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圆锥曲线轨迹问题(教师版)


第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题(教师版)
根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方 程的实质是将“形”转化为“数” ,将“曲线”转化为“方程” ,通过对方程的研究来认识曲 线的性质;另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该 内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化 思

想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤:建设现代化(检验) 建(坐标系)设(动点坐标)限(限制条件,动点、已知点满足的条件)代(动点、已知点坐 标代入)化(化简整理)检验(要注意定义域“挖”与“补” ) 求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需 要特殊的技巧,易于表述成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这 种方法称之为直接法; y M
例 1、已知直角坐标系,点 Q(2,0) ,圆 C 方程为 x ? y ? 1 ,动点 M
2 2

N

到圆 C 的切线长与

MQ

的比等于常数 ? (? ? 0) ,求动点 M 的轨迹。

O

Q

x

【解析】设 MN 切圆 C 于 N,则

MN ? MO ? ON
2 2 2

2

2

2

。 M ( x, y ) ,则
2 2

x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 ? y 2
当 ? ? 1 时,方程为 x

化简得 (? ? 1)( x ? y ) ? 4? x ? (1 ? 4? ) ? 0

?

5 4

,表示一条直线。

当 ? ? 1 时,方程化为

(x ?

2? 2 2 1 ? 3?2 ) ? y2 ? 2 ?2 ? 1 (? ? 1) 2 表示一个圆。

O PN N 【练习】 如图, O1 与圆 O2 的半径都是 1, 1O2 ? 4 . 过动点 P 分别作圆 O2 、 O2 的切线 PM , ( M , 圆 圆

分别为切点) ,使得 PM ? 2 PN . 试建立适当的坐标系,并求动 点 P 的轨迹方程. 【解析】以 O1O2 的中点 O 为原点, O1O2 所在直线为 x 轴,建立
0) 0) 如图所示的平面直角坐标系,则 O1 (?2, , O2 (2, .

由已知 PM ? 2PN ,得 PM 2 ? 2PN 2 . 因为两圆半径均为 1,所以
2 PO12 ? 1 ? 2( PO2 ? 1) .

设 P( x, ) ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1] , y 即 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 33 .(或 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 3 ? 0 ) 评析:1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的

证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。 2、 求轨迹方程一般只要求出方程即可, 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲线定义出发 直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。
p ?p ? 例 2、已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

求动圆圆心 C 的轨迹的方程;
?p ? ? ,0? ?2 ?

2 p ?p ? 解析】如图,设 M 为动圆圆心,? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线,垂足为 N , 2 ?2 ?

x??

p

由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?

p 的距离相等,由抛物线的定义知, 2

p ?p ? 点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线,轨迹方程为 y 2 ? 2 px( P ? 0) ; 2 ?2 ?

【练习】 已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A 的坐标为(-6,0) 为圆 O 上任一点,AM ,M 的垂直平分线交 OM 于点 P,求点 P 的方程。 【解析】由中垂线知, PA ? PM 故 PA ? PO ? PM ? PO ? OM ? 10 ,即 P 点的轨迹 为以 A、O 为焦点的椭圆,中心为(-3,0) , 故 P 点的方程为
( x ? 3) 2 y 2 ? ? 125 25 16
E O' P D B C l

◎◎已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′ 切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线 交于点 P,求点 P 的轨迹方程. 【解析】设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点, 两 切 线 交 于 点 P. 由切 线 的 性 质 知: |BA|=|BD| , |PD|=|PE| , |CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知, 点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆, 以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系, 可求得动点 P 的轨迹方程为:
x2 y 2 ? ?1 81 72

A

评析:定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。 三、相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一 动点 Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得,则可先将 x’,y’ 表示为 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然而整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。 几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满 足的条件,然而得出动点的轨迹方程。

例 3、如图,从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N。求线段 QN 的中 点 P 的轨迹方程。 【解析】设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1) 则 N( 2x-x1,2y-y1)代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y1=2① 又 PQ 垂直于直线 x+y=2,故 由①②解方程组得 x1 ?
y ? y1 ? 1 ,即 x-y+y1-x1=0② x ? x1

3 1 1 3 x ? y ? 1, y1 ? x ? y ? 1 , 代入 2 2 2 2 2 2 双曲线方程即可得 P 点的轨迹方程是 2x -2y -2x+2y-1=0
x2 y2 【练习】已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F , a b

Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上, 并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. 求点 T 的轨迹 C 的方程; 【解析】解法一: (相关点法)

设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ?TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
x? ? c ? ?x ? 2 , 设点 Q 的坐标为( x ?, y ? ) ,则 ? ? ? y ? y? . ? 2 ?

因此 ?

? x ? ? 2 x ? c, ? y ? ? 2 y.



由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) 2 ? y ? 2 ? 4a 2 .



将①代入②,可得 x 2 ? y 2 ? a 2 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . 解法二: (几何法)设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在 轨迹上.当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 .又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为 线段 F2Q 的中点.在△QF1F2 中, | OT |?
1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . 评析:一般地:定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。

四、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间
变量(参数) ,使 x,y 之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。 例 4、在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO(如图 4 所示).求△AOB 的重心 G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; 【解析】解法一:以 OA 的斜率 k 为参数由

?

y ? kx 2 2 解得 A(k,k ) y?x

1 ? 1 ?y ? ? x ? 1 1 ? ∵OA⊥OB,∴OB: y ? ? x 由 ? k 解得B ? ? k , k 2 ? k ? ? ? y ? x2 ?
? 1? 1? ?x ? 3 ? k ? k ? ? ? ? 设△AOB的重心G(x,y) ,则 ? 1? 2 1 ? ?y ? ?k ? 2 ? 3? k ? ? ?

消去参数k得重心G的轨迹方程为 y ? 3x 2 ?

2 3

x1 ? x 2 ? ?x ? 3 ? 解法二:设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ?

…(1)

∵OA⊥OB ∴ k OA ? k OB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?1 ,……(2)
2 又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x12 , y 2 ? x2 ,代入(2)化简得 x1 x2 ? ?1

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3

所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3x 2 ?

2 。 3

【练习】如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.求△APB 的重心 G 的轨迹方程.

y B A O P l G x

2 【解析】设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x12 )(( x1 ? x0 ) , 2 ∴切线 AP 的方程为: 2 x0 x ? y ? x0 ? 0; 切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x12 ? 0;

解 得 P 点 的 坐 标 为 : xP ?

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 所 以 △ APB 的 重 心 G 的 坐 标 为 2
2

2 y ? y1 ? y P x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 x P ? y p x ? x1 ? x P ? ? ? , xG ? 0 ? x P , yG ? 0 3 3 3 3 3
2 所以 y p ? ?3 y G ? 4 xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0,即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3 评析:1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强,也是学生较 难掌握的一类问题。 2.选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,常见的参数有:斜率、截距、 定比、角、点的坐标等。 3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。 4.多参问题中,根据方程的观点,引入 n 个参数,需建立 n+1 个方程,才能消参(特殊 情况下,能整体处理时,方程个数可减少) 。 五、交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点 时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以 说是参数法的一种变种。
2 例 5 、抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB,求抛物线的顶点 O 在

直线 AB 上的射影 M 的轨迹。
2 y 解 1(交轨法) :点 A、B 在抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 上,设 A( y A , y A ) ,B( B , y B ) 所 4p 4p

2

2

以 kOA=

4p 4p kOB= ,由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB = -1,得 yAyB= -16p2 ,又 AB 方程可求得 yA yB

2 y A ? yB yA y ? yA ? 2 (x ? ) , (yA+yB) 即 y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2 代入得 AB 方程 A+yB) (y 2 4p y A yB ? 4p 4p

y--4px+16p2 =0



又 OM 的方程为 y ?

y A ? yB x ? 4P


2 2 2 即得 ( x ? 2 p) ? y ? 4 p 。

由①②消去得 yA+yB 即得 x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0 ,

所以点 M 的轨迹方程为 ( x ? 2 p) 2 ? y 2 ? 4 p 2 , 其轨迹是以 (2 p,0) 为圆心, 半径为 2 p 的圆, 除去点(0,0) 。 评析:用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得

到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。 解 2(几何法) :由解 1 中 AB 方程(yA+yB)y--4px+16p2 =0 可得 AB 过定点(4p,0)而 OM 垂直 AB,所以由圆的几法性质可知:M 点的轨迹是以 (2 p,0) 为圆心,半径为 2 p 的圆。 所以方程为 ( x ? 2 p) 2 ? y 2 ? 4 p 2 ,除去点(0,0) 。

五、向量法:

x2 y2 x y ? ? =1, 例6 、 (1995 全国理)已知椭圆如图 6, =1,直线 L: 24 16 12 8
P 是 L 上一点,射线 OP 交椭圆于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2. 当点 P 在 L 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线

总结:

图6

以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法,对于下面几点,在复习轨迹问题时是值得我 们引起高度重视的: 1.高考方向要把握 高考考查轨迹问题通常是以下两类:一类是容易题,以定义法、相关点法、待定系数法 等为主,另一类是高难度的纯轨迹问题,综合考查各种方法。 2.“轨迹”、“方程”要区分 求轨迹方程,求得方程就可以了;若是求轨迹,求得方程还不够,还应指出方程所表示 的曲线类型(定形、定位、定量) 。 3.抓住特点选方法 处理轨迹问题成败在于:对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时 一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法(什么情况下用什么方法上面已有介绍,这里不 再重复) 。 4.认真细致定范围 确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点,也是学生容易出现错误的地方,在确定轨迹范 围时,应注意以下几个方面: ①准确理解题意,挖掘隐含条件;②列式不改变题意,并且要全面考虑各种情形; ③推 理要严密, 方程化简要等价; ④消参时要保持范围的等价性; ⑤数形结合, 查“漏”补“缺”。 5. 平几知识“用当先” 在处理轨迹问题时, 要特别注意运用平面几何知识, 其作用主要有: ①题中没有给出明显的条件式时,可帮助列式;②简化条件式;③转化化归。 6.向量工具“用自如” 向量是新课改后增加的内容,它是数形转化的纽带,它在初等数学的各个分支中起着十 分重要的工具作用,在复习时应加强训练,使学生熟练掌握, 并能运用自如。

巩固练习:1. 点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 x=4 的距离的比为 2, 则动点 M 的轨迹方程为 ( ). A.
x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C. 3x2-y2-34x+65=0

D. 3x2-y2-30x+63=0

(目的: 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤, 同时掌握双曲线第二定义, 避免错误使用) 答案: D 解析:
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , 两边平方即得 3x2-y2-30x+63=0 x?4

2 . P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的动点, 作 PD⊥y 轴, D 为垂足, 则 PD 中点的轨迹方程为( 16 9

).

A.

x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 64 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 4

D.

x2 y2 ? ?1 4 9

(目的: 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤, 理解其适用的题型)答案: D 解析: 设 PD 中点为 M(x, y), 则 P 点坐标为(2x, y), 代入方程
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 , 即得 ? ? 1. 16 9 4 9

3. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,(a>0,b>0), A1、A2 是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实 a2 b2

轴所在直线的弦的两个端点, 则 A1M 与 A2N 交点的轨迹方程是( A.
x2 y2 ? ?1 a2 b2

). D.
y2 x2 ? ?1 a2 b2

B.

y2 x2 ? ?1 a2 b2

C.

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(目的: 熟悉参数法求轨迹方程的基本思路, 理解相交点轨迹方程的解题技巧)答案: A 解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M 与 A2N 交点为 P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则 A1 M 的 方程是
x2 y2 y x?a y x?a ? ? , A2M 的方程是 , 两式相乘, 结合 12 ? 1 ? 1 即得. y1 x1 ? a ? y1 x1 ? a a b2

4. 抛物线的准线 l 的方程是 y=1, 且抛物线恒过点 P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端 点 Q 的轨迹方程是( ). ( B ) 2 2 A. (x-1) =-8(y-1) B. (x-1) =-8(y-1) (x≠1) C. (y-1)2=8(x-1) D. (y-1)2=8(x-1) (x≠1) (目的: 认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量, 是重要的解题方法)答案: B 解析: 设焦点为 F, Q(x,y), 则由抛物线定义得:
AF ? QF ? 2 ? (1 ? y ) ? PQ ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 , 化简即得

5. △ABC 中, A(0,-2), B(0,2), 且 CA , AB , CB 成等差数列, 则 C 点的轨迹方程是 (目的: 求曲线方程应注意根据题意检验方程的完整性)答案:
y2 x2 ? ? 1( x ? 0) 16 12

.

解析: CA ? CB ? 2 AB ? 8 , 知: C 点轨迹是以 A、B 为焦点, 且 2a=8 的椭圆

6. 若 A 点是圆(x-2)2+(y-2)2=1 上的动点, 点 B(1,0), M 分 AB 的比为 2:1, 则 M 点的轨迹 方程是 . 4 2 1 (目的: 熟悉代入法及定比分点坐标公式)答案: ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 3 3 9 解析: 设 A(x1, y1), M(x, y), 则由定比分点公式得: x ?
x1 ? 2 y ,y ? 1 , 3 3

4 2 1 ? x1 ? 3x ? 2, y1 ? 3 y , 代入(x-2)2+(y-2)2=1 即得 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 3 3 9 x y 7. 直线 ? . ? 1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是 a 2?a (目的: 理解参数法及其参数限制对方程的影响, 注意解题的完整性) x y 答案: x+y=1 , ( x ? 0, x ? 1) 解析: 设直线 ? y ? 1 与 x、 轴交点为 A(a,0), B(0,2 ? a) , a 2?a a a A、B 中点 M(x, y), 则 x ? , y ? 1 ? , 消去 a, 得: x+y=1, ? a ? 0, a ? 2,? x ? 0, x ? 1 2 2


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