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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其性质试题理


2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第 5 讲 直线、平面垂直的判定及其性质试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2015·浙江卷)设 α ,β 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l? α ,m? β ( ) B.若 α ⊥β ,则 l⊥m D.若 α ∥β ,则 l∥m

A.若 l⊥β ,则 α ⊥β C.若 l∥β ,则 α ∥β

解析 由面面垂直的判定定理,可知 A 选项正确;B 选项中,l 与 m 可能平行;C 选项中, α 与 β 可能相交;D 选项中,l 与 m 可能异面. 答案 A 2.(2017·深圳四校联考)若平面 α ,β 满足 α ⊥β ,α ∩β =l,P∈α ,P?l,则下列命 题中是假命题的为( )

A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 且在平面 α 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 β 解析 由于过点 P 垂直于平面 α 的直线必平行于平面 β 内垂直于交线的直线, 因此也平 行于平面 β , 因此 A 正确.过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 α , 不一定在平 面 α 内,因此 B 不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项 C,D 正确. 答案 B 3.如图,在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点, 下面四个结论不成立的是( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC 解析 因为 BC∥DF,DF? 平面 PDF, )

BC?平面 PDF,
所以 BC∥平面 PDF,故选项 A 正确. 在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E, ∴BC⊥平面 PAE,DF∥BC,则 DF⊥平面 PAE,又 DF? 平面 PDF,从而平面 PDF⊥平面 PAE.
1

因此选项 B,C 均正确. 答案 D 4.(2017·西安调研)设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β )

解析 A 中,α ∥β 或 α 与β 相交,不正确.B 中,过直线 l 作平面 γ ,设 α ∩γ =l′, 则 l′∥l, 由 l⊥β , 知 l′⊥β , 从而 α ⊥β , B 正确.C 中, l∥β 或 l? β , C 不正确.D 中,l 与 β 的位置关系不确定. 答案 B 5.(2017·天津滨海新区模拟)如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕, 把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

①BD⊥AC; ②△BAC 是等边三角形; ③三棱锥 D-ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC⊥平面 ABC. 其中正确的是( A.①②④ C.②③④ ) B.①②③ D.①③④

解析 由题意知,BD⊥平面 ADC,且 AC? 平面 ADC,故 BD⊥AC,①正确;AD 为等腰直角 三角形斜边 BC 上的高,平面 ABD⊥平面 ACD,所以 AB=AC=BC,△BAC 是等边三角形,② 正确;易知 DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错. 答案 B 二、填空题 6.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.

解析 ∵PA⊥平面 ABC,AB,AC,BC? 平面 ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC 为直角三角形.由 BC⊥AC,且 AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC,从而 BC⊥PC,因此△ABC,△PBC 也是直角三角形. 答案 4
2

7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相 等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面

PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).
解析 由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,有 PC⊥平面 MBD. 又 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 8.(2016·全国Ⅱ卷)α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β . ②如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n. ③如果 α ∥β ,m? α ,那么 m∥β . ④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号). 解析 对于①,α ,β 可以平行,也可以相交但不垂直,故错误. 对于②,由线面平行的性质定理知存在直线 l? α ,n∥l,m⊥α ,所以 m⊥l,所以 m⊥n, 故正确. 对于③,因为 α ∥β ,所以 α ,β 没有公共点.又 m? α ,所以 m,β 没有公共点,由线 面平行的定义可知 m∥β ,故正确. 对于④,因为 m∥n,所以 m 与 α 所成的角和 n 与 α 所成的角相等.因为 α ∥β ,所以 n 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等,所以 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等, 故正确. 答案 ②③④ 三、解答题 9.(2017·青岛质检)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=

BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中
点. (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D-BCG 的体积. (1)证明 由已知得△ABC≌△DBC,因此 AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,所以 CG⊥AD. 同理 BG⊥AD,又 BG∩CG=G,因此 AD⊥平面 BCG. 又 EF∥AD,所以 EF⊥平面 BCG. (2)解 在平面 ABC 内, 作 AO⊥BC, 交 CB 的延长线于 O, 如图由平面 ABC⊥
3

平面 BCD,平面 ABC∩平面 BDC=BC,AO? 平面 ABC,知 AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 中点,因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO=AB·sin 60°= 3, 1 1 1 所以 VD-BCG=VG-BCD= S△DBC·h= × BD·BC· 3 3 2 sin 120°· 3 1 = . 2 2

10.(2016·北京卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB ∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面 PAC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC; (3)设点 E 为 AB 的中点, 在棱 PB 上是否存在点 F, 使得 PA∥平面 CEF? 说明理由. (1)证明 因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥DC.又因为 AC⊥DC,且

PC∩AC=C,所以 DC⊥平面 PAC.
(2)证明 因为 AB∥CD,DC⊥AC,所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥AB. 又因为 PC∩AC=C,所以 AB⊥平面 PAC. 又 AB? 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F,使得 PA∥平面 CEF. 理由如下:取 PB 的中点 F,连接 EF,CE,CF,又因为 E 为 AB 的中点,所以 EF∥PA.又因 为 PA?平面 CEF,且 EF? 平面 CEF, 所以 PA∥平面 CEF. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.则下列说法正确的是( A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B.若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α C.若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 解析 A 中,由 m⊥n,n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m? α ,错误;B 中,由 m∥β , β ⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m? α ,错误;C 中,由 m⊥β ,n⊥β 可得 m∥n,又 )

n⊥α ,所以 m⊥α ,正确;D 中,由 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m? α ,错误.

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答案 C 12.(2017·贵阳模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,

EF 把正方形折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 P,P 点在△AEF 内
的射影为 O,则下列说法正确的是( )

A.O 是△AEF 的垂心 C.O 是△AEF 的外心

B.O 是△AEF 的内心 D.O 是△AEF 的重心

解析 由题意可知 PA,PE,PF 两两垂直, 所以 PA⊥平面 PEF,从而 PA⊥EF, 而 PO⊥平面 AEF,则 PO⊥EF,因为 PO∩PA=P, 所以 EF⊥平面 PAO, ∴EF⊥AO,同理可知 AE⊥FO,AF⊥EO, ∴O 为△AEF 的垂心. 答案 A 13.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,

PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直
线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE? 平面 ABC,得 PA⊥AE, 又由正六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB? 平面 PAB,∴AE⊥

PB,①正确;又平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错;由正六边形的
性质得 BC∥AD,又 AD? 平面 PAD,BC?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错;在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确. 答案 ①④ 14.(2016·四川卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC, 1 ∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD. 2 (1)在平面 PAD 内找一点 M, 使得直线 CM∥平面 PAB, 并说明理由. (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为所求的一个点, 理由如下:

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1 因为 AD∥BC,BC= AD.所以 BC∥AM,且 BC=AM. 2 所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CM∥AB. 又 AB? 平面 PAB.CM?平面 PAB. 所以 CM∥平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 1 因为 AD∥BC,BC= AD, 2 所以直线 AB 与 CD 相交, 所以 PA⊥平面 ABCD. 又 BD? 平面 ABCD, 1 从而 PA⊥BD.因为 AD∥BC,BC= AD, 2

M 为 AD 的中点,连接 BM,所以 BC∥MD,且 BC=MD.
所以四边形 BCDM 是平行四边形, 1 所以 BM=CD= AD,所以 BD⊥AB. 2 又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD? 平面 PBD,所以平面 PAB⊥平面 PBD.

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