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高一数学幂函数的图像与性质


幂函数的一般形式为 y=x^a。 如果 a 取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于 a 取无理数,则不太容易理解, 在我们的课程里, 不要求掌握如何理解指数为无理数的问题, 因为这涉及到实数连续统的极 为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于 a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果 a=p/q,q 和 p 都是整

数,则 x^(p/q)=q 次根号(x 的 p 次方) ,如果 q 是奇 数,函数的定义域是 R,如果 q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞) 。当指数 n 是负整数时, 设 a=-k,则 x=1/(x^k),显然 x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到 x 所受 到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是 0,一是有可能在偶数次的根号下而不 能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为 0 与负数两种可能,即对于 x>0,则 a 可以是任意实数; 排除了为 0 这种可能,即对于 x<0 和 x>0 的所有实数,q 不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数,a 就不能是负数。 总结起来,就可以得到当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数; 如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定, 即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。 在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。 在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域。 由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而 a 小于 0 时,幂函数为单调递减函数。 (3)当 a 大于 1 时,幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时,幂函数图形上凸。 (4)当 a 小于 0 时,a 越小,图形倾斜程度越大。 (5)a 大于 0,函数过(0,0) ;a 小于 0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。


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