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幂函数导学案(2)


2.3 幂函数导学案
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

学习过程 任务一、课前准备
(预习教材 P77~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:求证 y ? x 3 在 R 上为奇函数且为增函数.

复习 2:1992 年底世界

人口达到 54.8 亿,若人口年平均增长率为 x%,2008 年底世界人口数为 y(亿),写 出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底世界人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式.

任务二、新课导学
探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a 3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.
1

新知 1、幂函数的概念:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 试一试:判断下列函数哪些是幂函数. 1 ① y ? ;② y ? 2 x 2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 x 探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x?1 ; (5) y ? x 3 .
1

1

从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象,总结填写下表: 常见幂函数的性质

1 说明: ② 除函数 y ? x 2 外, 其余四个幂函数 具有奇偶性 ②在第一象限内, 函数 y ? x ?1 的图像 向上与 y 轴无限接近,我们称 x 轴 y 轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质 (1)所有幂函数在 (0, ??) 上都有定 义,并且图像都通过点 (1,1) (2)若 ? ? 0 ,则幂函数的图像都过 原点,并且在区间 [0, ??) 上为增 函数 (3)若 ? ? 0, 则幂函数的图像在区间 (0, ??) 上是减函数,在第一象限 内, 当 x 从右边趋向于原点时, 图 像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴, 当 x 趋向于 ?? 时,图像在 x 轴上 方无限地逼近 x 轴 (4) 当 ? 为奇数时, 幂函数为奇函数; 当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数

1

例 1、已知幂函数 y ? (m2 ? 2m ? 2) x m

2

?1

? 2n ? 3 ,求 m, n 的值

2

例 2、已知函数 f ( x) ? (m2 ? 2m) ? xm ?m?1, m 为何值时, f ( x ) 是: (1)正比例函数(2)反比例函数(3)二次函数(4)幂函数

2

例 3. 下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系. (1) y ? x 2 ;(2) y ? x 3 ;(3) y ? x 3 ;(4) y ? x ;(5) y ? x ;(6) y ? x
3 1 2

?2

?3

?

1 2



2、幂函数的定义域和值域 所有幂函数 y ? x 的定义域和值域的求法分为五种情况 (1) ? ? 0 时, y ? x0 的定义域为 x x ? 0 ,值域为 ?1? (2) ? 为正整数时, y ? x? 的定义域为 R , ? 为偶数时,值域为 [0, ??) , ? 为奇数时,值域为 R
? (3) ? 为负整数时, y ? x 的定义域为 x x ? 0 , ? 为偶数时,值域为 (0, ??) , ? 为奇数时,值域为 ?

?

?

?

?

? y y ? 0?
n 时,化为 y ? m x n ,根据 m, n 的奇偶性求解 m n 1 (5)当 ? 为负分数 ? 时,化为 y ? ,根据 m, n 的的奇偶性求解 m n m x
(4)当 ? 为正分数 例 4、 (1)函数 y ? x 3 的定义域是 (2)函数 y ? x
2 ? 3
2

,值域是 ,值域是

; ;

的定义域是

练 1(1)函数 y ? x 2 的定义域是 (2)函数 y ? x
3 ? 2

3

,值域是 ,值域是
5 2

; ;
? 4 5

的定义域是
4

练 2、幂函数① y ? x ,② y ? x 5 ,③ y ? x 4 ,④ y ? x 3 ,⑤ y ? x A.①② B.②③ C.②④ D.④⑤

?2

,其中定义域为 R 的是( )

1 例 5.设 α∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xα 的定义域为 R,且为奇函数的所有 α 值为( 2 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3

)

3

3、 幂函数的单调性和奇偶性 (1)幂函数的单调性:在区间 (0, ??) 上,当 ? ? 0 时, y ? x? 是增函数;当 ? ? 0 时, y ? x? 是减函数 (2)幂函数的奇偶性:令 ? ?
p q

q (其中 p 、 q 互质, p 、 q ? N ? ) p
p q

当 q 为奇数,则 y ? x 的奇偶性取决于 p 是奇数还是偶数.当 p 是奇数时,则 y ? x 是奇函数;当

p 是偶数时,则 y ? x 是偶函数
当 q 为偶数,则 p 必是奇数,此时 y ? x 既不是奇函数,也不是偶函数 例 6、若当 x ? (0, ??) 时,幂函数 y ? (m2 ? m ? 1) ? x?5m?3 为减函数,则实数 m 的值为( A. m ? 2 B. m ? ?1 C. m ? ?1 或 m ? 2 D. m ? )
p q

p q

1? 5 2

例 7、已知函数 f ( x) ? x?2m ?m?3( m?Z ) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) (1) 求 m 的值,并确定 f ( x ) 的解析式 (2) 若 g ( x) ? loga ( f ( x) ? ax)(a ? 0, a ? 1) 在 [2,3] 上为增函数,求实数 a 的取值范围

2

例 8、已知幂函数 f ( x) ? xm ?2m?3 (m ? Z ) 为偶函数,且在区间 (0, ??) 上市减函数 (1)求函数 f ( x ) 的解析式 (2)讨论 F ( x) ? a

2

f ( x) ?

b 的奇偶性 xf ( x)

练 3、下列说法正确的是( A. y ? x 是奇函数
1 2

) B. y ? x 是奇函数
3

C. y ? x 是非奇非偶函数

?2

D. y ? x 3 是非奇非偶函数

1

4

4、构造幂函数比较两个幂值得大小 比较两个幂值的大小,关键是构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同 而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数、指数函数的单调 性或借助于函数的图像来比较 例 9、比较下列各组数大小: (1) (a ? 1)1.5

a1.5 (a ? 0)

(2) (2 ? a 2 )

?

2 3

2

?

2 3

(3) 1.1

?

1 2

0.9

?

1 2

练 4、比较下列各组数大小: (1) (?2)
?3

(? 2 . 5 ) (2) (?8)
? 2 3

?3

?

7 8

1 7 ?( ) 8 9

2

(3) (4.1) 5 , (3.8)

, (?1.9) 5

3

练 5、若 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是( A. (1 ? a) ? (1 ? a) C. (1 ? a) ? (1 ? a)
b 1 b b



B. (1 ? a)a ? (1 ? b)b D. (1 ? a)a ? (1 ? b)b

b 2

任务三、课后作业 第一题、选择题
1.在函数 y=2x3,y=x2,y=x2+x,y=x0 中,幂函数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ? 2 .若幂函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 上是增函数,则( ). A. ? >0 B. ? <0 C. ? =0 D.不能确定 - - 3.函数 f(x)=(m2-m-1)xm2 2m 3 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上是减函数,则实数 m=( A.2 B.3 C.4 D.5 4.使(3-2x-x2) 4有意义的 x 的取值范围是(


)

3

) C.-3<x<1 ). D.1< b < a D.x<-3 或 x>1

A.R
1 2 ? 1 2

B.x≠1 且 x≠3

5. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是( A. a <l< b
4 3

B.1< a < b ).

C. b <l< a

6.函数 y ? x 的图象是(

A. B. C. D. 2 7.函数 y=(x+4) 的递减区间是( ) A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) C.(4,+∞) 8.给出四个说法: ①当 n=0 时,y=xn 的图象是一个点; ②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图象不可能出现在第四象限; ④幂函数 y=xn 在第一象限为减函数,则 n<0. 其中正确的说法个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

D.(-∞,4)

5

第二题、填空题
9. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为 10.比较下列两组数的大小: (1) 1.32 _____1.5 2 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?2 . 11.已知 2.4α>2.5α,则 α 的取值范围是________.
1 1

.

第三题、解答题
12.求函数 y=(x-1) 3的单调区间.


2

13.已知(m+4) 2<(3-2m) 2,求 m 的取值范围.



1



1

14.已知幂函数 y=xm2 性.

+2m-3

(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求 y 的解析式,并讨论此函数的单调性和奇偶

6

任务四、巩固训练 第一题、选择题
1.已知幂函数 f(x)的图象经过点(2, A.16 2 ),则 f(4)的值为( 2 ) 1 1 B. C. D.2 16 2 2.下列幂函数中,定义域为{x|x>0}的是( )
2 3

A.y=x3
3

B.y=x2
1 3

C.y=x



1

3

D.y=x



3 4

3.函数 y ? x 和 y ? x 图象满足 A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 4.函数 y ? x ?2 在区间 [ , 2 ] 上的最大值是 A.

( ) C.关于 y 轴对称 ( C. 4 )

D.关于直线 y ? x 对称

1 2

1 4

B. ? 1

D. ? 4 ( D.T2<T1<T3 ) )

5.设 T1= 1 2

??

2 3

,T2= 1 5

??

2 3

3 ,T3= 1 ,则下列关系式正确的是 2

??

1

A.T1<T2<T3

B.T3<T1<T2
1 x3,y

C.T2<T3<T1
1 ? x 2

2 ?1 6.幂函数 y ? x , y ? x , y ?

?

在第一象限内的图象依次是图中的曲线(
C 4 , C1 , C 3 , C 2

A. C2 , C1 , C3 , C4 C. C 3 , C 2 , C1 , C 4

B.

D. C1 , C 4 , C 2 , C 3 )
3

7. 下列函数在 ? ??,0? 上为减函数的是( A. y ? x 3
1

B. y ? x

2

C. y ? x

D. y ? x

?2

8.幂函数 f(x)=xα 满足 x>1 时 f(x)>1,则 α 满足条件( ) A.α>1 B.0<α<1 C.α>0 D.α>0 且 α≠1 9.x∈(1,+∞)时,函数 y= x 的图象恒在直线 y=x 的下方,则 a 的取值范围是( ) A、a<1 B、0<a<1
n
a

C、a>0

D、a<0 ( )

10.若点 A? a, b? 在幂函数 y ? x

? n ? Q? 的图象上,则下列结论中不能成立的是
C. ?

A. ?

?a ? 0 ?b ? 0

B. ?

?a ? 0 ?b ? 0

?a ? 0 ?b ? 0

D. ?

?a ? 0 ?b ? 0

第二题、填空题
11.函数 f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 2 的定义域为________. ? 1?n ? 1?n 12.已知 n∈{-2,-1,0,1,2,3},若?- ? >?- ? ,则 n=_______. ? 2? ? 3?
0 1

7

13. y ? x a ?4a?9 是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是 . p 14.设 x∈(0,1)时,y=x (p∈R)的图象在直线 y=x 的上方,则 p 的取值范围是________. 15.已知函数 f(x)=xα (0<α<1),对于下列命题: ① 若 x>1,则 f(x)>1; ② 若 0<x<1,则 0<f(x)<1; ③ 若 f(x1)>f(x2),则 x1>x2; ④ 若 0<x1<x2,则

2

f ( x1 ) f ( x2 ) . ? x1 x2

其中正确的命题序号是 _______.

第三题、解答题
16.已知幂函数 f(x)= x 2 并写出相应的函数 f(x)
1 3 ? p2 ? p ? 2

(p∈Z)在 (0, ??) 上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求 p 的值,

17.函数 f(x)=(m2-m-5)xm

-1

是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定 m 的值.

8

18.已知幂函数 y ? (m2 ? m ?1) xm 偶性如何?单调性如何?

2

?2m?3

,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则该幂函数的解析式是什么?奇

19.已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x ) 的图象上,点 ( ?2, ? ) 在幂函数 g ( x) 的图象上,当 x 为何值时:

(1) f ( x) ? g ( x) ;

(2) f ( x) ? g ( x) ;

1 2 (3) f x ( ? ) g x (.)

9

20 . 已 知 幂 函 数 y ? x p ?3 ( p ? N ?) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 在 (0 , + ∞) 上 是 减 函 数 , 求 满 足

(a ? 1) 3 ? (3 ? 2a) 3 的 a 的取值范围.

p

p

21.幂函数 y=f (x)的图象过点(3,

4

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8,-2)

(1)求这两个幂函数的解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; (3)作出这两个函数的图象,观察得 f (x)< g(x)的解集.

10


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