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陕西省西工大附中2013届高三第八次适应性训练数学理试题


陕西省西工大附中 2013 届高三第八次适应性训练 数学(理)试题 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题 共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? ( ) A. 2i B. i C. ?i D. ? 2i

/>3 2 2 2.设 a ? ( 5 ) 5 , b ? ( 5 ) 5 , c ? ( 5 ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? c ? b B. a ? b ? c B. c ? a ? b D. b ? c ? a
2 3 2



3.已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何 体的体积是( ) 4 A. 3 8 B. 3 C.4 D.6 ??? ? ??? ? ??? ? 4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 OB ? a4 OA? a2009 OC ,且 A, B, C 三点 共线( O 为该直线外一点) ,则 S2012 等于(
2012



A.2012 B.1006 C. 2 D. 21006 5.为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 5000 人作为 样本, 右图是此次调查中的某一项流程图, 若输出的结果是 3800, 则身高在 170cm 以下的频率为( ) A.0.24 B.0.38 C.0.62 D.0.76

6.将函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位,若所得图像 对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是( ) 2? 5? 5? ? A. B. C. D. 3 6 12 8
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1 7.在( 2 x 2 ? )5 的二项展开式中, x 的系数为( x A.10 B.-10 C.40 D.-40



8.已知锐角 ? 的终边上一点 P ? sin 40? ,1 ? cos 40? ? ,则锐角 ? =( A. 10? B. 20? C. 70? D. 80?



??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 9.在 ?ABC 中,若 AB ? AB· ? BA· ? CA· ,则 ?ABC 是( ) AC BC CB A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
10.已知集合 A ? {(a, c) | 0 ? a ? 2,0 ? c ? 2, a, c ? R} ,则任取 (a, c) ? A ,关于 x 的 方程 ax2 ? 2 x ? c ? 0 有实根的概率( ) 1 ? ln 2 1 ? 2 ln 2 1 ? ln 2 3 ? 2 ln 2 A. B. C. D. 2 4 2 4

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横 线上. 11.奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?5,5? ,若

x ??0, 5? 时, f ? x ? 的图象如图所示,则不等式 f ? x ? ? 0 的解集为_____________.

12.对于 n ? N ? 的命题,下面四个判断: ①若 f (n) ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ,则 f (1) ? 1 ; ②若 f (n) ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ,则 f (1) ? 1 ? 2 ; ③若 f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2n1?1 ,则 f (1) ? 1 ? 1 ? 1 ; 2 3 2 3

1 ④若 f (n) ? n1 1 ? n?2 ? ?? 3n1?1 ,则 f (k ?1) ? f (k ) ? 3k1 2 ? 3k1 3 ? 3k1 4 ? k11 ; ? ? ? ? ?

其中正确命题的序号为 . ? x?0 ? y?0 ? 13.已知实数 x, y 满足 ? ,当 2 ? s ? 3 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大 x? y ? s ? ? y ? 2x ? 4 ? 值函数 f ( s ) 的最小值为 .
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? c ? 0, a 2 ? b 2 ? c 2 ) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 a 2 b2 以 F2 为圆心,b ? c 为半径作圆 F2 ,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T ,且 PT

14.已知椭圆

的最小值不小于

3 2

(a ? c) ,则椭圆的离心率 e 的取值范围是
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15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评阅记分) A. (选修 4—5 不等式选讲)不等式 ( x ?1) x ? 2 ? 0 的解集为_ ____; B.(选修 4—1 几何证明选讲)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A ,PA ? 2 . AC 是 圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . C. (选修 4—4 坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是 ? cos(? ? ? ) ? 1, 4 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 曲线 C 与直角坐标系两条轴相交所得的弦长为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ?? ? 0,0 ? ? ? ? ? 为偶函数,其 图象上相邻两个最高点之间的距离为 2? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式;
? ? ?? (Ⅱ)若 ? ? ? ? , ? , ? 3 2?
5? ?? 1 ? f ? ? ? ? ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 3? 3 ?

17. (本小题满分 12 分) 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 BC 的中点,平面 B1ED 交 A D 于 F 1 1 (Ⅰ)指出 F 在 A D 上的位置,并证明; 1 1 (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 B1ED 所成角的余弦值.

18.(本小题满分 12 分)有一个小型慰问演出队,其中有 2 人会唱歌,有 5 人会跳 7 舞,现从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(? ? 0) ? 10 . (Ⅰ)求该演出队的总人数; (Ⅱ)求 ? 的分布列并计算 E? . 19.(本小题满分 12 分)已知 {an } 满足:
(n ? 1,2,3,?) . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式;

12 2 2 32 n2 n(n ? 1) 2 ? ? ??? ?( ) a1 a2 a3 an 2

(Ⅱ)若数列 {bn } 满足, bn ?

2 an (n ? 1,2,3,?) ,试 {bn } 前 n 项的和 S n . 2a n ? 1

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20.(本小题满分 13 分)已知 A, B 是抛物线错误!未找到引用源。上的两个动点, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? O 为坐标原点, 非零向量 OA, OB 错误! 未找到引用源。 满足 OA ? OB ? OA ? OB 错误! 未找到引用源。 . (Ⅰ)求证:直线 AB 错误!未找到引用源。经过一定点,并求定点的坐标; (Ⅱ) 求线段 AB 的中点 M 到直线 y ? 2 x ? 0 的距离的最小值, 并求此时直线 AB 的 方程. 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e 2 x ? 1 ? 2x ? kx 2 (Ⅰ)当 k ? 0 时,求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)试比较 e
?1 与 2n ? n ( n ? N * )的大小关系,并给出证明. 2 3 e ?1
2n
3

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练 数 学(理科)参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题: 1. C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. D 7. D 8. C 9. D 10. B 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横 线上. 3 ? 5 , 22 6 11. 12. ③④ 13. 14. (?2,0) ? ? 2,5? ? 15.A. ?1, ??? ???2? B. 3 C. 2

?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? cos x
? (2) cos(? ? ? ) ? 1 ,?? ? (? ? , ? ) ?? ? ? ? ? 0, 56 ? ? sin ?? ? ? ? ? 3 3 3 2 3 3
2 2 3

? ? ?sin(2? ? 53 ) ? ? sin(2? ? 23 ) ? ?2sin(? ? ? )cos(? ? ? ) ? ? 4 9 2 3 3 17.(本小题满分 12 分). (1) F 是中点 (2)以 A 为原点, AB 为 x 轴、 AD 为 y 轴、 AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系. ???? ???? ? ? 设棱长为 2,则 B1E ? ? 0,1, ?2 ? , B1D ? (?2, 2, ?2) ,设面 B1ED 的法向量 n ? ( x, y, z) , ? y ? 2z ? 0 ? 则? 得 n ? (1, 2,1) . ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ???? ?? ???? 又 AC ? (2,2, ?2) ,设 AC 与面 B1ED 成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? A1C ,n ? ? 32 1 1

∴ cos? ? 37 18. (本小题满分 12 分解: 设既会唱歌又会跳舞的有 x 人, 则文娱队中共有 (7 ? x) 人,那么只会一项的人数是 (7 ? 2 x) 人. 7 (1)? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 0) ? 10 ,

C72? 2 x 3 ? , C72? x 10 (7 ? 2 x)(6 ? 2 x) 3 ? ? x ? 2. ∴ 故文娱队共有 5 人 (7 ? x)(6 ? x) 10 C1 ? C1 3 C2 1 3 (2) P(? ? 0) ? 10 , P(? ? 1) ? 2 2 3 ? 5 , P(? ? 2) ? 2 ? 10 C5 C52 ? 的分布列为 3 3 1 4 ∴ E? ? 0 ? 10 ? 1? 5 ? 2 ? 10 ? 5 ? 0 1 2
3 ∴ P(? ? 0) ? 10 ,即

P

3 10

3 5

1 10

19. (本小题满分 12 分) 12 2 2 32 n2 n(n ? 1) 2 解:(Ⅰ) : ? ? ??? ?( ) a1 a2 a3 an 2
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上述两式相减得: an ? 1 ; n (Ⅱ)? bn ?

12 22 32 (n ? 1)2 (n ? 1)n 2 ? ? ??? ?( ) a1 a2 a3 an?1 2
2 an ( 1 )2 1 ? bn ? 2n?1 ? 1 ( 1 ? n?2 ) 2 n n 2a n ? 1

2 n?3 ∴ Sn ? 3 ? 2( n?1)( n?2) 4

20. (本小题满分 13 分)
x 1 2 (1)解:设点 A( x1 , x4 ), B( x2 , x4 ) ,则直线 AB : y ? x1 ? x2 x ? x14 2 4 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 又? OA ? OB ? OA ? OB ,所以 x1 x2 ? ?16 ,故直线 AB 过定点 (0, 4)
2 2

(2)设直线 AB : x ? k ( y ? 4) 代入 x2 ? 4 y 得 k 2 y 2 ? (8k 2 ? 4) y ? 16k 2 ? 0 2 中点坐标为 ( k , 4 ? k22 ) 则线段 AB 的中点 M 到直线 y ? 2 x ? 0 的距离 d ? 得 d 的最小值为
2 5 5
4?
2 ?4 k2 k

5

,此时直线方程为 y ? x ? 4

21.(本小题满分 14 分) (1) f ' ( x) ? 2(e2 x ?1) ,? x ? 0 时 f ' ( x) ? 0 , x ? 0 时 f ' ( x) ? 0 ,∴单调递增区间为 (0, ??) ;单调递减区间为 (??, 0) (2) f ' ( x) ? 2e2 x ? 2 ? 2kx , f '' ( x) ? 4e2 x ? 2k ①当 2k ? 4 即 k ? 2 时, f '' ( x) ? 0 ? f ' ( x) 单调递增 ? f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 单调递增 ? f ( x) ? f (0) ? 0 恒成立,∴ k ? 2 使原式成立; ②当 2k ? 4 即 k ? 2 时, ?x0 ? 0 使 x ??0, x0 ? 时 f '' ( x) ? 0 ? f ' ( x) 单调递减

? f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 ? f ( x) 单调递减 ? f ( x) ? f (0) ? 0 不满足条件. ∴k ? 2 (3)由(2)知,当 k ? 2 时, e2 x ? 1 ? 2 x ? kx2 ? 0 成立,即 e2 x ? 1 ? 2 x ? 2 x2 2n 2 取 x ? n 得 e ? 1 ? 2n ? 2n e2 ? 1 ? 2 ? 2 e 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 e6 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32
… …

e2( n?1) ? 1 ? 2(n ?1) ? 2(n ?1)2


e2n ?1 ? 1? e2 ? e4 ?? ? e2(n?1) e2 ?1 ? n ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ?1)] ? 2[12 ? 22 ? ? ? (n ? 1) 2 ]

? n ? n(n ? 1) ? n ( n?1)(2n?1) ? 2n3? n 3
3

所以 e 2

?1 e ?1
2n

3 ? 2n ? n ( n ? 1 时取等号)

3

3

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