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江苏省江浦高级中学2007—2008学年度第一学期期中高二数学复习试题(一)


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江苏省江浦高级中学 2007—2008 学年度第一学期期中高二数学复习试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。) 1.从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2004 人 中剔除 4 人,

剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率 ( ) A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且为

25 1002
(B) ?
1 4

D.都相等,且为

50 2000
( (D)-4 )

2.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=1,则 a 的值为 (A)
1 4

(C)4

3.在一次模拟打飞机的游戏中,小李接连射击了两次,设命题 p1 是 “第一次射击击中飞机”, 命题 p2 是“第二次射击击中飞机”,则命题“恰有一次击中了飞机”可表示为 ( A.p1 且 p2 B.非 p1 且非 p2 C.(p1 且非 p2 )或(非 p1 且 p2 ) D.p1 或 p2 4.盒子中有 10 只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么 A.恰有1只是坏的概率 B.恰有2只是好的概率 C.4只全是好的概率 D.至多2只是坏的概率 5.双曲线 则(
2



3 等于 ( 10

)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ,其中 a ? 0, m ? b ? 0 ,若它们的离心率互为倒数, 与椭圆 a 2 b2 m2 b2
)
2 2

A. a ? b ? m

B. a ? b ? m
2 2

2

C. a ? b ? m
2 2

2

D. a ? b ? m

6.2005 年底,某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查,抽取 1000 户,按本地区 确定的标准,情况如右表:本地区在“十一五” 规划中明确提出要缩小贫富差距,到 2010 年要实现一 个美好的愿景,由右边圆图显示,则中等收入家庭的数 量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在 原有的基础要降低的百分比分别为 A.25% , 27.5% C.25% , 57.9% B.62.5% , 57.9% D.62.5%,42.1% 高收入 125 户 中等收入 400 户
高收入

低收入 475 户

低收入 15% ( 20% B )

中等收入 65%

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,) 7.在样本数为 11 组的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于 其他 10 个小长方形面积和的

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为__ 4
.

8、写出命题:“至少有一个实数 x , 使 x3 ? 2 =0”的否定 9.给出以下四个命题: (1)“若 x ? y ? 0 ,则 x、y 互为相反数”的逆命题;

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(2)基本算法语句仅有输入、输出语句; (3)“若 q ? ?1 ,则 x 2 ? qx ? 1 ? 0 有实根”的逆否命题; (4)某种产品有甲、乙两种型号。现有甲型:3200 个,乙型:2000 个,从这些产品中采用分层抽 样的方法抽取一个样本容量为 26 的样本,则应从甲型产品中抽取产品数为 18。 其中真命题的序号是______ 10. F1 , F2 是 双 曲 线 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的 两 个 焦 点 , 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 4a a

PF1 ? PF2 ? 0 , PF1 ? PF2 ? 2 ,则 a ? _____________
11、以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在直线方程的为 12、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m ? n 的概率为 13、下面是一个算法的伪代码,如果输入的数分别为 3 和 0,则输出的结果分别为 __________,____________. Read x If x<0 Then y← -x+1 Else If x>0 Then y←x2+3 Else y←x+2 End If End If Print y
题(13)图

14.如下图,已知椭圆

现随机向椭圆内丢一粒豆子,则豆子落在图中阴影范围内的概率为________。 15.如下图,在坐标平面内作两条与实轴平行的直线 l1:y ? 3 , l 2:y ? ?1 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,弦 AB 所在直线方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 , 4

(椭圆的面积公式 S= ? ? a ? b ,其中 a 是椭圆长半轴长,b 是椭圆短半轴长)

x2 y2 ? ? 1 的左右两支交于点 它们分别与双曲线 25 16
16.运行下面的流程图输出的结果是_______。

A1,B1;A2,B2;

F 是双曲线的右焦点,则 ( A1 F ? A2 F ) ? ( B1 F ? B2 F ) =______。

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三、解答题(本大题有 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分,第一小问满分 8 分,第二小问满分 4 分) 已知数列 ?an ? , a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ,计算数列 ?an ? 的第 20 项.现已给出该问题算法的流程图(如 图所示). (Ⅰ)请在图中判断框中的(A)与执行框中的(B)处填 上合适的语句,使之能完成该题的算法功能. (Ⅱ) 根据流程图写出伪代码.

I←1

S←1 I←I+1
(B) (A) N Y

18.(本小题满分 12 分,) 已知 P:对任意 a ? [1,2],不等式 | m ? 5 |?
2

输出

a 2 ? 8 恒成立;

S

Q: 3x ? 2mx ? m ? 6 ? 0 有两个不等的实根。 求使“P 且 ? Q”为真命题的 m 的取值范围。

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19.(本小题满分 14 分,) 已知当椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b 时,椭圆的面积是 πab.请针对椭圆

x2 y2 ? ?1, 25 16

求解下列问题: (1)若 m,n 是实数,且|m|≤5,|n|≤4.求点 P(m,n)落在椭圆内的概率以及点 P 落在椭圆上 的概率. (2)若 m,n 是整数,且|m|≤5,|n|≤4.求点 P(m,n)落在椭圆外的概率以及点 P 落在椭圆上 的概率.

20.(本小题满分 14 分,) 在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱喽”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道: 摸球方法:从袋中随机摸出 3 个球,若摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 5 元钱;若 摸得非同一颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 1 元钱。 (1)摸出的 3 个球为白球的概率是多少? (2)摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少? (3)假定一天中有 100 人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计)能 赚多少钱? 21.(本题满分 14 分) 已知椭圆中心在原点,长轴在 x 轴上,且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 两条准线间的距离为 8. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? 2 与椭圆交于 A,B 两点,当 k 为何值时, OA ? OB (O 为坐标原点)

22.如图,M(a,0)(a>0)是抛物线 y2=4x 对称轴上一点,过 M 作抛物线的弦 AMB,交抛物 线与 A,B. (1)若 a=2,求弦 AB 中点的轨迹方程; (2)若 AB=8,求 a 的取值范围.

B M A

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参考答案: 1—6:C B C BA B 7、32 8、不存在实数 x ,使 x ? 2 ? 0 ( ?x ? R, 使x 3 ? 2 ? 0 );9、(1); 10、1
3

11、 x ? 4 y ? 5 ? 0 ; 12、

3 ? ?2 ;13、12,2;14、 ;15、20;16、13; 5 4?

(或I<20) 17 解 (1) A: I ? 19 ; ――――――――――――――――-4 分 B: S ? S ? 2 I .――――――――――――――――――――――――――8 分
(Ⅱ) I←1 S←1 While I≤19 S←S+2I I←I+1 End While Print S ―――――――――― 18、解: m ? 5 |? 或

S←1 For I From 1 To 19 S←S+2I
End For Print S

a 2 ? 8对任意a ? [1,2] 恒成立

只需 | m ? 5 | 小于 a 2 ? 8 的最小值 而当 a ? [1,2] 时, a 2 ? 8 ≥3

? | m ? 5 |? 3,即2 ? m ? 8
? 3x 2 ? 2mx ? m ? 6 ? 0 有两个不等的实根

? 4m 2 ? 12(m ? 6) ? 0,即m 2 ? 3m ? 18 ? 0
? m ? 6 或 m ? ?3 要使“P 且 ? Q”为真,只需 2 ? m ? 6
19 .( 1 )当 m , n 是实数,且 |m|≤5 , |n|≤4 时,所有形如( m, n )的点覆盖的图形的面积是 80. 2′ 椭圆围成的区域在其内部,且面积为 20π. 3′ 20π π 故点 P(m,n)落在椭圆内的概率为 = 5′ 80 4 由于椭圆是条曲线,线上点所占面积为 0,故点 P(m,n)落在椭圆上的概率为 0. 7 (2)当 m,n 是整数,且|m|≤5,|n|≤4 时.点 P(m,n)共有 11× 9=99 个 其中点(0,4),(0,-4),(5,0),(-5,0)四点落在椭圆上. 4 故点 P(m,n)落在椭圆上的概率为 . 9′ 99 当 m>0,n>0 时,点(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(4,3)(4,4),(3,

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4), (2,4)(1,4)共 9 点在椭圆外. 由对称性知,当 m,n 是整数,且|m|≤5,|n|≤4 时,共有 4× 9=36 个点在椭圆外. 36 12 故点 P(m,n)落在椭圆外的概率是 = . 99 33

12′

20、解:为示区别,记黄色球为 1,2,3,白色球为 4,5,6,任意摸三只球,共有下面 20 种可 能结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5), (1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2, 3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6), (4,5,6) (1)记“摸球一次,摸得同为白色的 3 只球”为事件 A,只有一种情况,即(4,5,6),其 概率 P(A)=

1 。 20

(2)记“摸球一次,摸出 3 球为 2 个黄球 1 个白球”为事件 B,则事件 B 包括 9 种情形(1, 2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(2,3, 4),(2,3,5),(2,3,6),其概率为 P(B)=

9 20

(3)记“摸球一次,摸得同色的 3 只球”为事件 C,在所有结果中全部同颜色的球有 2 种结果, 即(1,2,3),(4,5,6),事件 A 的对立事件为 D:“摸球一次,摸得非同色的 3 只 球”,故 P(C)=

2 1 1 9 ? ,所以 P(D)=1- P(C)=1- ? 20 10 10 10 9 1 ? 5 ? ) ? 100 ? 30 ? 1200 (元) 所以摊主一个月可赚得 (1 ? 10 10

答:略 21.(Ⅰ)设椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?1 3 ? 2b ? ?c ? ? ?b ? 3c ?3 2 由题意得: ? 解得 ? 2 2 ? ?a ? 4c ?2 ? a ? 8 ? ? c
又a ?b ?c
2 2 2

??????????3 分

∴ c ? 1,b ? 3 , a ? 4
2
2

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??????????6 分

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 )

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 联立方程: ? 4 化简得: (3 ? 4k ) x ? 16kx ? 4 ? 0 3 ? y ? kx ? 2 ?

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则 x1 ? x2 ? ? ∵ OA ? OB

16k 4 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
∴ x1 ? x2 ? y1 y2 ? 0

?????????8 分 ??????????10 分

又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ∴ (1 ? k )
2

4 ?16k ? 2k ? ?4?0 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
∴k ? ?

解得: k ?
2

4 3

2 3 3

??????????12 分

经检验满足 ? ? 0 ∴当 k ? ?

2 3 时, OA ? OB . 3

??????????14 分

22.(1)当 AB 斜率存在时,由 a=2,设其方程为 y=k(x-2),弦 AB 中点为(x0,y0)

? y2 ? 4x 由? 得 ? y ? k ( x ? 2)
k 2 x2 ? 4(k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0
△=16(k2+1)2-16k4=32k2+16>0 2′

? x1 ? x2 2k 2 ? 2 2 x ? ? ?2? 2 0 ? 2 ? 2 k k 4′ ? ? y ? y1 ? y2 ? 1 (kx ? 2k ? kx ? 2k ) ? 2 0 1 2 ? 2 2 k ? 2 消去 k 得 y0 =2x0-4(x0>2) 5′ 当 AB 斜率不存在时,其方程为 x=2,与抛物线相交,中点为(2,0),满足 y2=2x-4. 综上所述,弦 AB 中点的轨迹方程 y2=2x-4. 6′ (2)当 AB 斜率不存在时,由 AB=8,及抛物线的对称性知,A 点的纵坐标为-4,则横坐标为 4, 故此时 a=4; 7′ 当 AB 斜率存在时,设其方程为 y=k(x-a),代入抛物线方程得
k 2 x2 ? (2ak 2 ? 4) x ? a2 k 2 ? 0
△=4(ak2+2)2-4a2k4=16ak2+16>0

? 2ak 2 ? 4 x ? x ? ? 1 2 k2 ? ? x1 x2 ? a 2 ?
|AB|= 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

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=

4 1 ? k 2 1 ? ak 2 k2

9′

|AB|=

4 1 ? k 2 1 ? ak 2 =8 有解,即方程(4-a)k4-(a+1)k2-1=0 有解, 2 k

设 t=k2(t>0),f(t)= (4-a)t2-(a+1)t-1=0 (1) 对于正数 a,方程(1)一根为正一根为负的充要条件是

?4 ? a ? 0 得 0<a<4; ? ? f (0) ? 0
对于正数 a,方程(1)两根均为正的充要条件是

11′

? ??0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ? x x ?0 ? 1 2

? ?( a ? 1) 2 ? 4(4 ? a ) ? 0 ? a ?1 ? ?0 即? 4?a ? ?1 ? ?0 ? 4?a ?
13′ 14′

矛盾无解. 综上所述,a 的取值范围是(0,4].

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