2)a 应舍去. 2+ 2 1 ①若(2- 2)a≥1,即 a≥ = , 2 2- 2 1 ∵0<t≤1,∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 f(1)=a2-a+ . 6 2+ 2 ②若(2- 2)a<1,即 1<a< , 2 (i)当 0<t<(2- 2)a 时,f′(t)>0, (ii)当(2- 2)a<t≤1 时,f′(t)<0. ∴f(t)在区间(0,(2- 2)a)上单调递增,在区间[(2- 2)a,1]上单调递减.∴f(t)的最大 2 2-2 3 1 值是 f((2- 2)a)= [(2- 2)a]3-a[(2- 2)a]2+a2(2- 2)a= a. 6 3 1? 2+ 2? ? ?, ?a -a+6? ?a≥ 2 ? =? 2 2-2 2+ 2? ?1<a< 2 ?. ? 3 a? ? ? ?
2 3

综上所述 f(t)max

【难点突破】
?y=3x2-3x, ? 13.[解答] (1)由? 得 x2-(t+1)x=0, ?y=3tx ?

所以 x1=0,x2=t+1. 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2. + 所以 S(t)=∫t0 1[3tx-(3x2-3x)]dx+?2t+1[(3x2-3x)-3tx]dx

?

3?t+1? 2 ? 3 3?t+1? 2??2 3??t+1 = ? ? 2 x -x ??0 + ?x - 2 x ??t+1 =(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R, 则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), ?x0+1?3-6x0+2-m 2 则 3(x0+1) -6= , x0-1 3 化简整理得 2x0-6x0+m=0,其有三个不等实根. 3 设 g(x0)=2x0 -6x0+m,则 g′(x0)=6x2 0-6. 由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值; 当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值. ?g?-1?>0, ? 因此,关于 x0 的方程 2x3 即 0-6x0+m=0 有三个不等实根的充要条件是? ? ?g?1?<0,

4

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? ?m+4>0, ? 即-4<m<4. ?m-4<0, ?

故实数 m 的取值范围是(-4,4).

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