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等差数列前n项和基础练习题


1.等差数列的定义式: an ? an?1 2.等差数列通项公式:

等差数列性质总结 ( n ? 2) ; ? d (d为常数) , 首项: a1 ,公差:d,末项: an

前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2

2 2

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
推广: an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项

从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2A ? a ? b 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列。 ( 3 ) 当 m ? n ? p ? q 时 , 则 有 am ? an ? a p ? aq , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有

(1) 如果 a ,A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即:A ? (2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列

am ? an ? 2ap .
注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? , (4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ??an ? b?, ??1an ? ?2bn? 都为等差数列 (5) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差数列
*

? 2an ? an- 1 ? a? ( n ?2 , n ?+N? ) 2an?1 ? an ? an?2 n 1
4.等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n( n ? 1 ) d 1 2 ? na1 ? d ? n 2 ? ( a1 ? d ) n ? A n ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以
?

(7)设数列 ?an ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 。当项数为偶数 2n 时,

中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? ⑶数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。

(2) 等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? 等差中项性质法: 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2,n ? N ? ) . 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中
?

?an ?是等差数列.

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ?

?an ?是等差数列

n ? a1 ? a2 n?1 ? ? nan 2 n ? a2 ? a2 n ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ? ? nan ?1 2 S偶 ? S奇 ? nan?1 ? nan ? n ? an?1 ? an ? ? nd

S偶 S奇

?

nan?1 an?1 ? nan an

。当项数为奇数 2n ? 1 时,则

a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。
(2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d ) 8.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ;

? S2 n ?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ? S n ? ?S奇 ? (n ? 1)an+1 ?? ? 偶 ? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S奇 n ? 1 ? S偶 ? nan+1 ? ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8) {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 则

An ? f ( n) , Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

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(9)等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n ,前 m 项和 Sn ? m ,则前 m+n 项和 Sm?n ? ? ? m ? n ?

a n ? m, am ? n, 则 a n?m ? 0 (10)求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数 * 列的特殊性 n ? N 。
法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求 an ? 12.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则



S9 ? S5



?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an?1 ? 0 ?a n ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 二、计算题 1.已知等差数列{ an }中, a1 =1, d =1,求该数列前 10 项和 S10 。



(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?an ?中正负分界项

注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

2.已知等差数列{ an }的公差为正数,且 a3 ? a7 ? ?12 , a4 ? a6 ? ?4 ,求 S 20 。

3.等差数列{ an }中, S10 = 100,求 a1 ? a10 的值。 等差数列前 n 项和练习题 一、填空题 1.等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 3n .则此数列的公差 d ? 2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 4.已知 {an } 为等差数列, a2 ? a8 ? 12 ,则 a5 = 。 5.已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = ____________。 6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d= 。 7.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 6, S4 ? 30, 则 S6 = 。 6.由下列等差数列的通项公式,求出首项、公差和前 n 项和。 8.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a5 ? a7 ? 4, a6 ? a8 ? ?2 ,则当 Sn 取最大值时 n 的值 是 。 。 7. (1) 设等差数列{ an }的通项公式是 3n-2,求它的前 n 项和公式; (2) 设等差数列{ an }的前 n 项和公式是 S n ? 5n ? 3n ,求它的前 3 项,并求它的通项公式。
2

。 。 。 5.已知数列{ an },若 an ? 2n ? 13 ,求 S n 达到最大值时 n 的值,并求 S n 的最大值。 4.等差数列{ an }的前 m 项的和为 30 ,2m 项的和为 100 ,求它的前 3m 项的和 。

(1) an ? 3n ? 6 ;

(2). an ? ?2n ? 7

9.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 则a a1a2a3 ? 80 , a ? a ? 1 1 ? 2 1 3 1 10.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,那么 a 3 的值为 。

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