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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 教案


人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)

2.3

直线、平面垂直的判定及其性质
教案 A 第 1 课时

教学内容:2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; 2. 掌握直线和平面所成的角的求法; 3. 正

确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互 相垂直”的概念; 4. 掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用. 二、过程与方法 1. 经历直线和平面垂直的定义的形成过程;探究判定直线与平面垂直的方法; 2. 经历直观感知“二面角”概念的形成过程;用类比方法思考“二面角”的度量 方法及两个平面垂直的判定定理. 三、情感、态度与价值观 1. 学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知. 2. 通过经历概念的形成、发展和应有的过程,知道数学存在于现实生活周围,形 成积极思维,发展观察、分析、解决问题的能力. 教学重点、难点 教学重点 1. 直线与平面垂直的定义和判定定理; 2. 直线和平面所成的角; 3. 平面与平面垂直的判定. 教学难点 1. 直线与平面垂直判定定理的探究; 2. 如何度量二面角的大小. 教学关键 理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理,会应用 两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题. 教学突破方法 通过学生观察大量的空间几何体的实例,先感性地认识两个定理,然后通过严格的 证明来理解两个定理,利用针对性较强的习题来巩固两个定理.对于本节的线面角和二 面角的概念,需首先掌握其定义,其次了解其求法. 教法与学法导航 教学方法 问题教学法,讨论法,练习法.通过提出问题,学生观察空间实物及模型,先独立 1

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思考可判定线面垂直、面面垂直的条件,然后相 互讨论、交流,最后得出完整结论. 学习方法 自主学习,自主探究,互动学习,合作交流,动手实践,观察探究,归纳总结.在 学生观察大量空间几何体实例的基础上, 通过老师的启发诱导, 归纳总结得到线面垂直、 面面垂直的条件,即两个判定定理. 教学准备 教师准备 多媒体课件(用于展示问题,引导讨论,出示答案) ,空间几何体的模型或图片. 学生准备 线线垂直的概念. 教学过程 教学 过程 新课 导入 教学内容 问题: 直线和平面平行的判定 方法有几种? 一、直线和平面垂直的定义、 画法 如果直线 l 与平面 ? 内的任 意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 l⊥ ? . 直线 l 叫做平面的垂线, 平面 ? 叫 做直线 l 的垂面.直线与平面垂直 时,它们唯一的公共点 P 叫做垂 足. 画直线与平面垂直时, 通常把 直线画成与表示平面的平行四边 形的一边垂直,如图. 师生互动 师投影问题,学生回答. 生:可用定义可判断,也 可依判定定理判断. 师: 日常生活中我们对直 线与平面垂直有很多感性认 识,如旗杆与地面、桥柱与水 面等, 你能举出更多的例子来 吗? 师:在阳光下观察,直立 于地面的旗杆及它在地面的 影子, 它们的位置关系如何? 生: 旗杆与地面内任意一 条经过 P 的直线垂直. 师: 那么旗杆所在直线与 平面内不经过 P 点的直线位 置关系如何,依据是什么? (图) 生:垂直,依据是异面直 线垂直的定义. 师: 你能尝试给线面垂直 下定义吗? ?? 师: 能否将任意直线改为 无数条直线?学生找一反例 说明. 设计 意图 复习 巩固

探索 新知

培养学 生的几 何直观 能力使 他们在 直观感 知,操 作确认 的基础 上学会 归纳概 括 结 论.

续上表 2

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二、直线和平面垂直的判定 1.试验 如图,过△ABC 的顶 点 A 翻 折纸片, 得 到 折 痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面 上(BD、DC 与桌面接触). ( 1 )折痕 AD 与桌面垂直 吗? (2) 如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 ? 垂直? 2.直线与平面垂直的判定定 理: 一条直线与一个平面内两条 相交直线都垂直, 则该直线与此平 面垂直. 思考: 能否将直线与平面垂直 的判定定理中的“两条相交直 线”改为 “一条直线或两条平行直 线”? 例 1 如图, 已知 a∥b, a⊥ ? , 求证:b⊥ ? . 【证明】 在平面 ? 内 作两条相 交 直线 m、n. 因为直线 a⊥ ? , 根据直线与 平面垂直的定义知 a⊥m,a⊥n. 又因为 b∥a, 所以 b⊥m,b⊥n. 又因为 m ? ? , n ? ? ,m、n 是两条相交直线, b⊥ ? . 师: 下面请同学们准备一 块三角形的小纸片, 我们一起 来做一个实验, (投影问题). 学生动手实验, 然后回答 问题. 生:当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时, AD 所在直线 与桌面所在平面 ? 垂直. 师:此时与 AD 垂直的是 一条直线还是两条直线? 生:AD 垂直于桌面两条 直线,而 且这两条直线相交. 师:怎么证明? 生:折痕 AD⊥BC,翻折 之后垂直关系不变,即 AD⊥ CD,AD⊥BD. 师: 直线和平面垂直的判 定定理体现了“直线与平面 垂直”与“直线与直线垂 直”互相转化的数学思想. 师:要证 b⊥ ? ,需证 b 与 ? 内任意一条直线的垂 直,又 a∥b,问题转化为 a 与面 ? 内任意直线 m 垂直, 这个结论显然成立. 学生依图及分析写出证 明过程. ?? 师:此结论可以直接利 用,判定直线和平面垂直.

探索 新知

培养学 生的几 何直观 能力使 他们在 直观感 知,操 作确认 的基础 上学会 归纳概 括 结 论.

典例 剖析

巩 固所学 知识培 养学生 转化化 归 能 力、书 写表达 能力.

续上表 3

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三、直线和平面所成的角 如图, 一条直线 PA 和一个 平面 ? 相 交, 但不与 这个平面垂直, 这条直线叫做这个 平面的斜线, 斜线的平面的交点 A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一 点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和 斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个 平面上的射影.平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面, 我们说 它们所成的角是直角; 一条直线和 平面平行, 或在平面内, 我们说它 们所成的角是 0° 的角. 例 2 如图, 在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中 , 求 A1B 和 平 面 A1B1CD 所成的角. 【分析】 找出直线 A1B 在平面 A1B1CD 内 的射影,就 可以求出 A1B 和平面 A1B1CD 所 成的角.

探索 新知

教师借助多媒体直接讲 授, 注意直线和平面所成的角 是分三种情况定义的.

借助多 媒体讲 授,提 高上课 效率.

典例 剖析

师:此题 A1 是斜足,要 求直线 A1B 与平面 A1B1CD 所 成的角, 关键在于过 B 点作出 (找到,面 A1B1CD 的垂线, 作出(找到)面 A1B1CD 的垂 线,直线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影就知道了,怎样过 B 作平面 A1B1CD 的垂线呢? 生:连接 BC1 即可. 师:能证明吗? 学生分析,教师板书,共 同完成求解过程.

点拨关 键点, 突破难 点,示 范书写 及解题 步骤.

典例 剖析

解:连接 BC1 交 B1C 于点 O, 连接 A1O. 设正方体的棱长为 a ,因为 A1B1 ⊥ B1C1 , A1B1 ⊥ B1B ,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1.

续上表 4

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又因为 BC1⊥B1C,所以 B1C ⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影, ∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角. 在 Rt△A1BO 中,

A1B ? 2a , BO ?
所以 BO ?

2 a, 2

1 A1 B , 2

∠BA1O = 30° , 因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30° . 四、二面角 1.二面角 (1)半平面 平面内的一条直线把平面分 成两部分, 这两部分通常称为半平 面. (2)二面角 从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫做二面角 (dihedral angle) .这条直线叫做 二面角的棱, 这两个半平面叫做二 面角的面. (3)二面角的求法与画法 教师结合二面角模型, 类 比以上几个问题, 归纳出二面 角的概念及记法表示 (可将角 与二面角从图形、 定义、 构成、 表示进行列表对比). 师生共同实验(折纸)思 考二面角的大小与哪一个角 的大小相同?这个角的边与 二面角的棱有什么关系? 生: 过二面角棱上一点 O 在二面角的面上分别作射线 与二面角的棱垂直, 得到的角 与二面角大小相等. 师:改变 O 的位置,这 个角 的大小变不变. 生:由等角定理知不变.

探索 新知

通过模 型 教 学,培 养学生 几何直 观 能 力,通 过类比 教学, 加深学 生对知 识的理 解.

续上表 5

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棱为 AB、面分别为 ? 、 ? 的 二面角记作二面角 ? ? AB ? ? . 有时为了方便, 也可在 ? , ? 内 (棱 以外的半平面部分)分别取点 P、 Q,将这个二面角记作二面角 P – AB – Q.如果棱记作 l, 那么这个二 面角记作二面角 ? ? l ? ? 或 P – l – Q. 2.二面角的平面角 探索 新知 通过实 验,培 养学生 学习兴 趣和探 索意 识,加 深对知 识的理 解与掌 握.

如图(1)在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足, 在半平面 ? 和 ? 内分别作垂直于 棱 l 的射线 OA 和 OB, 则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角 的平面角. (2)二面角的平面角的大小 与 O 点位置无关. (3)二面角的平面角的范围 是[0,180° ] (4)平面角为直角的二面角 叫做直二面角. 探索 新知 五、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义, 记法与画法. 一般地, 两个平面相交, 如果 它们所成的二面角是直二面角, 就 说这两个平面互相垂直. 学生自学, 教师点拨一下 注意事项. 师:以教室的门为例,由 于门框木柱与地面垂直, 那么 经过木柱的门无论转到什么 位置都有门面垂直于地面, 即 ? ? ? ,请同学给出面面垂直 的判定定理.

培养学 生自学 能力, 通过实 验,培 养学生 观察能 力.

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续上表 两个互相垂直的平面通常画成此图 的样子,此时, 把直立平面的竖边画成与 水平平面的横边垂直.平面 ? 与 ? 垂直, 记作 ? ⊥ ? . 典例 剖析

2.两个平面互相垂直的判定定理, 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个 平面垂直. 例 3 如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面, C 是圆周上不同 于 A、B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥ 平面 PBC. 【证明】 设⊙O 所在平面为 ? , 由已 知条件, PA⊥ ? , BC 在 ? 内, 所 以 PA ⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, 所以,∠BCA 是直角,即 BC⊥AC. 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内 的两条直线. 所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内, 所以,平面 PAC⊥平面 PBC. 1.直线和平面垂直的定义判定. 2.直线和平面所成的角定义与解答 步骤、完善. 3.线线垂直 ? 线面垂直. 4.二面角的定义画法与记法. 5.面面垂直的判定方法. 师:平面与平 面垂直的判定方法 有面面垂直的定义 和面面垂直的判定 定理,而本题二面 角 A – PC – B 的平 面角不好找,故应 选择判定定理,而 应用判定定理证面 面垂直的关键是在 其中一个平面内 找 (作)一条直线 与另一平面垂直, 在已有图形中 BC 符合解题要求,为 什么? 学生分析,教 师板书. 巩 固 所 学 知 识,培养 学生观察 能力,空 间想象能 力,书写 表 达 能 力.

典例 分析

小结

学生总结、教师补 充完善.

回顾、反 思、归纳, 提高自我 整合知识 的能力.

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课堂作业 1.如图,在三棱锥 V–ABC 中,VA = VC,AB = BC,求证:VB⊥AC.

2.过△ABC 所在平面 ? 外一点 P,作 PO⊥ ? ,垂足为 O,连接 PA ,PB,PC. (1)若 PA= PB = PC,∠C =90° ,则点 O 是 AB 边的 . (2)若 PA = PB =PC,则点 O 是△ABC 的 心. (3)若 P A⊥PB,PB⊥PC,PC⊥P A,则点 O 是△ABC 的 心. 3.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线一定平行吗? 4.如图,直四棱柱 A′B′C′D′ – ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中, 底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A′C⊥B′D′?

5.如图,正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点, 现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2, G3 三点重合, 重合后的点记为 G, 则在四面体 S – EFG 中必有 ( ) . A.SG⊥EFG 所在平面 B.SD⊥EFG 所在平面 C.GF⊥SEF 所在平面 D.GD⊥SEF 所在平面 6.如图,已知 AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?

参考答案: 1.略 2.(1)中点; (2)外; (3)垂. 3. 不一定平行. 4.AC⊥BD. 5. A 6. 面 ABC⊥面 BCD,面 ABD⊥面 BCD,面 ACD⊥面 ABC. 8

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教学内容:2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; 2. 能运用性质定理解决一些简单问题; 3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 二、过程与方法 在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识. 三、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”,形成空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力. 教学重点、难点 教学重点:两个性质 定理的证明. 教学难点:两个性质 定理的证明. 教学关键:引导学生掌握两个性质定理的证明,并且能够应用两个性质定理来证明 较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题. 教学突破方法:本节主要使用启发式和探究式教学.使学生掌握两个性质定理的条 件及结论,知道如何应用两个性质定理,在教师的示例引导下,在具体的解题过程中对 两个定理进行巩固和提高. 教法与学法导航 教学方法:问题教学法,练习法,启发式教学.通过提出问题,学生思考并体会在 线面垂直、面面垂直的条件下,可以得到什么结论,与上节的判定定理相对照.在理解 两个定理的基础上,进行有针对性的练习. 学习方法:自主探究,自主学习,互动学习,合作交流,动手实践,归纳总结. 教学准备 教师准备:多媒体课件(用于展示问题,引导讨论,出示答案). 学生准备:直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理. 教学过程 教学 过程 设计 意图 复习巩 固,以 旧 带 新.

教学内容 问题 1: 判定直线和平面垂直 的方法有几种? 问题 2: 若一条直线和一个平 面垂直,可得到什么结论?若两 条直线与同一个平面垂直呢?

师生互动

新课 导入

师投影问题. 学生思 考、讨论问题,教师点出主 题.

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续上表 一、直线与平面垂直的性质定 理 1.问题:已知直线 a、b 和平 面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? ,那么直线 a、b 一定平行吗? 已知 a⊥a,b⊥a, 求证: b∥a. 生:借助长方体模型 AA′ 、 BB′、 CC′ 、 DD′ 所在直 线都垂直于平面 ABCD, 它们 之间相互平行,所以结论成 立. 师:怎么证明呢?由于 无法把两条直线 a、b 归入到 一个平面内,故无法应用平 行直线的判定知识,也无法 应用公理 4,在这种情况下, 我们采用“反证法”. 师生边分析边板书. 借助模 型 教 学,培 养几何 直观能 力,反 证法证 题是一 个 难 点,采 用以教 师 为 主,能 起到一 个示范 作用, 并提高 上课效 率.

探索 新知

【证明】 假定 b 不平行于 a, 设
b ? =O,

b′是经过 O 与直线 a 平行的直 线, ∵ a∥b′,a⊥a, ∴ b′⊥a, 即经过同一点 O 的两线 b、b′ 都与 ? 垂直这是不可能的, 因此 b∥a. 2. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行. 简化为:线面垂直 ? 线线平行. 二、平面与平面垂直的性质定 理 1.问题 黑板所在平面与地面所在平面 垂直,你能否在黑板上画一条直线 与地面垂直? 教师投影问题,学生思 考、观察、讨论,然后回答 问题. 生:借助长方体模型, 在长方体 ABCD – A′B′C′D′ 中, 面 A′ADD′⊥面 ABCD, A′A ⊥AD,AB⊥A′A, ∵ AD A?A ? A , ∴A′A⊥面 ABCD. 故只需在黑板上作一直 线与两个平面的交线垂直即 可.

探索 新知

本 例题的 难点是 构造辅 助线, 采用分 析综合 法能较 好地解 决这个 问题.

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续上表 2.例 1 设 ? ? ? ,? 求证 AB⊥β,
? =CD,

AB ? ? ,AB⊥CD,AB⊥CD = B,

师:证明直线和平面垂 直一般都转化为证直线和平 面内两条交线垂直,现 AB⊥ CD,需找一条直线与 AB 垂 直,有条件 ? ? ? 还没有用, 能否利用 ? ? ? 构造一条直 线与 AB 垂直呢? 生:在面 ? 内过 B 作 BE

探索 新知

【证明】在 ? 内引直线 BE ⊥ CD,垂足为 B,则∠ABE 是二面角 ? ? CD ? ? 的平面角 . 由 ? ? ? 知, AB⊥BE, 又 AB⊥CD, BE 与 CD 是 β 内的两条相交直线,所以 AB⊥β . 3. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面垂 直. 简记为: 面面垂直 ? 线面垂直. 例 2 如图,已知平面 ? , ? , ? ? ? ,直线 a 满足 a ? ? ,a ? ? , 试判断直线 a 与平面 ? 的位置关 系.

⊥CD 即可. 师:为什么呢? 学生分析,教师板书.

典例 分析 【解析】在 ? 内作垂直于 ? 与 ? 相交的直线 b, 因为α ⊥β ,所以 b⊥β , 因为α ⊥β ,所以 a∥b. 又因为 a ? ? ,所以 a∥ ? . 即直线 a 与平面α 平行.

师投影例 2 并读题. 生:平行. 师:证明线面平行一般 策略是什么? 生:先证明线线平行. 师: 假设 ? 内一条直线 b ∥a 则 b 与 ? 的位置关系如 何? 生:垂直. 师:已知 b ? ? , ? ? ? , 怎样作直线 b? 生:在 ? 内作 b 垂直于 ? 、 ? 的交线即可. 学生写出证明过程,教 师投影. 师投影例 3 并读题,师 生共同分析思路,完成证题 过程,然后教师给予评注.

巩固所 学 知 识,训 练分类 思想化 归能力 及思维 的灵活 性.

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续上表 例 3 设平面 ? ⊥平面 ? ,过点 P 作平面 ? 的垂线 a,试判断直线 a 与平面 ? 的位置关系?

典例 分析

师:利用“同一法” 证明问题主要是在按一 般途径不易完成问题的 情形下,所采用的一种数 学方法,这里要求做到两 点 . 一是作出符合题意的 直线不易想到,二是证直 线 b 与直线 a 重合,相对 容易一些,本题注意要分 类讨论,其结论也可作性 质用.

【证明】如图,设 ?

? = c,

过点 P 在平面 ? 内作直线 b⊥c,根 据平面与平面垂直的性质定理有 b??. 因为过一点有且只有一条直线 与平面 ? 垂直,所以直线 a 与直线 b 重合,因此 a ? ? . 1.直线和平面垂直的性质. 2.平面和平面垂直的性质. 3.面面垂直、线面垂直、线线垂 直的关系. 回顾、反 思、归纳知 识提高自 我整合知 识的能力.

小结

学生归纳总结,教师 再补充完善.

课堂作业 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“× ”. a.垂直于同一条直线的两个平面互相平行.( ) b.垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( ) c. 一条直线在平面内, 另一条直线与这个平面垂直, 则这两条直线互相垂直. ( d. 已知直线 a,b 和平面 ? ,且 a⊥b,a⊥ ? ,则 b∥ ? .( ) 答案:a. √ b. √ c. √ d. × 2. (1)下列命题中错误 的是( ) . .. A.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线垂直于平面 ? B.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? C.如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D.如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? l ,那么 l ? ? (2)已知两个平面垂直,下列命题 12



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①一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是( ) . A.3 B.2 C.1 D.0 答案: (1)A (2) B 3.设直线 a,b 分别在正方体 ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内,欲使 a ∥b,a,b 应满足什么条件? 答案:不相交,不异面. 4.已知平面 ? , ? ,直线 a,且 ? ? ? , ? ? ? AB ,a∥ ? ,a⊥AB,试判断直 线 a 与直线 ? 的位置关系. 答案:平行、相交或在平面 ? 内. 5. 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面,

另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 ? 垂直,a 是 ? 内 一条直线, 若斜边 AB 与 a 垂直, 则 BC 是否与 a 垂直? 【解析】
a ? AC ? AC ? ? ? a ? 平面ABC ? ? ? a ? AB ? ? ? ? ? a ? BC . a ?? ? BC ? 平面ABC ? ? AC AB ? A?

6.

求证: 如果两个平面都垂直于第三个平面, 则它

? ⊥γ , 们的交线垂直于第三个平面. 已知 ? ⊥γ , ? ∩? =

l,求证:l⊥γ. 【证明】解法一:如图,设 ? ∩γ= a , ? ∩γ= b,在 γ 内任取一点 P.过点 P 在 γ 内作直线 m⊥a,n⊥b. ∵ ? ⊥γ, ? ⊥γ, ∴m⊥a,n⊥ ? (面面垂直的性质) . 又 ? ∩ ? = l, ∴l⊥m,l⊥n.又 m∩n = P,m,n ? γ ∴l⊥γ.

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解法二:如图,设 ? ∩γ= a, ? ∩γ= b,在 ? 内作 m⊥a,在 ? 内作 n⊥b. ∵ ? ⊥γ, ? ⊥γ, ∴m⊥γ,n⊥γ. ∴m∥n,又 n ? ? ,m ? ? , ∴m∥β,又 ? ∩ ? = l,m ? ? , ∴m∥l, 又 m⊥γ,∴l⊥γ.

教案 B 第 1 课时
教学内容:2.3.1 直线与平面垂直的判定 教学目标 1. 经历并体验线面垂直的定义和判定定理的探究过程,并能应用定理进行简单的 线面垂直的判定; 2. 增强对立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的应用能力; 3. 领悟类比与转化的数学思想,亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,自 主地思考问题、探究问题,增强学习数学的兴趣. 教学重点、难点 教学重点 直线与平面垂直的定义、判定定理的探究 教学难点 1. 体会“线面垂直”所包含的空间问题平面化; 2. 类比线面垂直的定义,分析“一条直线与平面内的任一直线垂直”所包含的一 般性与特殊性的转化. 教学过程 一、从实际背景中感知直线与平面垂直的形象 问题 1:空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系? 设计意图:此问基于学生已有的数学现实,通过对已学相关知识的追忆,寻找新知 识学习的“固着点”. 问题 2:在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么?请举例说明. 14

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设计意图:此问基于学生的客观现实,通过对生活事例的观察,让学生直观感知直 线与平面相交中一种特例,直线与平面垂直的初步形象,激起进一步探究直线与平面垂 直的意义. 二、提炼直线与平面垂直的定义 问题 3:你能给出直线和平面垂直的定义吗?回忆一下直线与直线垂直是如何定义 的? 设计意图:两直线垂直有相交垂直和异面垂直,而异面直线垂直是转化为两直线相 交垂直,实质上是将空间问题转化为平面问题,让学生回忆直线与直线垂直的定义,旨 在由此得到启发:用“平面化”的思想来思考问题,即能否用一条直线垂直于一个平面 内的直线,来定义这条直线与这个平面垂直? 问题 4:结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. 1. 阳光下,旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? 2. 随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度 是否会发生改变? 3. 旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什 么? 设计意图:第 1 与 2 两问旨在让学生发现旗杆 AB 所在直线始终与地面上任意一条 过点 B 的直线垂直, 第 3 问进一步让学生发现旗杆 AB 所在直线始终与地面上任意一条 不过点 B 的直线也垂直,在这里,主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面 的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念. (学生叙写定义,并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化) 思考:(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与 这个平面垂直? (2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有 直线? (对问(1)在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示;对问(2)可引 导学生给出符号语言表述:若 l⊥α,a?α,则 l⊥a) 设计意图:通过对问题(1)的辨析讨论,深化直线与平面垂直的概念.通过对问 题(2)的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法. 通常定义可以作为判定依据, 但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平 面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直,这给我们的判定带来困难, 因为我们无法去一一检验.这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直 的判定方法. 三、探究直线与平面垂直的判定定理 创设情境 猜想定理:某公司要安装一根 8 米高的旗杆,两位工人先从旗杆的顶点 挂两条长 10 米的绳子,然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在 同一直线上).如果这两点都和旗杆脚距离 6 米,那么表明旗杆就和地面垂直了,你知 道这是为什么吗? 15

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设计意图:引导学生根据直观感知以及已有经验,进行合情推理,猜想判定定理. 师生活动:(折纸试验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过 三角形的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD(如图 1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面 上(BD、DC 与桌面接触)

问题 5:(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? (组织学生动手操作、探究、确认) 设计意图:通过折纸让学生发现当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,且 B、D、C 不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕 AD 才不偏不倚地站立着, 即 AD 与桌面垂直 (如 图 2),其他位置都不能使 AD 与桌面垂直. 问题 6:在你翻折纸片的过程中,纸片的形状发生了变化,这是变的一面,那么不 变的一面是什么呢?(可从线与线的关系考虑)如果我们把折痕抽象为直线 l,把 BD、 CD 抽象为直线 m,n,把桌面抽象为平面 α (如图 3),那么你认为保证直线 l 与平面 α 垂直的条件是什么? 对于两条相交直线必须在平面内这一点,教师可引导学生操作:将纸片绕直线 AD (点 D 始终在桌面内)转动,使得直线 CD、BD 不在桌面所在平面内.问:直线 AD 现 在还垂直于桌面所在平面吗? (此处引导学生认识到直线 CD、 BD 都必须是平面内的直 线)

设计意图:通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内,从而更凸现出直线 与平面垂直判定定理的核心词:平面内两条相交直线. 问题 7:如果将图 3 中的两条相交直线 m、n 的位置改变一下,仍保证 l⊥m,l⊥n, (如图 4)你认为直线 l 还垂直于平面 α 吗? 设计意图:让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平 面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直, 至于这两条相交直线是否和已知直线有公 共点,这是无关紧要的. 根据试验,请你给出直线与平面垂直的判定方法. (学生叙写判定定理,给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化)

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问题 8: (1)和直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在 哪里? (2)你觉得定义与判定定理的共同点是什么? 设计意图:通过和直线与平面垂直定义的比较,让学生体会“无限转化为有限”的 数学思想,通过寻找定义与判定定理的共同点,感悟和体会“空间问题转化为平面问 题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想. 思考:现在,你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗?为什么要求绳子在地 面上两点和旗杆脚不在同一直线上? 如果安装完了,请你去检验旗杆与地面是否垂直,你有什么好方法? 设计意图:用学到手的知识解释实际生活中的问题,增强学生用数学的意识,同时 通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?”(对该问题可 引导学生用三角形纸片来验证),从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解. 四、直线与平面垂直判定定理的应用 如图 5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线.并说明这 些直线有怎样的位置关系?

思考:P65 如图 6,已知 a∥b,a⊥α,则 b⊥α 吗?请说明理由. (分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明;并让学生用语 言叙述:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这 个平面) 设计意图:这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题,这个命题体现 了平行关系与垂直关系之间的联系. 练习:P67 如图,在三棱锥 V-ABC 中 ,VA=VC,AB=BC,K 是 AC 的中点. 求证:AC⊥平面 VKB. 思考:(1)在三棱锥 V-ABC 中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC; (2)在⑴中,若 E、F 分别是 AB、BC 的中点,试判断 EF 与平面 VKB 的位置关 系; (3)在⑵的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF, ∴VB⊥平面 ABC”,对吗? 设计意图: 例 2 重在对直线与平面垂直判定定理的应用. 变式 (1) 在例 2 的基础上, 应用了直线与平面垂直的意义;变式(2)是对例 1 判定方法的应用;变式(3)的判断 17

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在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理.3 个小题环环相扣, 汇集了本节课的学习内 容,突出了知识间内在联系和融会贯通. 五、归纳小结 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题? (3)直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法? 六、尝试练习 1.课本 P66 探究:如图 2.3-7,直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱 称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A1C⊥B1D1. 2.如右图,PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,写出图中所有的直 角三角形. 3.课本 P67 练习 2.

第 2 课时
教学内容:2.3.2 平面与平面垂直的判定 教学目标 一、知识与技能 1. 理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互 相垂直”的概念; 2. 掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用. 二、过程与方法 1. 经历直观感知“二面角”概念的形成过程; 2. 类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 三、情感、态度与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程,感受数学存在于观实生活周围,从中形成 积极思维,发展观察、分析、解决问题能力. 教学重点、难点 教学重点:平面与平面垂直的判定. 教学难点:如何度量二面角的大小. 18

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学法与教学用具. 1. 学法:实物观察,类比归纳,语言表达. 2. 教学用具:二面角模型(两块硬纸板) . 教学过程 一、创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎 样定义的?它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许 多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形, 你能举出这个问题的一些例子吗?如修 水坝、发射人造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察, 研探. 二、研探新知 1. 二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对 以上问题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示) 角 A 图形 顶点 O 边 边 B A 棱 l B α 从空间一直线出发的两个半平 面所组成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角 α- l -β 或 α-AB-β β 二面角

从平面内一点出发的两条射线 定义 (半直线)所组成的图形 构成 表示 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

2. 二面角的度量 二面角定理反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些”,是 指二面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢? 师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备好的二面角的模型)在其棱上任取 一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如下图) ,通过实验操作,研探二面角大小 的度量方法——二面角的平面角. 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥l” ,OB⊥l; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 l 上位置无关; 19

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(3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 三、变式训练、巩固提高 例 1 如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC. 变式 1:图中还有哪些平面互相垂直? 变式 2:增加条件
PE PF ,求证:平面 AEF⊥平面 PAC. ? PC PB

β O

B l A α

变式 3:增加条件:在 AB 上取一点 D,且 AD=1,BD=3,AC=2,求证:平面 PCD ⊥平面 PAB. 变式 4:如何在 PC 上找一点 D,使得平面 ABD⊥平面 PBC. 变式 5:若点 Q 由点 A 运动到点 P 时, 平面 QAC 和平面 QCB 所成的二面角 ( ) . A. 变得越来越小 B. 变得越来越大 C. 不变 D. 在变,但总是锐角 四、小结归纳,整体认识 1. 二面角以及平面角的有关概念; 2. 两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? 五、布置作业 P73 习题 2.3 A,1,2,3,4.

第 3 课时
教学内容:2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; 2. 能运用性质定理解决一些简单问题; 3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 二、过程与方法 1. 在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; 2. 经历线面垂直和面面垂直性质定理的推理论证过程. 三、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认,推理证明”,获得空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力. 20

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教学重点、难点 两个性质定理的证明. 学法与用具 学法:直观感知、操作确认,猜想与证明. 用具:长方体模型. 教学设计 一、创设情景,揭示课题 问题:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面 垂直呢? 让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们 一起来观察、研探.(自然进入课题内容) 二、研探新知 1. 操作确认 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.如图 1,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间 是什么位置关系?(显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线 a⊥α 、b⊥α、那 么直线 a、b 一定平行吗? (一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?
D′ A′ D C B′ C′

a

b

α

A

B

图1

图2

2. 推理证明 已知:a⊥α, b⊥α(如图 2) , 求证:a∥b. 我们先分析一下: a、 b 是空间中的两条直线, 要证明它们互相平行, 一般先证明什么呢? (它们共面) , 然后再用什么定理来证明呢?(直线平行判定定理) ,但这个命题的条件比较简单,同 学们思考一下要证明它们共面容易吗?(证明 a、b 共面就很困难,更何况还要证明平 行.) 我们能否从另一个角度来证明呢?比如,a、b 不平行会有什么矛盾?如果 a、b 不 平行能产生矛盾的话, 我们是不是能说明 a、 b 是平行的了. 这就是我们以前学过的“反 证法”. 21

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(提问)反证法的一般步骤是什么?(否定结论?推出矛盾?肯定结论). 下面我们用“反证法”来探讨这个逆命题是否成立: 第一步,我们做一个反面的假设,假定 b 与 a 不平行. 第二步,现在应该要推出矛盾,从已知条件中的垂直关系,我们看回到例题 2,在 这个直线与平面垂直的判定定理的已知条件中,平面有一条垂线,垂线有一条平行线, 再看回我们所作的图中,我们还缺少一条平行线,因此需要添加一条辅助线. 第三步, 【证明】假定 b 与 a 不平行, 设 b∩α=O,作 b′是经过点 O 与直线 a 平行的直 线, ∵ a∥b′,a⊥α,∴b′⊥α, 经过同一点 O 的两条直线 b, b′都垂直于平面 α 是 不可能的, 因此,a∥b. 我们现在得到了直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 三、探究巩固 探究:设直线 a,b 分别在正方体 ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内, 欲使 b∥a,a、b 应满足什么条件? 【分析】结合两直线平行的判定定理,考虑 a、b 满足的条件. 【解析】a、b 满足下面条件中的任何一个,都能使 b∥a, (1)a、b 同垂直于正方体的一个面; (2)a、b 分别在正方体两个相对的面内且共面; (3)a、b 平行于同一条棱; (4)如图,E、F、G、H分别为 B′C′、CC′、AA′、A D的中点,EF所在直线为 a,GH所在直线为 b,等. 四、类比拓展,研探新知 类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如: 如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线? 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在 黑板上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.然后师生互动,共同 完成性质定理的确认与证明,并归纳性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 五、巩固深化、发展思维 思考 1:设平面 α⊥平面 β,点 P 在平面 α 内,过点 P 作平面 β 的垂线 a,直线 a 与平面 α 具有什么位置关系? 我们知道, 过一点只能作一条直 线与已知平面垂直, 因此, 如果过一 点有两直线与平面垂直, 那么这两条 直线重合. 如右图,设 α∩β=c,过点 P 在 22

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平面 α 内作直线 b⊥c,根据平面垂直的性质定理有 b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与平面 β 垂直,所以直线 a 与直线 b 重合,因此,有 a ? α. 思考 2:如图,已知平面 α,β 满足 α⊥β,直线 a 满足 a ⊥β,a ? α,试判断直线 a 与平面 α 的位置关系. 【解析】在 α 内作垂直于 α 与 β 相交的直线 b, 因为 α⊥β,所以 b⊥β, 因为 a⊥β,所以 a∥b, 又因为 a ? α,所以 a∥α, 即直线 a 与平面 α 平行. 六、归纳小结,课后巩固 1.请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? 2.类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 七.布置作业 P73 习题 2.3A 组:5,6,7, 8, 9. P74 习题 2.3B 组:1,2,3,4.

第二章测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.给出下列语句:①桌面就是一个平面;②一个平面长 3 m,宽 2 m;③平面内有无数 个点,平面可以看成点的集合;④空间图形是由空间的点,线,面所构成的.其中正确的 个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是( ) A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 1 或 4 3.空间四边形 ABCD(如右图)中,若 AD⊥BC,BD⊥AD, 则有( ) A. 平面 ABC⊥平面 ADC B. 平面 ABC⊥平面 ADB C. 平面 ABC⊥平面 DBC D. 平面 ADC⊥平面 DBC 4.若 a∥b,a⊥α,b∥β,则( ) A. α∥β B. b∥α C. α⊥β D. a⊥β 5.在空间四边形 ABCD(如右下图)各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、 23

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H 四点,如果 EF 与 GH 相交于点 P,那么( ) A. 点 P 必在直线 AC 上 B. 点 P 必在直线 BD 上 C. 点 P 必在平面 DBC 内 D. 点 P 必在平面 ABC 外 6.下面四个命题: ①若直线 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; ②若直线 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若直线 a∥b,b∥c,则 a∥b∥c; ④若直线 a∥b,则 a,b 与直线 c 所成的角相等. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 (如右下图) ,A1 B 与 平面 BB1 D1 D 所成的角的大小是( A. 90° B. 60° ) C. 45° D. 30°

8.如下图,设四面体 ABCD 各棱长均相等, E、F 分别 为 AC、AD 中点, 则 ?BEF 在 该 四面 体的 面 ABC 上 的 射 影是 下图 中的 ( ) . A F E B C D

A B C D 9.如图, 平行四边形 ABCD 中, AB⊥BD, 沿 BD 将△ABD 折起, 使面 ABD⊥面 BCD, 连接 AC,则在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直的平面的对数为( ) .

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.异面直线 a 与 b 分别在平面 α,β 内,α 与 β 交于直线 l,则直线 l 与 a,b 的位 置关系一定是( ) A. l 至少与 a,b 中的一条相交 B. l 至多与 a,b 中的一条相交 C. l 至少与 a,b 中的一条平行 D. l 与 a,b 都相交 11.在如下图所示的四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是( ) .

12.三棱锥 P-ABC 的所有棱长都相等,D、E、F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下 面四个结论中不成立的是( ) .

A. BC∥平面 PDF

B. DF⊥平面 PAE 25

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C. 平面 PDF⊥平面 ABC D. 平面 PAE⊥平面 ABC

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知两条相交直线 a , b , a ∥平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 . 14.如果一条直线与一个平面垂直, 那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”, 在一个正方体中,由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是 ______. 15.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, 以下四个命题: N ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; C D ③ CN 与 BM 成 60° ; ④ CN 与 AF 垂直. E A B 其中正确的有 (写出所有正确命 题的序号). F 16.已知平面 ? , ? 和直线 m ,给出条件: ① m // ? ; ②m ?? ; ③ m ?? ; ④? ? ? ; ⑤ ? // ? . (1) 当满足条件 有 m // ? ; (2)当满足条件 时,有 m ? ? . 时,

M

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17. (10 分) 如图所示, 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成二面角 A-BD-C, 使 AC=a,求证:平面 ABD⊥平面 CBD. 18.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

19.(12 分)多面体 P-ABCD 的直观图及三视图如图所示,其中正视图、侧视图是 26

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等腰直角三角形,俯视图是正方形,E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:PA∥平面 EFG; (2)求三棱锥 P-EFG 的体积.

20. (12 分)如右图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD , PD ? DC , P E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F (1)证明 PA // 平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 DEF . E F C

D

A

B

21. (12 分)如下图所示,正方形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相互垂直, G 是 AF 的中点. (1)求证: ED ? AC ; (2)若直线 BE 与平面 ABCD 成 45o 角,求异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值.

22.(14 分).在几何体 ABCDE 中, ?BAC ? 面 ABC , AB ? AC ? BE ? 2 , CD ? 1 .

?
2

, DC ⊥平面 ABC , EB ⊥平

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(1)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l ,求证: l ∥平面 BCDE ; ( 2 )在棱 BC 上是否存在一点 F 使得平面 E AFD ⊥平面 AFE .

D

C
A

B

参考答案
一、选择题 1.选 B.平面是不能定义的原始概念,具有无限延展性,无长度、厚度之分,空间 中的点构成线、线构成面,所以四种说法中①②不正确. 2.选 D.当四点共面时,可形成平面四边形,确定一个平面.当四点不在同一平面内 时,连接四点可形成四面体,可确定 4 个平面. 3.选 D.∵AD⊥BC,AD⊥BD,∴AD⊥面 BCD,又 AD?平面 ADC,∴面 ADC⊥面 BCD. 4.选 C.∵a∥b,a⊥α,∴b⊥α,∵a∥b,b∥β,∴在 β 内有与 b 平行的直线,设 为 c, 又∵b⊥α,∴c⊥α,又∵c?β,∴α⊥β. 5.选 A.∵EF∩GH=P,∴P∈EF,又∵EF ? 面 ABC,∴P∈面 ABC,同理 P∈GH, ∴P∈面 ACD,∴P 在面 ABC 与面 ACD 的交线 AC 上. 6.选 C.①中 a 与 c 可能异面、相交或平行;②中 a 与 c 可能异面、相交或平行; ③是平行公理;④显然正确.故③④正确. 7.选 D.如图,A1 在平面 BB1D1D 上的射影为 B1D1 的中点 O1,设正方体棱长为 1, 则 A1B= 2 ,A1O1= A1BO1=30° . 8.选 B.如图, 因为点 D 在平面 ABC 上的射影为正三角形 ABC 的中心 O, 因此点 F 的射影为 AO 的中点 F′,因此 ?BEF 在该四面体的面 ABC 上的 射影是图 B.

1 2 ,所以 sin∠A1BO1= ,因此 A1 B 与平面 BB1 D1 D 所成的角∠ 2 2

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9.选 C.折叠后,∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB⊥BD, AB ? 平面 ABD,∴AB⊥平面 BCD,AB ? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BCD,∴AB ⊥BC,同理 CD⊥BD,CD ? 平面 BCD,∴CD⊥平面 ABD,又∵CD ? 平面 ACD,∴ 平面 ACD⊥平面 ABD,互相垂直的平面有:平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ACD⊥平面 ABD 共 3 对. 10.选 A.若 a,b 与 l 都不相交,∵a, l 共面,b, l 共面,∴a∥ l ,b∥ l ,∴a∥b 与 a,b 异面矛盾,∴a,b 都与 l 不相交不可能,故 A 正确. 11.选 A. A 中,∵CD⊥平面 AMB,∴CD⊥AB;B 中,AB 与 CD 成 60° 角;C 中,AB 与 CD 成 45° 角;D 中,AB 与 CD 成角的正切值为 2 . 12.选 C.∵BC∥DF,∴BC∥平面 PDF,A 正确;∵BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平 面 PAE.又∵DF∥BC,∴DF⊥平面 PAE,B 正确;∵BC⊥平面 PAE,BC ? 平面 ABC, ∴平面 PAE⊥平面 ABC,D 正确. 二、填空题 13.因为直线与平面 α 没有公共点,因此直线 b 不会在平面 α 内,即直线 b 在平面 α 外,所以直线 b 与平面 α 可能平行,可能相交. 答案:相交或平行. 14.正方体的一条棱对应着 2 个“正交线面对” ,12 条棱共对应着 24 个“正交线面 对” ; 正方体的一条面对角线对应着 1 个 “正交线面对” , 12 条面对角线对应着 12 个 “正 交线面对” ,共有 36 个. 答案:36 15.如图,作出正方体原图,容易在图形中得出,①②是错误的;因为 CN∥BE, 所以 CN 与 BM 所成角即为∠EBM=60° ,而 AF⊥BE,所以 AF⊥CN. 29

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答案:③④ 16. (1)在所给条件①②③④⑤中,①②③是互斥的条件,即一个成立,另两个肯 定不成立;④⑤也是互斥的条件.当具备条件③⑤时, m // ? 成立;当具备条件②⑤时,

m??.
答案: (1)③⑤; (2)②⑤. 三、解答题 17.【证明】设原正方形的对角线 AC 和 BD 交于点 O,则折叠后仍有 AO⊥BD, CO ⊥ BD , ∴ ∠ AOC 是 二 面 角 A-BD-C 的 平 面 角 . ∵ AC=a , AO=CO=

2 a,∴ 2

AC2=a2=AO2+CO2, ∴∠AOC=90° , 二面角 A-BD-C 是直二面角, 即平面 ABD⊥平面 CBD. 18. 【证明】∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,∴ EF ∥ BD , 又 EF ? 平面

BDG , BD ? 平面 BDG ,∴ EF ∥平面 BDG

D1G

EB ,∴四边形 D1GBE 为平

行四边形,∴ D1E ∥ GB ,又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ,∴ D1E ∥平面

BDG . 又 EF

D1E ? E ,∴平面 D1EF ∥平面 BDG .

19.【证明】 (1)方法一:如图,取 AD 的中点 H,连接 GH,FH. ∵E、F 分别为 PC、PD 的中点,∴EF∥CD.∵G、H 分别为 BC、AD 的中点, ∴GH∥CD,∴EF∥GH,∴E、F、H、G 四点共面. ∵F、H 分别为 DP、DA 的中点,∴PA∥FH. ∵PA ? 平面 EFG,FH ? 平面 EFG,∴PA∥平面 EFG. 方法二:∵E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点. ∴EF∥CD,EG∥PB. ∵CD∥AB,∴EF∥AB. ∵PB∩AB=B,EF∩EG=E, ∴平面 EFG∥平面 PAB. ∵PA ? 平面 PAB,∴PA∥平面 EFG. (2)由三视图可知,PD⊥平面 ABCD,又∵GC ? 平面 ABCD,∴GC⊥PD.∵四 边形 ABCD 为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面 PCD.∵PF= EF=

1 PD=1, 2

1 1 1 CD=1,∴S△PEF= EF· PF= . 2 2 2

30

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
∵GC=

1 1 1 1 1 BC=1,∴VP-EFG=VG-PEF= S△PEF· GC= × × 1= . 2 3 3 2 6
P

20. 【证明】 (1)连接 AC,AC 交 BD 于 O,连 接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中,EO 是中位线, ∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴PA // 平面 EDB (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD, A ∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰 直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE ? PC . ① 同理:由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC,而 DE ? 平面 PDC, ∴ BC ? DE . ② 由①和②推得 DE ? 平面 PBC.而 PB ? 平面 PBC, ∴ DE ? PB ,又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E , ∴PB⊥平面 EFD. 21. 【证明】 (1)在矩形 ADEF 中, ED ? AD , ∵ 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平 面 ABCD ? AD ,∴ ED ? 平面ABCD ,∴ ED ? AC . (2)由(1)知: ED ? 平面ABCD , ∴ ? EDB 是直线 BE 与平面 ABCD 所成的角,即 ? EDB ? 45? . 设 AB ? a, 则DE ? BD ? D

F

E

C

B

2a ,

取 DE中点M ,连接 AM , ∵ G 是 AF 的中点, ∴ AM // GE , ∴ ?MAC 是异面直线 GE 与 AC 所成角或其补角. 连接 BD 交 AC 于点 O , 31

教师备课系统──多媒体教案

∵ AM ? CM ?

a2 ? (

2 2 6 a) ? a , O是AC 的中点, 2 2

2 a AO 3 2 ? ? ∴ MO ? AC ,∴ cos?MAC ? . AM 3 6 a 2
∴ 异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值为

3 . 3

22. 【证明】 (1) ∵CD⊥平面 ABC, BE⊥平面 ABC, ∴CD//BE,∴CD//平面 ABE, 又 l=平面 ACD∩平面 ABE,∴CD// l, 又 l ? 平面 BCDE,CD ? 平面 BCDE,∴l //平面 BCDE. (2)存在,F 是 BC 的中点,下加以证明: ∵CD⊥平面 ABC, ∴CD⊥AF.? AB=AC,F 是 BC 的中点, ∴ AF ? BC ,∴ AF ? 平面BCDE . ∴ AF ? DF , AF ? EF ,∴ ? DFE 是面 AFD 和面 AFE 所成二面角的平面角 . 在△ DEF 中,FD= 3, FE ?

6 , DE ? 3 ,

∴FD⊥FE ,即 ?DFE ? 90? , ∴平面 AFD⊥平面 AFE.

32


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